MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem1 15676
Description: Lemma for 1259prm 15681. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑16 = 52𝑁 + 68≡68 and 2↑17≡68 · 2 = 136 in this lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem1 ((2↑17) mod 𝑁) = (136 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem1
StepHypRef Expression
1 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
2 1nn0 11185 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3 2nn0 11186 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11388 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
5 5nn0 11189 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
64, 5deccl 11388 . . . 4 125 ∈ ℕ0
7 9nn 11069 . . . 4 9 ∈ ℕ
86, 7decnncl 11394 . . 3 1259 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2684 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 11062 . 2 2 ∈ ℕ
11 6nn0 11190 . . 3 6 ∈ ℕ0
122, 11deccl 11388 . 2 16 ∈ ℕ0
13 0z 11265 . 2 0 ∈ ℤ
14 8nn0 11192 . . 3 8 ∈ ℕ0
1511, 14deccl 11388 . 2 68 ∈ ℕ0
16 3nn0 11187 . . . 4 3 ∈ ℕ0
172, 16deccl 11388 . . 3 13 ∈ ℕ0
1817, 11deccl 11388 . 2 136 ∈ ℕ0
195, 3deccl 11388 . . . 4 52 ∈ ℕ0
2019nn0zi 11279 . . 3 52 ∈ ℤ
213, 14nn0expcli 12748 . . 3 (2↑8) ∈ ℕ0
22 eqid 2610 . . 3 ((2↑8) mod 𝑁) = ((2↑8) mod 𝑁)
2314nn0cni 11181 . . . 4 8 ∈ ℂ
24 2cn 10968 . . . 4 2 ∈ ℂ
25 8t2e16 11530 . . . 4 (8 · 2) = 16
2623, 24, 25mulcomli 9926 . . 3 (2 · 8) = 16
27 9nn0 11193 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
28 eqid 2610 . . . . 5 68 = 68
29 4nn0 11188 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
30 7nn0 11191 . . . . . 6 7 ∈ ℕ0
3129, 30deccl 11388 . . . . 5 47 ∈ ℕ0
32 eqid 2610 . . . . . 6 125 = 125
33 0nn0 11184 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
3411dec0h 11398 . . . . . . 7 6 = 06
35 eqid 2610 . . . . . . 7 47 = 47
36 4cn 10975 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
3736addid2i 10103 . . . . . . . . 9 (0 + 4) = 4
3837oveq1i 6559 . . . . . . . 8 ((0 + 4) + 1) = (4 + 1)
39 4p1e5 11031 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
4038, 39eqtri 2632 . . . . . . 7 ((0 + 4) + 1) = 5
41 7cn 10981 . . . . . . . 8 7 ∈ ℂ
42 6cn 10979 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
43 7p6e13 11484 . . . . . . . 8 (7 + 6) = 13
4441, 42, 43addcomli 10107 . . . . . . 7 (6 + 7) = 13
4533, 11, 29, 30, 34, 35, 40, 16, 44decaddc 11448 . . . . . 6 (6 + 47) = 53
463, 11deccl 11388 . . . . . 6 26 ∈ ℕ0
47 eqid 2610 . . . . . . 7 12 = 12
485dec0h 11398 . . . . . . . 8 5 = 05
49 eqid 2610 . . . . . . . 8 26 = 26
5024addid2i 10103 . . . . . . . . . 10 (0 + 2) = 2
5150oveq1i 6559 . . . . . . . . 9 ((0 + 2) + 1) = (2 + 1)
52 2p1e3 11028 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
5351, 52eqtri 2632 . . . . . . . 8 ((0 + 2) + 1) = 3
54 5cn 10977 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
55 6p5e11 11476 . . . . . . . . 9 (6 + 5) = 11
5642, 54, 55addcomli 10107 . . . . . . . 8 (5 + 6) = 11
5733, 5, 3, 11, 48, 49, 53, 2, 56decaddc 11448 . . . . . . 7 (5 + 26) = 31
58 10nn0 11392 . . . . . . 7 10 ∈ ℕ0
59 eqid 2610 . . . . . . . 8 52 = 52
6058nn0cni 11181 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℂ
61 3cn 10972 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
62 dec10p 11429 . . . . . . . . 9 (10 + 3) = 13
6360, 61, 62addcomli 10107 . . . . . . . 8 (3 + 10) = 13
6454mulid1i 9921 . . . . . . . . . 10 (5 · 1) = 5
65 1p0e1 11010 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = 1
6664, 65oveq12i 6561 . . . . . . . . 9 ((5 · 1) + (1 + 0)) = (5 + 1)
67 5p1e6 11032 . . . . . . . . 9 (5 + 1) = 6
6866, 67eqtri 2632 . . . . . . . 8 ((5 · 1) + (1 + 0)) = 6
6924mulid1i 9921 . . . . . . . . . 10 (2 · 1) = 2
7069oveq1i 6559 . . . . . . . . 9 ((2 · 1) + 3) = (2 + 3)
71 3p2e5 11037 . . . . . . . . . 10 (3 + 2) = 5
7261, 24, 71addcomli 10107 . . . . . . . . 9 (2 + 3) = 5
7370, 72, 483eqtri 2636 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + 3) = 05
745, 3, 2, 16, 59, 63, 2, 5, 33, 68, 73decmac 11442 . . . . . . 7 ((52 · 1) + (3 + 10)) = 65
752dec0h 11398 . . . . . . . 8 1 = 01
76 5t2e10 11510 . . . . . . . . . 10 (5 · 2) = 10
77 00id 10090 . . . . . . . . . 10 (0 + 0) = 0
7876, 77oveq12i 6561 . . . . . . . . 9 ((5 · 2) + (0 + 0)) = (10 + 0)
79 dec10p 11429 . . . . . . . . 9 (10 + 0) = 10
8078, 79eqtri 2632 . . . . . . . 8 ((5 · 2) + (0 + 0)) = 10
81 2t2e4 11054 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
8281oveq1i 6559 . . . . . . . . 9 ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
8382, 39, 483eqtri 2636 . . . . . . . 8 ((2 · 2) + 1) = 05
845, 3, 33, 2, 59, 75, 3, 5, 33, 80, 83decmac 11442 . . . . . . 7 ((52 · 2) + 1) = 105
852, 3, 16, 2, 47, 57, 19, 5, 58, 74, 84decma2c 11444 . . . . . 6 ((52 · 12) + (5 + 26)) = 655
86 5t5e25 11515 . . . . . . . 8 (5 · 5) = 25
873, 5, 67, 86decsuc 11411 . . . . . . 7 ((5 · 5) + 1) = 26
8854, 24, 76mulcomli 9926 . . . . . . . 8 (2 · 5) = 10
8961addid2i 10103 . . . . . . . 8 (0 + 3) = 3
902, 33, 16, 88, 89decaddi 11455 . . . . . . 7 ((2 · 5) + 3) = 13
915, 3, 16, 59, 5, 16, 2, 87, 90decrmac 11453 . . . . . 6 ((52 · 5) + 3) = 263
924, 5, 5, 16, 32, 45, 19, 16, 46, 85, 91decma2c 11444 . . . . 5 ((52 · 125) + (6 + 47)) = 6553
93 9cn 10985 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
94 9t5e45 11542 . . . . . . . 8 (9 · 5) = 45
9593, 54, 94mulcomli 9926 . . . . . . 7 (5 · 9) = 45
96 5p2e7 11042 . . . . . . 7 (5 + 2) = 7
9729, 5, 3, 95, 96decaddi 11455 . . . . . 6 ((5 · 9) + 2) = 47
98 9t2e18 11539 . . . . . . . 8 (9 · 2) = 18
9993, 24, 98mulcomli 9926 . . . . . . 7 (2 · 9) = 18
100 1p1e2 11011 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
101 8p8e16 11494 . . . . . . 7 (8 + 8) = 16
1022, 14, 14, 99, 100, 11, 101decaddci 11456 . . . . . 6 ((2 · 9) + 8) = 26
1035, 3, 14, 59, 27, 11, 3, 97, 102decrmac 11453 . . . . 5 ((52 · 9) + 8) = 476
1046, 27, 11, 14, 1, 28, 19, 11, 31, 92, 103decma2c 11444 . . . 4 ((52 · 𝑁) + 68) = 65536
105 2exp16 15635 . . . 4 (2↑16) = 65536
106 eqid 2610 . . . . 5 (2↑8) = (2↑8)
107 eqid 2610 . . . . 5 ((2↑8) · (2↑8)) = ((2↑8) · (2↑8))
1083, 14, 26, 106, 107numexp2x 15621 . . . 4 (2↑16) = ((2↑8) · (2↑8))
109104, 105, 1083eqtr2i 2638 . . 3 ((52 · 𝑁) + 68) = ((2↑8) · (2↑8))
1109, 10, 14, 20, 21, 15, 22, 26, 109mod2xi 15611 . 2 ((2↑16) mod 𝑁) = (68 mod 𝑁)
111 6p1e7 11033 . . 3 (6 + 1) = 7
112 eqid 2610 . . 3 16 = 16
1132, 11, 111, 112decsuc 11411 . 2 (16 + 1) = 17
11418nn0cni 11181 . . . 4 136 ∈ ℂ
115114addid2i 10103 . . 3 (0 + 136) = 136
1169nncni 10907 . . . . 5 𝑁 ∈ ℂ
117116mul02i 10104 . . . 4 (0 · 𝑁) = 0
118117oveq1i 6559 . . 3 ((0 · 𝑁) + 136) = (0 + 136)
119 6t2e12 11517 . . . . 5 (6 · 2) = 12
1202, 3, 52, 119decsuc 11411 . . . 4 ((6 · 2) + 1) = 13
1213, 11, 14, 28, 11, 2, 120, 25decmul1c 11463 . . 3 (68 · 2) = 136
122115, 118, 1213eqtr4i 2642 . 2 ((0 · 𝑁) + 136) = (68 · 2)
1239, 10, 12, 13, 15, 18, 110, 113, 122modxp1i 15612 1 ((2↑17) mod 𝑁) = (136 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1475  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  cn 10897  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  5c5 10950  6c6 10951  7c7 10952  8c8 10953  9c9 10954  cdc 11369   mod cmo 12530  cexp 12722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723
This theorem is referenced by:  1259lem2  15677  1259lem4  15679
  Copyright terms: Public domain W3C validator