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Theorem zsum 13625
Description: Series sum with index set a subset of the upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zsum.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
zsum.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
zsum.3  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
zsum.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B , 
0 ) )
zsum.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
zsum  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    ph, k    k, Z   
k, M
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem zsum
Dummy variables  f 
g  i  j  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  i  ->  (
n  e.  A  <->  i  e.  A ) )
2 csbeq1 3423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  i  ->  [_ n  /  k ]_ B  =  [_ i  /  k ]_ B )
31, 2ifbieq1d 3952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  i  ->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( i  e.  A ,  [_ i  /  k ]_ B ,  0 ) )
43cbvmptv 4530 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( i  e.  ZZ  |->  if ( i  e.  A ,  [_ i  /  k ]_ B ,  0 ) )
5 simpll 751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ph )
6 zsum.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
76ralrimiva 2868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
8 nfcsb1v 3436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ i  /  k ]_ B
98nfel1 2632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k
[_ i  /  k ]_ B  e.  CC
10 csbeq1a 3429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  i  ->  B  =  [_ i  /  k ]_ B )
1110eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ i  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
129, 11rspc 3201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC )
)
137, 12syl5 32 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  A  ->  ( ph  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC ) )
145, 13mpan9 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m ) )  /\  i  e.  A )  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC )
15 simplr 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  m  e.  ZZ )
16 zsum.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
1716ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  M  e.  ZZ )
18 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  m ) )
19 zsum.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
20 zsum.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2119, 20syl6sseq 3535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
2221ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
234, 14, 15, 17, 18, 22sumrb 13620 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  (  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
2423biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  (  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
2524expimpd 601 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
2625rexlimdva 2946 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
2719ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  A  C_  Z )
28 uzssz 11101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
2920, 28eqsstri 3519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Z  C_  ZZ
30 zssre 10867 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ZZ  C_  RR
3129, 30sstri 3498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Z  C_  RR
32 ltso 9654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <  Or  RR
33 soss 4807 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Z 
C_  RR  ->  (  < 
Or  RR  ->  <  Or  Z ) )
3431, 32, 33mp2 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <  Or  Z
35 soss 4807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  Z  ->  (  <  Or  Z  ->  <  Or  A ) )
3627, 34, 35mpisyl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  <  Or  A )
37 fzfi 12067 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... m )  e. 
Fin
38 ovex 6298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... m )  e. 
_V
3938f1oen 7529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  ->  ( 1 ... m )  ~~  A )
4039adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
1 ... m )  ~~  A )
4140ensymd 7559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  A  ~~  ( 1 ... m
) )
42 enfii 7730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1 ... m
)  e.  Fin  /\  A  ~~  ( 1 ... m ) )  ->  A  e.  Fin )
4337, 41, 42sylancr 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  A  e.  Fin )
44 fz1iso 12498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  <  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  E. g  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) )
4536, 43, 44syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  E. g 
g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) )
46 simpll 751 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  ph )
4746, 13mpan9 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) ) )  /\  i  e.  A )  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC )
48 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  j  ->  (
f `  n )  =  ( f `  j ) )
4948csbeq1d 3427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  j  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  j )  /  k ]_ B )
50 csbco 3430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  [_ (
f `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  j )  /  k ]_ B
5149, 50syl6eqr 2513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  j  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B )
5251cbvmptv 4530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B
)  =  ( j  e.  NN  |->  [_ (
f `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B
)
53 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  |->  [_ (
g `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B
)  =  ( j  e.  NN  |->  [_ (
g `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B
)
54 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  m  e.  NN )
5516ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
5621ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
57 simprl 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  f :
( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A )
58 simprr 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) )
594, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58summolem2a 13622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )
6059expr 613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A )  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )
6160exlimdv 1729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  ( E. g  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
)  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )
6245, 61mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )
63 breq2 4443 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m )  ->  (  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )
6462, 63syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m )  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
6564expimpd 601 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
6665exlimdv 1729 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
6766rexlimdva 2946 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
6826, 67jaod 378 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
6916adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  M  e.  ZZ )
7021adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
71 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )
72 fveq2 5848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  ( ZZ>=
`  m )  =  ( ZZ>= `  M )
)
7372sseq2d 3517 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  <->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) ) )
74 seqeq1 12095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  =  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) )
7574breq1d 4449 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  (  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
7673, 75anbi12d 708 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  M  ->  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  M )  /\  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) ) )
7776rspcev 3207 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )  ->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
7869, 70, 71, 77syl12anc 1224 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
7978orcd 390 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
8079ex 432 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  -> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) ) )
8168, 80impbid 191 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  <->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
82 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
8328, 82sseldi 3487 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  j  e.  ZZ )
8482, 20syl6eleqr 2553 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  j  e.  Z )
85 zsum.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B , 
0 ) )
8685ralrimiva 2868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
8786adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
88 nfcsb1v 3436 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k [_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B , 
0 )
8988nfeq2 2633 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( F `  j
)  =  [_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 )
90 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
91 csbeq1a 3429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  [_ j  / 
k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
9290, 91eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <-> 
( F `  j
)  =  [_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
9389, 92rspc 3201 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  -> 
( F `  j
)  =  [_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
9484, 87, 93sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  j )  =  [_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
95 fvex 5858 . . . . . . . . 9  |-  ( F `
 j )  e. 
_V
9694, 95syl6eqelr 2551 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  [_ j  / 
k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e. 
_V )
97 nfcv 2616 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n if ( k  e.  A ,  B ,  0 )
98 nfv 1712 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k  n  e.  A
99 nfcsb1v 3436 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ B
100 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
0
10198, 99, 100nfif 3958 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )
102 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
k  e.  A  <->  n  e.  A ) )
103 csbeq1a 3429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  B  =  [_ n  /  k ]_ B )
104102, 103ifbieq1d 3952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  n  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
10597, 101, 104cbvmpt 4529 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
106105eqcomi 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
107106fvmpts 5933 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  [_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  _V )  -> 
( ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) `
 j )  = 
[_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B , 
0 ) )
10883, 96, 107syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) `  j )  =  [_ j  / 
k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
109108, 94eqtr4d 2498 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) `  j )  =  ( F `  j ) )
11016, 109seqfeq 12117 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  =  seq M
(  +  ,  F
) )
111110breq1d 4449 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  x ) )
11281, 111bitrd 253 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  <->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  x ) )
113112iotabidv 5555 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )  =  ( iota
x  seq M (  +  ,  F )  ~~>  x ) )
114 df-sum 13594 . 2  |-  sum_ k  e.  A  B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
115 df-fv 5578 . 2  |-  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) )  =  ( iota x  seq M (  +  ,  F )  ~~>  x )
116113, 114, 1153eqtr4g 2520 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106   [_csb 3420    C_ wss 3461   ifcif 3929   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497    Or wor 4788   iotacio 5532   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570    Isom wiso 5571  (class class class)co 6270    ~~ cen 7506   Fincfn 7509   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    < clt 9617   NNcn 10531   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675    seqcseq 12092   #chash 12390    ~~> cli 13392   sum_csu 13593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-exp 12152  df-hash 12391  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-clim 13396  df-sum 13594
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