Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1conngra Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1conngra 26203
 Description: A class/graph with (at most) one vertex is connected. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
1conngra (𝐸𝑉 → {𝐴} ConnGrph 𝐸)

Proof of Theorem 1conngra
Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐸𝑉) → 𝐸𝑉)
2 snex 4835 . . . . . . . 8 {𝐴} ∈ V
31, 2jctil 558 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐸𝑉) → ({𝐴} ∈ V ∧ 𝐸𝑉))
4 snidg 4153 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ {𝐴})
54adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐸𝑉) → 𝐴 ∈ {𝐴})
6 0pthonv 26111 . . . . . . 7 (({𝐴} ∈ V ∧ 𝐸𝑉) → (𝐴 ∈ {𝐴} → ∃𝑓𝑝 𝑓(𝐴({𝐴} PathOn 𝐸)𝐴)𝑝))
73, 5, 6sylc 63 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐸𝑉) → ∃𝑓𝑝 𝑓(𝐴({𝐴} PathOn 𝐸)𝐴)𝑝)
8 oveq2 6557 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝐴 → (𝐴({𝐴} PathOn 𝐸)𝑛) = (𝐴({𝐴} PathOn 𝐸)𝐴))
98breqd 4594 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝐴 → (𝑓(𝐴({𝐴} PathOn 𝐸)𝑛)𝑝𝑓(𝐴({𝐴} PathOn 𝐸)𝐴)𝑝))
1092exbidv 1839 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝐴 → (∃𝑓𝑝 𝑓(𝐴({𝐴} PathOn 𝐸)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓𝑝 𝑓(𝐴({𝐴} PathOn 𝐸)𝐴)𝑝))
1110ralsng 4165 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → (∀𝑛 ∈ {𝐴}∃𝑓𝑝 𝑓(𝐴({𝐴} PathOn 𝐸)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓𝑝 𝑓(𝐴({𝐴} PathOn 𝐸)𝐴)𝑝))
1211adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐸𝑉) → (∀𝑛 ∈ {𝐴}∃𝑓𝑝 𝑓(𝐴({𝐴} PathOn 𝐸)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓𝑝 𝑓(𝐴({𝐴} PathOn 𝐸)𝐴)𝑝))
137, 12mpbird 246 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐸𝑉) → ∀𝑛 ∈ {𝐴}∃𝑓𝑝 𝑓(𝐴({𝐴} PathOn 𝐸)𝑛)𝑝)
14 oveq1 6556 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐴 → (𝑘({𝐴} PathOn 𝐸)𝑛) = (𝐴({𝐴} PathOn 𝐸)𝑛))
1514breqd 4594 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐴 → (𝑓(𝑘({𝐴} PathOn 𝐸)𝑛)𝑝𝑓(𝐴({𝐴} PathOn 𝐸)𝑛)𝑝))
16152exbidv 1839 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐴 → (∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘({𝐴} PathOn 𝐸)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓𝑝 𝑓(𝐴({𝐴} PathOn 𝐸)𝑛)𝑝))
1716ralbidv 2969 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐴 → (∀𝑛 ∈ {𝐴}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘({𝐴} PathOn 𝐸)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ {𝐴}∃𝑓𝑝 𝑓(𝐴({𝐴} PathOn 𝐸)𝑛)𝑝))
1817ralsng 4165 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (∀𝑘 ∈ {𝐴}∀𝑛 ∈ {𝐴}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘({𝐴} PathOn 𝐸)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ {𝐴}∃𝑓𝑝 𝑓(𝐴({𝐴} PathOn 𝐸)𝑛)𝑝))
1918adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐸𝑉) → (∀𝑘 ∈ {𝐴}∀𝑛 ∈ {𝐴}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘({𝐴} PathOn 𝐸)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ {𝐴}∃𝑓𝑝 𝑓(𝐴({𝐴} PathOn 𝐸)𝑛)𝑝))
2013, 19mpbird 246 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐸𝑉) → ∀𝑘 ∈ {𝐴}∀𝑛 ∈ {𝐴}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘({𝐴} PathOn 𝐸)𝑛)𝑝)
21 isconngra 26200 . . . . 5 (({𝐴} ∈ V ∧ 𝐸𝑉) → ({𝐴} ConnGrph 𝐸 ↔ ∀𝑘 ∈ {𝐴}∀𝑛 ∈ {𝐴}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘({𝐴} PathOn 𝐸)𝑛)𝑝))
223, 21syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐸𝑉) → ({𝐴} ConnGrph 𝐸 ↔ ∀𝑘 ∈ {𝐴}∀𝑛 ∈ {𝐴}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘({𝐴} PathOn 𝐸)𝑛)𝑝))
2320, 22mpbird 246 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐸𝑉) → {𝐴} ConnGrph 𝐸)
2423ex 449 . 2 (𝐴 ∈ V → (𝐸𝑉 → {𝐴} ConnGrph 𝐸))
25 snprc 4197 . . 3 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
26 0conngra 26202 . . . 4 (𝐸𝑉 → ∅ ConnGrph 𝐸)
27 breq1 4586 . . . 4 ({𝐴} = ∅ → ({𝐴} ConnGrph 𝐸 ↔ ∅ ConnGrph 𝐸))
2826, 27syl5ibr 235 . . 3 ({𝐴} = ∅ → (𝐸𝑉 → {𝐴} ConnGrph 𝐸))
2925, 28sylbi 206 . 2 𝐴 ∈ V → (𝐸𝑉 → {𝐴} ConnGrph 𝐸))
3024, 29pm2.61i 175 1 (𝐸𝑉 → {𝐴} ConnGrph 𝐸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549   PathOn cpthon 26032   ConnGrph cconngra 26197 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-wlk 26036  df-trail 26037  df-pth 26038  df-wlkon 26042  df-pthon 26044  df-conngra 26198 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator