Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  11wlkd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 11wlkd 41308
 Description: In a graph with two vertices and an edge connecting these two vertices, to go from one vertex to the other vertex via this edge is a walk. The two vertices need not be distinct (in the case of a loop). (Contributed by AV, 22-Jan-2021.) (Revised by AV, 23-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
11wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
11wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
11wlkd.x (𝜑𝑋𝑉)
11wlkd.y (𝜑𝑌𝑉)
11wlkd.l ((𝜑𝑋 = 𝑌) → (𝐼𝐽) = {𝑋})
11wlkd.j ((𝜑𝑋𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼𝐽))
11wlkd.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
11wlkd.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
11wlkd (𝜑𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 11wlkd
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 11wlkd.p . . 3 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
2 11wlkd.f . . 3 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
3 11wlkd.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
4 11wlkd.y . . 3 (𝜑𝑌𝑉)
5 11wlkd.l . . 3 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → (𝐼𝐽) = {𝑋})
6 11wlkd.j . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼𝐽))
71, 2, 3, 4, 5, 611wlkdlem3 41306 . 2 (𝜑𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
81, 2, 3, 411wlkdlem1 41304 . 2 (𝜑𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
91, 2, 3, 4, 5, 611wlkdlem4 41307 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))
10 11wlkd.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
11101vgrex 25679 . . 3 (𝑋𝑉𝐺 ∈ V)
12 11wlkd.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
1310, 12is1wlkg 40816 . . 3 (𝐺 ∈ V → (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))))
143, 11, 133syl 18 . 2 (𝜑 → (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))))
157, 8, 9, 14mpbir3and 1238 1 (𝜑𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383  if-wif 1006   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146  ⟨“cs1 13149  ⟨“cs2 13437  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  1Walksc1wlks 40796 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-1wlks 40800 This theorem is referenced by:  1trld  41309  1pthond  41311  upgr11wlkd  41314
 Copyright terms: Public domain W3C validator