Theorem 0Trl 41290

Description: A pair of an empty set (of edges) and a second set (of vertices) is a trail iff the second set contains exactly one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.) (Revised by AV, 7-Jan-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
01wlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0Trl	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍) → (∅(TrailS‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Proof of Theorem 0Trl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4718	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		isTrl 40904	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ ∅ ∈ V ∧ 𝑃 ∈ 𝑍) → (∅(TrailS‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡∅)))
3	1, 2	mp3an2 1404	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍) → (∅(TrailS‘𝐺)𝑃 ↔ (∅(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡∅)))
4		01wlk.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5	4	01wlk 41284	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍) → (∅(1Walks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
6	5	anbi1d 737	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍) → ((∅(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡∅) ↔ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ Fun ◡∅)))
7		funcnv0 5869	. . . 4 ⊢ Fun ◡∅
8	7	biantru 525	. . 3 ⊢ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ Fun ◡∅))
9	6, 8	syl6bbr 277	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍) → ((∅(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡∅) ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
10	3, 9	bitrd 267	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝑃 ∈ 𝑍) → (∅(TrailS‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ^◡ccnv 5037  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  ...cfz 12197  Vtxcvtx 25673  1Walksc1wlks 40796  TrailSctrls 40899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-1wlks 40800  df-trls 40901

This theorem is referenced by:  is0Trl  41291  0TrlOn  41292  0pth-av  41293  0spth-av  41294  0Crct  41300