MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0mnnnnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0mnnnnn0 11202
Description: The result of subtracting a positive integer from 0 is not a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
0mnnnnn0 (𝑁 ∈ ℕ → (0 − 𝑁) ∉ ℕ0)

Proof of Theorem 0mnnnnn0
StepHypRef Expression
1 0re 9919 . 2 0 ∈ ℝ
2 nnel 2892 . . 3 (¬ (0 − 𝑁) ∉ ℕ0 ↔ (0 − 𝑁) ∈ ℕ0)
3 df-neg 10148 . . . . . 6 -𝑁 = (0 − 𝑁)
43eqcomi 2619 . . . . 5 (0 − 𝑁) = -𝑁
54eleq1i 2679 . . . 4 ((0 − 𝑁) ∈ ℕ0 ↔ -𝑁 ∈ ℕ0)
6 nn0ge0 11195 . . . . 5 (-𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ -𝑁)
7 nnre 10904 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
87le0neg1d 10478 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁))
9 nngt0 10926 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
10 0red 9920 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
1110, 7ltnled 10063 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (0 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ 0))
12 pm2.21 119 . . . . . . . 8 𝑁 ≤ 0 → (𝑁 ≤ 0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
1311, 12syl6bi 242 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (0 < 𝑁 → (𝑁 ≤ 0 → ¬ 0 ∈ ℝ)))
149, 13mpd 15 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
158, 14sylbird 249 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ -𝑁 → ¬ 0 ∈ ℝ))
166, 15syl5 33 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (-𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
175, 16syl5bi 231 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((0 − 𝑁) ∈ ℕ0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
182, 17syl5bi 231 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (¬ (0 − 𝑁) ∉ ℕ0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
191, 18mt4i 152 1 (𝑁 ∈ ℕ → (0 − 𝑁) ∉ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 1977  wnel 2781   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  cr 9814  0cc0 9815   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145  -cneg 10146  cn 10897  0cn0 11169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator