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Theorem zsum 13216
Description: Series sum with index set a subset of the upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zsum.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
zsum.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
zsum.3  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
zsum.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B , 
0 ) )
zsum.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
zsum  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    ph, k    k, Z   
k, M
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem zsum
Dummy variables  f 
g  i  j  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  i  ->  (
n  e.  A  <->  i  e.  A ) )
2 csbeq1 3312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  i  ->  [_ n  /  k ]_ B  =  [_ i  /  k ]_ B )
31, 2ifbieq1d 3833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  i  ->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( i  e.  A ,  [_ i  /  k ]_ B ,  0 ) )
43cbvmptv 4404 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( i  e.  ZZ  |->  if ( i  e.  A ,  [_ i  /  k ]_ B ,  0 ) )
5 simpll 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ph )
6 zsum.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
76ralrimiva 2820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
8 nfcsb1v 3325 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ i  /  k ]_ B
98nfel1 2604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k
[_ i  /  k ]_ B  e.  CC
10 csbeq1a 3318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  i  ->  B  =  [_ i  /  k ]_ B )
1110eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ i  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
129, 11rspc 3088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC )
)
137, 12syl5 32 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  A  ->  ( ph  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC ) )
145, 13mpan9 469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m ) )  /\  i  e.  A )  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC )
15 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  m  e.  ZZ )
16 zsum.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  M  e.  ZZ )
18 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  m ) )
19 zsum.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
20 zsum.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2119, 20syl6sseq 3423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
2221ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
234, 14, 15, 17, 18, 22sumrb 13211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  (  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
2423biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  (  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
2524expimpd 603 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
2625rexlimdva 2862 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
2719ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  A  C_  Z )
28 uzssz 10901 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
2920, 28eqsstri 3407 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Z  C_  ZZ
30 zssre 10674 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ZZ  C_  RR
3129, 30sstri 3386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Z  C_  RR
32 ltso 9476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <  Or  RR
33 soss 4680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Z 
C_  RR  ->  (  < 
Or  RR  ->  <  Or  Z ) )
3431, 32, 33mp2 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <  Or  Z
35 soss 4680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  Z  ->  (  <  Or  Z  ->  <  Or  A ) )
3627, 34, 35mpisyl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  <  Or  A )
37 fzfi 11815 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... m )  e. 
Fin
38 ovex 6137 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... m )  e. 
_V
3938f1oen 7351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  ->  ( 1 ... m )  ~~  A )
4039adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
1 ... m )  ~~  A )
4140ensymd 7381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  A  ~~  ( 1 ... m
) )
42 enfii 7551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1 ... m
)  e.  Fin  /\  A  ~~  ( 1 ... m ) )  ->  A  e.  Fin )
4337, 41, 42sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  A  e.  Fin )
44 fz1iso 12236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  <  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  E. g  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) )
4536, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  E. g 
g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) )
46 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  ph )
4746, 13mpan9 469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) ) )  /\  i  e.  A )  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC )
48 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  j  ->  (
f `  n )  =  ( f `  j ) )
4948csbeq1d 3316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  j  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  j )  /  k ]_ B )
50 csbco 3319 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  [_ (
f `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  j )  /  k ]_ B
5149, 50syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  j  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B )
5251cbvmptv 4404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B
)  =  ( j  e.  NN  |->  [_ (
f `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B
)
53 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  |->  [_ (
g `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B
)  =  ( j  e.  NN  |->  [_ (
g `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B
)
54 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  m  e.  NN )
5516ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
5621ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
57 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  f :
( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A )
58 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) )
594, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58summolem2a 13213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )
6059expr 615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A )  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )
6160exlimdv 1690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  ( E. g  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
)  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )
6245, 61mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )
63 breq2 4317 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m )  ->  (  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )
6462, 63syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m )  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
6564expimpd 603 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
6665exlimdv 1690 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
6766rexlimdva 2862 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
6826, 67jaod 380 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
6916adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  M  e.  ZZ )
7021adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
71 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )
72 fveq2 5712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  ( ZZ>=
`  m )  =  ( ZZ>= `  M )
)
7372sseq2d 3405 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  <->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) ) )
74 seqeq1 11830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  =  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) )
7574breq1d 4323 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  (  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
7673, 75anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  M  ->  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  M )  /\  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) ) )
7776rspcev 3094 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )  ->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
7869, 70, 71, 77syl12anc 1216 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
7978orcd 392 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
8079ex 434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  -> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) ) )
8168, 80impbid 191 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  <->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
82 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
8328, 82sseldi 3375 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  j  e.  ZZ )
8482, 20syl6eleqr 2534 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  j  e.  Z )
85 zsum.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B , 
0 ) )
8685ralrimiva 2820 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
8786adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
88 nfcsb1v 3325 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k [_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B , 
0 )
8988nfeq2 2605 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( F `  j
)  =  [_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 )
90 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
91 csbeq1a 3318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  [_ j  / 
k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
9290, 91eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <-> 
( F `  j
)  =  [_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
9389, 92rspc 3088 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  -> 
( F `  j
)  =  [_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
9484, 87, 93sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  j )  =  [_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
95 fvex 5722 . . . . . . . . 9  |-  ( F `
 j )  e. 
_V
9694, 95syl6eqelr 2532 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  [_ j  / 
k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e. 
_V )
97 nfcv 2589 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n if ( k  e.  A ,  B ,  0 )
98 nfv 1673 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k  n  e.  A
99 nfcsb1v 3325 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ B
100 nfcv 2589 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
0
10198, 99, 100nfif 3839 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )
102 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
k  e.  A  <->  n  e.  A ) )
103 csbeq1a 3318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  B  =  [_ n  /  k ]_ B )
104102, 103ifbieq1d 3833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  n  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
10597, 101, 104cbvmpt 4403 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
106105eqcomi 2447 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
107106fvmpts 5797 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  [_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  _V )  -> 
( ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) `
 j )  = 
[_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B , 
0 ) )
10883, 96, 107syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) `  j )  =  [_ j  / 
k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
109108, 94eqtr4d 2478 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) `  j )  =  ( F `  j ) )
11016, 109seqfeq 11852 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  =  seq M
(  +  ,  F
) )
111110breq1d 4323 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  x ) )
11281, 111bitrd 253 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  <->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  x ) )
113112iotabidv 5423 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )  =  ( iota
x  seq M (  +  ,  F )  ~~>  x ) )
114 df-sum 13185 . 2  |-  sum_ k  e.  A  B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
115 df-fv 5447 . 2  |-  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) )  =  ( iota x  seq M (  +  ,  F )  ~~>  x )
116113, 114, 1153eqtr4g 2500 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 2993   [_csb 3309    C_ wss 3349   ifcif 3812   class class class wbr 4313    e. cmpt 4371    Or wor 4661   iotacio 5400   -1-1-onto->wf1o 5438   ` cfv 5439    Isom wiso 5440  (class class class)co 6112    ~~ cen 7328   Fincfn 7331   CCcc 9301   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304    + caddc 9306    < clt 9439   NNcn 10343   ZZcz 10667   ZZ>=cuz 10882   ...cfz 11458    seqcseq 11827   #chash 12124    ~~> cli 12983   sum_csu 13184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-oi 7745  df-card 8130  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-rp 11013  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-clim 12987  df-sum 13185
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