Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1pthon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1pthon 26121
 Description: A path of length 1 from one vertex to another vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
1pthon (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → {⟨0, 𝑖⟩} (𝐴(𝑉 PathOn 𝐸)𝐵){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})

Proof of Theorem 1pthon
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . . 5 {⟨0, 𝑖⟩} = {⟨0, 𝑖⟩}
2 eqid 2610 . . . . 5 {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}
31, 2constr1trl 26118 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → {⟨0, 𝑖⟩} (𝑉 Trails 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
4 trliswlk 26069 . . . 4 ({⟨0, 𝑖⟩} (𝑉 Trails 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} → {⟨0, 𝑖⟩} (𝑉 Walks 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
53, 4syl 17 . . 3 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → {⟨0, 𝑖⟩} (𝑉 Walks 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
6 c0ex 9913 . . . . 5 0 ∈ V
76a1i 11 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → 0 ∈ V)
8 simp2l 1080 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → 𝐴𝑉)
9 0ne1 10965 . . . . 5 0 ≠ 1
109a1i 11 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → 0 ≠ 1)
11 fvpr1g 6363 . . . 4 ((0 ∈ V ∧ 𝐴𝑉 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0) = 𝐴)
127, 8, 10, 11syl3anc 1318 . . 3 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0) = 𝐴)
13 1ex 9914 . . . . 5 1 ∈ V
1413a1i 11 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → 1 ∈ V)
15 simp2r 1081 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → 𝐵𝑉)
16 opex 4859 . . . . . 6 ⟨0, 𝑖⟩ ∈ V
17 hashsng 13020 . . . . . 6 (⟨0, 𝑖⟩ ∈ V → (#‘{⟨0, 𝑖⟩}) = 1)
1816, 17ax-mp 5 . . . . 5 (#‘{⟨0, 𝑖⟩}) = 1
19 fveq2 6103 . . . . . 6 ((#‘{⟨0, 𝑖⟩}) = 1 → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘(#‘{⟨0, 𝑖⟩})) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1))
20 fvpr2g 6364 . . . . . 6 ((1 ∈ V ∧ 𝐵𝑉 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
2119, 20sylan9eq 2664 . . . . 5 (((#‘{⟨0, 𝑖⟩}) = 1 ∧ (1 ∈ V ∧ 𝐵𝑉 ∧ 0 ≠ 1)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘(#‘{⟨0, 𝑖⟩})) = 𝐵)
2218, 21mpan 702 . . . 4 ((1 ∈ V ∧ 𝐵𝑉 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘(#‘{⟨0, 𝑖⟩})) = 𝐵)
2314, 15, 10, 22syl3anc 1318 . . 3 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘(#‘{⟨0, 𝑖⟩})) = 𝐵)
245, 12, 233jca 1235 . 2 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → ({⟨0, 𝑖⟩} (𝑉 Walks 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∧ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0) = 𝐴 ∧ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘(#‘{⟨0, 𝑖⟩})) = 𝐵))
251, 21pthonlem1 26119 . . . 4 Fun ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ↾ (1..^(#‘{⟨0, 𝑖⟩})))
2625a1i 11 . . 3 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → Fun ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ↾ (1..^(#‘{⟨0, 𝑖⟩}))))
271, 21pthonlem2 26120 . . . 4 (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} “ {0, (#‘{⟨0, 𝑖⟩})}) ∩ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} “ (1..^(#‘{⟨0, 𝑖⟩})))) = ∅
2827a1i 11 . . 3 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} “ {0, (#‘{⟨0, 𝑖⟩})}) ∩ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} “ (1..^(#‘{⟨0, 𝑖⟩})))) = ∅)
293, 26, 283jca 1235 . 2 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → ({⟨0, 𝑖⟩} (𝑉 Trails 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∧ Fun ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ↾ (1..^(#‘{⟨0, 𝑖⟩}))) ∧ (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} “ {0, (#‘{⟨0, 𝑖⟩})}) ∩ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} “ (1..^(#‘{⟨0, 𝑖⟩})))) = ∅))
30 simp1 1054 . . 3 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → (𝑉𝑋𝐸𝑌))
31 snex 4835 . . . . 5 {⟨0, 𝑖⟩} ∈ V
32 prex 4836 . . . . 5 {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ V
3331, 32pm3.2i 470 . . . 4 ({⟨0, 𝑖⟩} ∈ V ∧ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ V)
3433a1i 11 . . 3 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → ({⟨0, 𝑖⟩} ∈ V ∧ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ V))
35 simp2 1055 . . 3 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → (𝐴𝑉𝐵𝑉))
36 ispthon 26106 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ({⟨0, 𝑖⟩} ∈ V ∧ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ V) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉)) → ({⟨0, 𝑖⟩} (𝐴(𝑉 PathOn 𝐸)𝐵){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ↔ ({⟨0, 𝑖⟩} (𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∧ {⟨0, 𝑖⟩} (𝑉 Paths 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})))
