MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem3 15678
Description: Lemma for 1259prm 15681. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑38 = 2↑34 · 2↑4≡870 · 16 = 11𝑁 + 71 and 2↑76 = (2↑34)↑2≡71↑2 = 4𝑁 + 5≡5. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem3 ((2↑76) mod 𝑁) = (5 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem3
StepHypRef Expression
1 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
2 1nn0 11185 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3 2nn0 11186 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11388 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
5 5nn0 11189 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
64, 5deccl 11388 . . . 4 125 ∈ ℕ0
7 9nn 11069 . . . 4 9 ∈ ℕ
86, 7decnncl 11394 . . 3 1259 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2684 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 11062 . 2 2 ∈ ℕ
11 3nn0 11187 . . 3 3 ∈ ℕ0
12 8nn0 11192 . . 3 8 ∈ ℕ0
1311, 12deccl 11388 . 2 38 ∈ ℕ0
14 4z 11288 . 2 4 ∈ ℤ
15 7nn0 11191 . . 3 7 ∈ ℕ0
1615, 2deccl 11388 . 2 71 ∈ ℕ0
17 4nn0 11188 . . . 4 4 ∈ ℕ0
1811, 17deccl 11388 . . 3 34 ∈ ℕ0
192, 2deccl 11388 . . . 4 11 ∈ ℕ0
2019nn0zi 11279 . . 3 11 ∈ ℤ
2112, 15deccl 11388 . . . 4 87 ∈ ℕ0
22 0nn0 11184 . . . 4 0 ∈ ℕ0
2321, 22deccl 11388 . . 3 870 ∈ ℕ0
24 6nn0 11190 . . . 4 6 ∈ ℕ0
252, 24deccl 11388 . . 3 16 ∈ ℕ0
2611259lem2 15677 . . 3 ((2↑34) mod 𝑁) = (870 mod 𝑁)
27 2exp4 15632 . . . 4 (2↑4) = 16
2827oveq1i 6559 . . 3 ((2↑4) mod 𝑁) = (16 mod 𝑁)
29 eqid 2610 . . . 4 34 = 34
30 4p4e8 11041 . . . 4 (4 + 4) = 8
3111, 17, 17, 29, 30decaddi 11455 . . 3 (34 + 4) = 38
32 9nn0 11193 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
33 eqid 2610 . . . . 5 71 = 71
34 10nn0 11392 . . . . 5 10 ∈ ℕ0
35 eqid 2610 . . . . . 6 11 = 11
3634nn0cni 11181 . . . . . . 7 10 ∈ ℂ
37 7cn 10981 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
38 dec10p 11429 . . . . . . 7 (10 + 7) = 17
3936, 37, 38addcomli 10107 . . . . . 6 (7 + 10) = 17
402, 11deccl 11388 . . . . . 6 13 ∈ ℕ0
416nn0cni 11181 . . . . . . . 8 125 ∈ ℂ
4241mulid2i 9922 . . . . . . 7 (1 · 125) = 125
432dec0h 11398 . . . . . . . 8 1 = 01
44 eqid 2610 . . . . . . . 8 13 = 13
45 0p1e1 11009 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
46 3cn 10972 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
47 ax-1cn 9873 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
48 3p1e4 11030 . . . . . . . . 9 (3 + 1) = 4
4946, 47, 48addcomli 10107 . . . . . . . 8 (1 + 3) = 4
5022, 2, 2, 11, 43, 44, 45, 49decadd 11446 . . . . . . 7 (1 + 13) = 14
51 2p1e3 11028 . . . . . . . 8 (2 + 1) = 3
52 eqid 2610 . . . . . . . 8 12 = 12
532, 3, 51, 52decsuc 11411 . . . . . . 7 (12 + 1) = 13
54 5p4e9 11044 . . . . . . 7 (5 + 4) = 9
554, 5, 2, 17, 42, 50, 53, 54decadd 11446 . . . . . 6 ((1 · 125) + (1 + 13)) = 139
