MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zsubrg Structured version   Unicode version

Theorem zsubrg 17990
Description: The integers form a subring of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
zsubrg  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )

Proof of Theorem zsubrg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zcn 10761 . 2  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
2 zaddcl 10795 . 2  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  +  y )  e.  ZZ )
3 znegcl 10790 . 2  |-  ( x  e.  ZZ  ->  -u x  e.  ZZ )
4 1z 10786 . 2  |-  1  e.  ZZ
5 zmulcl 10803 . 2  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  x.  y
)  e.  ZZ )
61, 2, 3, 4, 5cnsubrglem 17987 1  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1758   ` cfv 5525   ZZcz 10756  SubRingcsubrg 16983  ℂfldccnfld 17942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-addf 9471  ax-mulf 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-fz 11554  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-starv 14371  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-unif 14379  df-0g 14498  df-mnd 15533  df-grp 15663  df-minusg 15664  df-subg 15796  df-cmn 16399  df-mgp 16713  df-ur 16725  df-rng 16769  df-cring 16770  df-subrg 16985  df-cnfld 17943
This theorem is referenced by:  zringcrng  18009  zring1  18018  zrng1  18024  zringlpirlem1  18027  zringcyg  18031  zlpirlem1  18032  zlpirlem3  18034  zlpir  18035  zcyg  18036  zringunit  18038  zrngunit  18039  prmirred  18043  prmirredlemOLD  18044  prmirredOLD  18046  expghmOLD  18048  mulgghm2OLD  18052  mulgrhmOLD  18053  mulgrhm2OLD  18054  znlidlOLD  18092  zncrng2OLD  18093  zndvds  18106  zrhpsgnmhm  18138  zringnrg  20496  zlmclm  20798  wilthlem2  22539  wilthlem3  22540  lgsqrlem1  22812  lgseisenlem4  22823  dchrisum0flblem1  22889  mzpmfpOLD  29231  zringsubgval  31012
  Copyright terms: Public domain W3C validator