37 iswlkon 26062 . . . . 5 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ({⟨0, 𝑖⟩} ∈ V ∧ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ V) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉)) → ({⟨0, 𝑖⟩} (𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ↔ ({⟨0, 𝑖⟩} (𝑉 Walks 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∧ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0) = 𝐴 ∧ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘(#‘{⟨0, 𝑖⟩})) = 𝐵)))
38 ispth 26098 . . . . . 6 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ({⟨0, 𝑖⟩} ∈ V ∧ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ V)) → ({⟨0, 𝑖⟩} (𝑉 Paths 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ↔ ({⟨0, 𝑖⟩} (𝑉 Trails 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∧ Fun ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ↾ (1..^(#‘{⟨0, 𝑖⟩}))) ∧ (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} “ {0, (#‘{⟨0, 𝑖⟩})}) ∩ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} “ (1..^(#‘{⟨0, 𝑖⟩})))) = ∅)))
39383adant3 1074 . . . . 5 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ({⟨0, 𝑖⟩} ∈ V ∧ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ V) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉)) → ({⟨0, 𝑖⟩} (𝑉 Paths 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ↔ ({⟨0, 𝑖⟩} (𝑉 Trails 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∧ Fun ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ↾ (1..^(#‘{⟨0, 𝑖⟩}))) ∧ (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} “ {0, (#‘{⟨0, 𝑖⟩})}) ∩ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} “ (1..^(#‘{⟨0, 𝑖⟩})))) = ∅)))
4037, 39anbi12d 743 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ({⟨0, 𝑖⟩} ∈ V ∧ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ V) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉)) → (({⟨0, 𝑖⟩} (𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∧ {⟨0, 𝑖⟩} (𝑉 Paths 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}) ↔ (({⟨0, 𝑖⟩} (𝑉 Walks 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∧ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0) = 𝐴 ∧ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘(#‘{⟨0, 𝑖⟩})) = 𝐵) ∧ ({⟨0, 𝑖⟩} (𝑉 Trails 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∧ Fun ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ↾ (1..^(#‘{⟨0, 𝑖⟩}))) ∧ (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} “ {0, (#‘{⟨0, 𝑖⟩})}) ∩ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} “ (1..^(#‘{⟨0, 𝑖⟩})))) = ∅))))
4136, 40bitrd 267 . . 3 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ({⟨0, 𝑖⟩} ∈ V ∧ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ V) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉)) → ({⟨0, 𝑖⟩} (𝐴(𝑉 PathOn 𝐸)𝐵){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ↔ (({⟨0, 𝑖⟩} (𝑉 Walks 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∧ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0) = 𝐴 ∧ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘(#‘{⟨0, 𝑖⟩})) = 𝐵) ∧ ({⟨0, 𝑖⟩} (𝑉 Trails 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∧ Fun ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ↾ (1..^(#‘{⟨0, 𝑖⟩}))) ∧ (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} “ {0, (#‘{⟨0, 𝑖⟩})}) ∩ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} “ (1..^(#‘{⟨0, 𝑖⟩})))) = ∅))))
4230, 34, 35, 41syl3anc 1318 . 2 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → ({⟨0, 𝑖⟩} (𝐴(𝑉 PathOn 𝐸)𝐵){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ↔ (({⟨0, 𝑖⟩} (𝑉 Walks 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∧ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0) = 𝐴 ∧ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘(#‘{⟨0, 𝑖⟩})) = 𝐵) ∧ ({⟨0, 𝑖⟩} (𝑉 Trails 𝐸){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∧ Fun ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ↾ (1..^(#‘{⟨0, 𝑖⟩}))) ∧ (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} “ {0, (#‘{⟨0, 𝑖⟩})}) ∩ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} “ (1..^(#‘{⟨0, 𝑖⟩})))) = ∅))))
4324, 29, 42mpbir2and 959 1 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → {⟨0, 𝑖⟩} (𝐴(𝑉 PathOn 𝐸)𝐵){⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ◡ccnv 5037   ↾ cres 5040   “ cima 5041  Fun wfun 5798  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816  ..^cfzo 12334  #chash 12979   Walks cwalk 26026   Trails ctrail 26027   Paths cpath 26028   WalkOn cwlkon 26030   PathOn cpthon 26032 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-wlk 26036  df-trail 26037  df-pth 26038  df-wlkon 26042  df-pthon 26044 This theorem is referenced by:  1pthoncl  26122
 Copyright terms: Public domain W3C validator