56 5cn 10977 . . . . . . . 8 5 ∈ ℂ
57 7p5e12 11483 . . . . . . . 8 (7 + 5) = 12
5837, 56, 57addcomli 10107 . . . . . . 7 (5 + 7) = 12
594, 5, 15, 42, 53, 3, 58decaddci 11456 . . . . . 6 ((1 · 125) + 7) = 132
602, 2, 2, 15, 35, 39, 6, 3, 40, 55, 59decmac 11442 . . . . 5 ((11 · 125) + (7 + 10)) = 1392
61 9p1e10 11372 . . . . . 6 (9 + 1) = 10
62 9cn 10985 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
6319nn0cni 11181 . . . . . . 7 11 ∈ ℂ
64 9t11e99 11547 . . . . . . 7 (9 · 11) = 99
6562, 63, 64mulcomli 9926 . . . . . 6 (11 · 9) = 99
6632, 61, 65decsucc 11426 . . . . 5 ((11 · 9) + 1) = 100
676, 32, 15, 2, 1, 33, 19, 22, 34, 60, 66decma2c 11444 . . . 4 ((11 · 𝑁) + 71) = 13920
68 eqid 2610 . . . . 5 16 = 16
695, 3deccl 11388 . . . . . 6 52 ∈ ℕ0
7069, 3deccl 11388 . . . . 5 522 ∈ ℕ0
71 eqid 2610 . . . . . 6 870 = 870
72 eqid 2610 . . . . . 6 522 = 522
73 eqid 2610 . . . . . . 7 87 = 87
7469nn0cni 11181 . . . . . . . 8 52 ∈ ℂ
7574addid1i 10102 . . . . . . 7 (52 + 0) = 52
76 8cn 10983 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℂ
7776mulid1i 9921 . . . . . . . . 9 (8 · 1) = 8
7856addid1i 10102 . . . . . . . . 9 (5 + 0) = 5
7977, 78oveq12i 6561 . . . . . . . 8 ((8 · 1) + (5 + 0)) = (8 + 5)
80 8p5e13 11491 . . . . . . . 8 (8 + 5) = 13
8179, 80eqtri 2632 . . . . . . 7 ((8 · 1) + (5 + 0)) = 13
8237mulid1i 9921 . . . . . . . . 9 (7 · 1) = 7
8382oveq1i 6559 . . . . . . . 8 ((7 · 1) + 2) = (7 + 2)
84 7p2e9 11049 . . . . . . . 8 (7 + 2) = 9
8532dec0h 11398 . . . . . . . 8 9 = 09
8683, 84, 853eqtri 2636 . . . . . . 7 ((7 · 1) + 2) = 09
8712, 15, 5, 3, 73, 75, 2, 32, 22, 81, 86decmac 11442 . . . . . 6 ((87 · 1) + (52 + 0)) = 139
8847mul02i 10104 . . . . . . . 8 (0 · 1) = 0
8988oveq1i 6559 . . . . . . 7 ((0 · 1) + 2) = (0 + 2)
90 2cn 10968 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
9190addid2i 10103 . . . . . . 7 (0 + 2) = 2
923dec0h 11398 . . . . . . 7 2 = 02
9389, 91, 923eqtri 2636 . . . . . 6 ((0 · 1) + 2) = 02
9421, 22, 69, 3, 71, 72, 2, 3, 22, 87, 93decmac 11442 . . . . 5 ((870 · 1) + 522) = 1392
95 8t6e48 11535 . . . . . . . 8 (8 · 6) = 48
96 4p1e5 11031 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
97 8p4e12 11490 . . . . . . . 8 (8 + 4) = 12
9817, 12, 17, 95, 96, 3, 97decaddci 11456 . . . . . . 7 ((8 · 6) + 4) = 52
99 7t6e42 11528 . . . . . . 7 (7 · 6) = 42
10024, 12, 15, 73, 3, 17, 98, 99decmul1c 11463 . . . . . 6 (87 · 6) = 522
101 6cn 10979 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
102101mul02i 10104 . . . . . 6 (0 · 6) = 0
10324, 21, 22, 71, 22, 100, 102decmul1 11461 . . . . 5 (870 · 6) = 5220
10423, 2, 24, 68, 22, 70, 94, 103decmul2c 11465 . . . 4 (870 · 16) = 13920
10567, 104eqtr4i 2635 . . 3 ((11 · 𝑁) + 71) = (870 · 16)
1069, 10, 18, 20, 23, 16, 17, 25, 26, 28, 31, 105modxai 15610 . 2 ((2↑38) mod 𝑁) = (71 mod 𝑁)
107 eqid 2610 . . 3 38 = 38
