Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0cyg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0cyg 18117
 Description: The trivial group is cyclic. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
cygctb.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
0cyg ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1𝑜) → 𝐺 ∈ CycGrp)

Proof of Theorem 0cyg
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygctb.1 . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2610 . 2 (.g𝐺) = (.g𝐺)
3 simpl 472 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1𝑜) → 𝐺 ∈ Grp)
4 eqid 2610 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
51, 4grpidcl 17273 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
65adantr 480 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1𝑜) → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
7 0z 11265 . . 3 0 ∈ ℤ
8 en1eqsn 8075 . . . . . . . 8 (((0g𝐺) ∈ 𝐵𝐵 ≈ 1𝑜) → 𝐵 = {(0g𝐺)})
95, 8sylan 487 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1𝑜) → 𝐵 = {(0g𝐺)})
109eleq2d 2673 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1𝑜) → (𝑥𝐵𝑥 ∈ {(0g𝐺)}))
1110biimpa 500 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1𝑜) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})
12 velsn 4141 . . . . 5 (𝑥 ∈ {(0g𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g𝐺))
1311, 12sylib 207 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1𝑜) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 = (0g𝐺))
141, 4, 2mulg0 17369 . . . . . 6 ((0g𝐺) ∈ 𝐵 → (0(.g𝐺)(0g𝐺)) = (0g𝐺))
156, 14syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1𝑜) → (0(.g𝐺)(0g𝐺)) = (0g𝐺))
1615adantr 480 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1𝑜) ∧ 𝑥𝐵) → (0(.g𝐺)(0g𝐺)) = (0g𝐺))
1713, 16eqtr4d 2647 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1𝑜) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 = (0(.g𝐺)(0g𝐺)))
18 oveq1 6556 . . . . 5 (𝑛 = 0 → (𝑛(.g𝐺)(0g𝐺)) = (0(.g𝐺)(0g𝐺)))
1918eqeq2d 2620 . . . 4 (𝑛 = 0 → (𝑥 = (𝑛(.g𝐺)(0g𝐺)) ↔ 𝑥 = (0(.g𝐺)(0g𝐺))))
2019rspcev 3282 . . 3 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (0(.g𝐺)(0g𝐺))) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑛(.g𝐺)(0g𝐺)))
217, 17, 20sylancr 694 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1𝑜) ∧ 𝑥𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑛(.g𝐺)(0g𝐺)))
221, 2, 3, 6, 21iscygd 18112 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ≈ 1𝑜) → 𝐺 ∈ CycGrp)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  {csn 4125   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1𝑜c1o 7440   ≈ cen 7838  0cc0 9815  ℤcz 11254  Basecbs 15695  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  .gcmg 17363  CycGrpccyg 18102 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mulg 17364  df-cyg 18103 This theorem is referenced by:  lt6abl  18119  frgpcyg  19741
 Copyright terms: Public domain W3C validator