Theorem 1st2nd2 7096

Description: Reconstruction of a member of a Cartesian product in terms of its ordered pair components. (Contributed by NM, 20-Oct-2013.)

Assertion

Ref	Expression
1st2nd2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)

Proof of Theorem 1st2nd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp6 7091	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) ↔ (𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∧ ((1st ‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ (2nd ‘𝐴) ∈ 𝐶)))
2	1	simplbi 475	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ⟨cop 4131   × cxp 5036  ‘cfv 5804  1^st c1st 7057  2^nd c2nd 7058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-1st 7059  df-2nd 7060

This theorem is referenced by:  1st2ndb  7097  xpopth  7098  eqop  7099  2nd1st  7104  1st2nd  7105  opiota  7118  disjen  8002  xpmapenlem  8012  mapunen  8014  r0weon  8718  enqbreq2  9621  nqereu  9630  lterpq  9671  elreal2  9832  cnref1o  11703  ruclem6  14803  ruclem8  14805  ruclem9  14806  ruclem12  14809  eucalgval  15133  eucalginv  15135  eucalglt  15136  eucalg  15138  qnumdenbi  15290  isstruct2  15704  xpsff1o  16051  comfffval2  16184  comfeq  16189  idfucl  16364  funcpropd  16383  coapm  16544  xpccatid  16651  1stfcl  16660  2ndfcl  16661  1st2ndprf  16669  xpcpropd  16671  evlfcl  16685  hofcl  16722  hofpropd  16730  yonedalem3  16743  gsum2dlem2  18193  mdetunilem9  20245  tx1cn  21222  tx2cn  21223  txdis  21245  txlly  21249  txnlly  21250  txhaus  21260  txkgen  21265  txcon  21302  utop3cls  21865  ucnima  21895  fmucndlem  21905  psmetxrge0  21928  imasdsf1olem  21988  cnheiborlem  22561  caublcls  22915  bcthlem1  22929  bcthlem2  22930  bcthlem4  22932  bcthlem5  22933  ovolfcl  23042  ovolfioo  23043  ovolficc  23044  ovolficcss  23045  ovolfsval  23046  ovolicc2lem1  23092  ovolicc2lem5  23096  ovolfs2  23145  uniiccdif  23152  uniioovol  23153  uniiccvol  23154  uniioombllem2a  23156  uniioombllem2  23157  uniioombllem3a  23158  uniioombllem3  23159  uniioombllem4  23160  uniioombllem5  23161  uniioombllem6  23162  dyadmbl  23174  fsumvma  24738  wlkcpr  26057  isrusgusrgcl  26460  isrgrac  26461  0eusgraiff0rgracl  26468  ofpreima  28848  ofpreima2  28849  fimaproj  29228  1stmbfm  29649  2ndmbfm  29650  sibfof  29729  oddpwdcv  29744  txsconlem  30476  mpst123  30691  bj-elid  32262  poimirlem4  32583  poimirlem26  32605  poimirlem27  32606  mblfinlem1  32616  mblfinlem2  32617  ftc2nc  32664  heiborlem8  32787  dvhgrp  35414  dvhlveclem  35415  fvovco  38376  dvnprodlem1  38836  volioof  38880  fvvolioof  38882  fvvolicof  38884  etransclem44  39171  ovolval3  39537  ovolval4lem1  39539  ovolval5lem2  39543  ovnovollem1  39546  ovnovollem2  39547  smfpimbor1lem1  39683