Theorem 0cmp 21007

Description: The singleton of the empty set is compact. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
0cmp	⊢ {∅} ∈ Comp

Proof of Theorem 0cmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn0top 20613	. . 3 ⊢ {∅} ∈ Top
2		snfi 7923	. . 3 ⊢ {∅} ∈ Fin
3		elin 3758	. . 3 ⊢ ({∅} ∈ (Top ∩ Fin) ↔ ({∅} ∈ Top ∧ {∅} ∈ Fin))
4	1, 2, 3	mpbir2an 957	. 2 ⊢ {∅} ∈ (Top ∩ Fin)
5		fincmp 21006	. 2 ⊢ ({∅} ∈ (Top ∩ Fin) → {∅} ∈ Comp)
6	4, 5	ax-mp 5	1 ⊢ {∅} ∈ Comp

Syntax hints:   ∈ wcel 1977   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  {csn 4125  Fincfn 7841  Topctop 20517  Compccmp 20999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-fin 7845  df-top 20521  df-topon 20523  df-cmp 21000

This theorem is referenced by:  fiuncmp  21017  xkouni  21212  icccmp  22436  ordcmp  31616