MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zsqcl Structured version   Unicode version

Theorem zsqcl 12046
Description: Integers are closed under squaring. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
zsqcl  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )

Proof of Theorem zsqcl
StepHypRef Expression
1 2nn0 10700 . 2  |-  2  e.  NN0
2 zexpcl 11990 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 2 )  e.  ZZ )
31, 2mpan2 671 1  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758  (class class class)co 6193   2c2 10475   NN0cn0 10683   ZZcz 10750   ^cexp 11975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-seq 11917  df-exp 11976
This theorem is referenced by:  zsqcl2  12053  zesq  12097  sqr2irrlem  13641  dvdssqim  13848  dvdssq  13855  nn0gcdsq  13941  numdensq  13943  pythagtriplem3  13996  prmreclem1  14088  4sqlem8  14117  4sqlem10  14119  4sqlem11  14127  4sqlem12  14128  4sqlem14  14130  4sqlem15  14131  4sqlem16  14132  odadd2  16444  muval1  22597  dvdssqf  22602  mumullem1  22643  lgsqrlem2  22807  lgsqrlem4  22809  lgsqr  22811  2sqlem3  22831  2sqlem4  22832  2sqlem8  22837  2sqblem  22842  pellexlem5  29315  rmspecnonsq  29389  rmspecfund  29391  jm2.18  29478  jm2.22  29485  jm2.20nn  29487  jm2.27a  29495  jm2.27c  29497  jm3.1lem3  29509
  Copyright terms: Public domain W3C validator