108 3t2e6 11056 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
10946, 90, 108mulcomli 9926 . . . . 5 (2 · 3) = 6
110109oveq1i 6559 . . . 4 ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
111 6p1e7 11033 . . . 4 (6 + 1) = 7
112110, 111eqtri 2632 . . 3 ((2 · 3) + 1) = 7
113 8t2e16 11530 . . . 4 (8 · 2) = 16
11476, 90, 113mulcomli 9926 . . 3 (2 · 8) = 16
1153, 11, 12, 107, 24, 2, 112, 114decmul2c 11465 . 2 (2 · 38) = 76
1165dec0h 11398 . . . 4 5 = 05
117 eqid 2610 . . . . 5 125 = 125
118 4cn 10975 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
119118addid2i 10103 . . . . . 6 (0 + 4) = 4
12017dec0h 11398 . . . . . 6 4 = 04
121119, 120eqtri 2632 . . . . 5 (0 + 4) = 04
12291, 92eqtri 2632 . . . . . 6 (0 + 2) = 02
123118mulid1i 9921 . . . . . . . 8 (4 · 1) = 4
124123, 45oveq12i 6561 . . . . . . 7 ((4 · 1) + (0 + 1)) = (4 + 1)
125124, 96eqtri 2632 . . . . . 6 ((4 · 1) + (0 + 1)) = 5
126 4t2e8 11058 . . . . . . . 8 (4 · 2) = 8
127126oveq1i 6559 . . . . . . 7 ((4 · 2) + 2) = (8 + 2)
128 8p2e10 11486 . . . . . . 7 (8 + 2) = 10
129127, 128eqtri 2632 . . . . . 6 ((4 · 2) + 2) = 10
1302, 3, 22, 3, 52, 122, 17, 22, 2, 125, 129decma2c 11444 . . . . 5 ((4 · 12) + (0 + 2)) = 50
131 5t4e20 11513 . . . . . . 7 (5 · 4) = 20
13256, 118, 131mulcomli 9926 . . . . . 6 (4 · 5) = 20
1333, 22, 17, 132, 119decaddi 11455 . . . . 5 ((4 · 5) + 4) = 24
1344, 5, 22, 17, 117, 121, 17, 17, 3, 130, 133decma2c 11444 . . . 4 ((4 · 125) + (0 + 4)) = 504
135 9t4e36 11541 . . . . . 6 (9 · 4) = 36
13662, 118, 135mulcomli 9926 . . . . 5 (4 · 9) = 36
137 6p5e11 11476 . . . . 5 (6 + 5) = 11
13811, 24, 5, 136, 48, 2, 137decaddci 11456 . . . 4 ((4 · 9) + 5) = 41
1396, 32, 22, 5, 1, 116, 17, 2, 17, 134, 138decma2c 11444 . . 3 ((4 · 𝑁) + 5) = 5041
140 7t7e49 11529 . . . . . 6 (7 · 7) = 49
14117, 96, 140decsucc 11426 . . . . 5 ((7 · 7) + 1) = 50
14237mulid2i 9922 . . . . . . 7 (1 · 7) = 7
143142oveq1i 6559 . . . . . 6 ((1 · 7) + 7) = (7 + 7)
144 7p7e14 11485 . . . . . 6 (7 + 7) = 14
145143, 144eqtri 2632 . . . . 5 ((1 · 7) + 7) = 14
14615, 2, 15, 33, 15, 17, 2, 141, 145decrmac 11453 . . . 4 ((71 · 7) + 7) = 504
14716nn0cni 11181 . . . . 5 71 ∈ ℂ
148147mulid1i 9921 . . . 4 (71 · 1) = 71
14916, 15, 2, 33, 2, 15, 146, 148decmul2c 11465 . . 3 (71 · 71) = 5041
150139, 149eqtr4i 2635 . 2 ((4 · 𝑁) + 5) = (71 · 71)
1519, 10, 13, 14, 16, 5, 106, 115, 150mod2xi 15611 1 ((2↑76) mod 𝑁) = (5 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1475  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  cn 10897  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  5c5 10950  6c6 10951  7c7 10952  8c8 10953  9c9 10954  cdc 11369   mod cmo 12530  cexp 12722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723
This theorem is referenced by:  1259lem4  15679
  Copyright terms: Public domain W3C validator