Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zrngunit Structured version   Unicode version

Theorem zrngunit 18283
 Description: The units of are the integers with norm , i.e. and . (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) Obsolete version of zringunit 18282 as of 9-Jun-2019. (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
zrngunit.1 flds
Assertion
Ref Expression
zrngunit Unit

Proof of Theorem zrngunit
StepHypRef Expression
1 zsubrg 18234 . . . . 5 SubRingfld
2 zrngunit.1 . . . . . 6 flds
32subrgbas 17216 . . . . 5 SubRingfld
41, 3ax-mp 5 . . . 4
5 eqid 2462 . . . 4 Unit Unit
64, 5unitcl 17087 . . 3 Unit
7 zgz 14301 . . . . . . . 8
87ssriv 3503 . . . . . . 7
9 gzsubrg 18235 . . . . . . . 8 SubRingfld
10 eqid 2462 . . . . . . . . 9 flds flds
1110subsubrg 17233 . . . . . . . 8 SubRingfld SubRingflds SubRingfld
129, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 SubRingflds SubRingfld
131, 8, 12mpbir2an 913 . . . . . 6 SubRingflds
14 ressabs 14544 . . . . . . . . 9 SubRingfld flds s flds
159, 8, 14mp2an 672 . . . . . . . 8 flds s flds
162, 15eqtr4i 2494 . . . . . . 7 flds s
17 eqid 2462 . . . . . . 7 Unitflds Unitflds
1816, 17, 5subrguss 17222 . . . . . 6 SubRingflds Unit Unitflds
1913, 18ax-mp 5 . . . . 5 Unit Unitflds
2019sseli 3495 . . . 4 Unit Unitflds
2110gzrngunit 18246 . . . . 5 Unitflds
2221simprbi 464 . . . 4 Unitflds
2320, 22syl 16 . . 3 Unit
246, 23jca 532 . 2 Unit
25 zcn 10860 . . . . 5
2625adantr 465 . . . 4
27 simpr 461 . . . . . 6
28 ax-1ne0 9552 . . . . . . 7
2928a1i 11 . . . . . 6
3027, 29eqnetrd 2755 . . . . 5
31 fveq2 5859 . . . . . . 7
32 abs0 13070 . . . . . . 7
3331, 32syl6eq 2519 . . . . . 6
3433necon3i 2702 . . . . 5
3530, 34syl 16 . . . 4
36 eldifsn 4147 . . . 4
3726, 35, 36sylanbrc 664 . . 3
38 simpl 457 . . 3
39 cnfldinv 18215 . . . . . 6 fld
4026, 35, 39syl2anc 661 . . . . 5 fld
41 zre 10859 . . . . . . . . 9
4241adantr 465 . . . . . . . 8
43 absresq 13087 . . . . . . . 8
4442, 43syl 16 . . . . . . 7
4527oveq1d 6292 . . . . . . . 8
46 sq1 12219 . . . . . . . 8
4745, 46syl6eq 2519 . . . . . . 7
4826sqvald 12264 . . . . . . 7
4944, 47, 483eqtr3rd 2512 . . . . . 6
50 ax-1cn 9541 . . . . . . . 8
5150a1i 11 . . . . . . 7
5251, 26, 26, 35divmuld 10333 . . . . . 6
5349, 52mpbird 232 . . . . 5
5440, 53eqtrd 2503 . . . 4 fld
5554, 38eqeltrd 2550 . . 3 fld
56 cnfldbas 18190 . . . . . 6 fld
57 cnfld0 18208 . . . . . 6 fld
58 cndrng 18213 . . . . . 6 fld
5956, 57, 58drngui 17180 . . . . 5 Unitfld
60 eqid 2462 . . . . 5 fld fld
612, 59, 5, 60subrgunit 17225 . . . 4 SubRingfld Unit fld
621, 61ax-mp 5 . . 3 Unit fld
6337, 38, 55, 62syl3anbrc 1175 . 2 Unit
6424, 63impbii 188 1 Unit
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 184   wa 369   w3a 968   wceq 1374   wcel 1762   wne 2657   cdif 3468   wss 3471  csn 4022  cfv 5581  (class class class)co 6277  cc 9481  cr 9482  cc0 9483  c1 9484   cmul 9488   cdiv 10197  c2 10576  cz 10855  cexp 12124  cabs 13019  cgz 14297  cbs 14481   ↾s cress 14482  Unitcui 17067  cinvr 17099  SubRingcsubrg 17203  ℂfldccnfld 18186 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-sup 7892  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-rp 11212  df-fz 11664  df-seq 12066  df-exp 12125  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-gz 14298  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-0g 14688  df-mnd 15723  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-subg 15988  df-cmn 16591  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983  df-cring 16984  df-oppr 17051  df-dvdsr 17069  df-unit 17070  df-invr 17100  df-dvr 17111  df-drng 17176  df-subrg 17205  df-cnfld 18187 This theorem is referenced by:  prmirredlemOLD  18288
 Copyright terms: Public domain W3C validator