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Theorem zsum 13506
Description: Series sum with index set a subset of the upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zsum.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
zsum.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
zsum.3  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
zsum.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B , 
0 ) )
zsum.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
zsum  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    ph, k    k, Z   
k, M
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem zsum
Dummy variables  f 
g  i  j  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  i  ->  (
n  e.  A  <->  i  e.  A ) )
2 csbeq1 3438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  i  ->  [_ n  /  k ]_ B  =  [_ i  /  k ]_ B )
31, 2ifbieq1d 3962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  i  ->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( i  e.  A ,  [_ i  /  k ]_ B ,  0 ) )
43cbvmptv 4538 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( i  e.  ZZ  |->  if ( i  e.  A ,  [_ i  /  k ]_ B ,  0 ) )
5 simpll 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ph )
6 zsum.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
76ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
8 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ i  /  k ]_ B
98nfel1 2645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k
[_ i  /  k ]_ B  e.  CC
10 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  i  ->  B  =  [_ i  /  k ]_ B )
1110eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ i  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
129, 11rspc 3208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC )
)
137, 12syl5 32 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  A  ->  ( ph  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC ) )
145, 13mpan9 469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m ) )  /\  i  e.  A )  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC )
15 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  m  e.  ZZ )
16 zsum.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  M  e.  ZZ )
18 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  m ) )
19 zsum.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
20 zsum.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2119, 20syl6sseq 3550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
2221ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
234, 14, 15, 17, 18, 22sumrb 13501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  (  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
2423biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  (  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
2524expimpd 603 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
2625rexlimdva 2955 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
2719ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  A  C_  Z )
28 uzssz 11102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
2920, 28eqsstri 3534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Z  C_  ZZ
30 zssre 10872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ZZ  C_  RR
3129, 30sstri 3513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Z  C_  RR
32 ltso 9666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <  Or  RR
33 soss 4818 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Z 
C_  RR  ->  (  < 
Or  RR  ->  <  Or  Z ) )
3431, 32, 33mp2 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <  Or  Z
35 soss 4818 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  Z  ->  (  <  Or  Z  ->  <  Or  A ) )
3627, 34, 35mpisyl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  <  Or  A )
37 fzfi 12051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... m )  e. 
Fin
38 ovex 6310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... m )  e. 
_V
3938f1oen 7537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  ->  ( 1 ... m )  ~~  A )
4039adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
1 ... m )  ~~  A )
4140ensymd 7567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  A  ~~  ( 1 ... m
) )
42 enfii 7738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1 ... m
)  e.  Fin  /\  A  ~~  ( 1 ... m ) )  ->  A  e.  Fin )
4337, 41, 42sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  A  e.  Fin )
44 fz1iso 12478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  <  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  E. g  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) )
4536, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  E. g 
g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) )
46 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  ph )
4746, 13mpan9 469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) ) )  /\  i  e.  A )  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC )
48 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  j  ->  (
f `  n )  =  ( f `  j ) )
4948csbeq1d 3442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  j  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  j )  /  k ]_ B )
50 csbco 3445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  [_ (
f `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  j )  /  k ]_ B
5149, 50syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  j  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B )
5251cbvmptv 4538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B
)  =  ( j  e.  NN  |->  [_ (
f `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B
)
53 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  |->  [_ (
g `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B
)  =  ( j  e.  NN  |->  [_ (
g `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B
)
54 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  m  e.  NN )
5516ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
5621ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
57 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  f :
( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A )
58 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) )
594, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58summolem2a 13503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )
6059expr 615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A )  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )
6160exlimdv 1700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  ( E. g  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
)  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )
6245, 61mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )
63 breq2 4451 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m )  ->  (  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )
6462, 63syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m )  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
6564expimpd 603 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
6665exlimdv 1700 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
6766rexlimdva 2955 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
6826, 67jaod 380 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
6916adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  M  e.  ZZ )
7021adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
71 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )
72 fveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  ( ZZ>=
`  m )  =  ( ZZ>= `  M )
)
7372sseq2d 3532 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  <->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) ) )
74 seqeq1 12079 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  =  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) )
7574breq1d 4457 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  (  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
7673, 75anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  M  ->  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  M )  /\  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) ) )
7776rspcev 3214 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )  ->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
7869, 70, 71, 77syl12anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
7978orcd 392 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
8079ex 434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  -> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) ) )
8168, 80impbid 191 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  <->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
82 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
8328, 82sseldi 3502 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  j  e.  ZZ )
8482, 20syl6eleqr 2566 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  j  e.  Z )
85 zsum.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B , 
0 ) )
8685ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
8786adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
88 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k [_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B , 
0 )
8988nfeq2 2646 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( F `  j
)  =  [_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 )
90 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
91 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  [_ j  / 
k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
9290, 91eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <-> 
( F `  j
)  =  [_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
9389, 92rspc 3208 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  -> 
( F `  j
)  =  [_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
9484, 87, 93sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  j )  =  [_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
95 fvex 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( F `
 j )  e. 
_V
9694, 95syl6eqelr 2564 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  [_ j  / 
k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e. 
_V )
97 nfcv 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n if ( k  e.  A ,  B ,  0 )
98 nfv 1683 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k  n  e.  A
99 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ B
100 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
0
10198, 99, 100nfif 3968 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )
102 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
k  e.  A  <->  n  e.  A ) )
103 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  B  =  [_ n  /  k ]_ B )
104102, 103ifbieq1d 3962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  n  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
10597, 101, 104cbvmpt 4537 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
106105eqcomi 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
107106fvmpts 5953 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  [_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  _V )  -> 
( ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) `
 j )  = 
[_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B , 
0 ) )
10883, 96, 107syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) `  j )  =  [_ j  / 
k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
109108, 94eqtr4d 2511 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) `  j )  =  ( F `  j ) )
11016, 109seqfeq 12101 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  =  seq M
(  +  ,  F
) )
111110breq1d 4457 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  x ) )
11281, 111bitrd 253 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  <->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  x ) )
113112iotabidv 5572 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )  =  ( iota
x  seq M (  +  ,  F )  ~~>  x ) )
114 df-sum 13475 . 2  |-  sum_ k  e.  A  B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
115 df-fv 5596 . 2  |-  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) )  =  ( iota x  seq M (  +  ,  F )  ~~>  x )
116113, 114, 1153eqtr4g 2533 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   [_csb 3435    C_ wss 3476   ifcif 3939   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    Or wor 4799   iotacio 5549   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588    Isom wiso 5589  (class class class)co 6285    ~~ cen 7514   Fincfn 7517   CCcc 9491   RRcr 9492   0cc0 9493   1c1 9494    + caddc 9496    < clt 9629   NNcn 10537   ZZcz 10865   ZZ>=cuz 11083   ...cfz 11673    seqcseq 12076   #chash 12374    ~~> cli 13273   sum_csu 13474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-oi 7936  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-sum 13475
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