MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zriotaneg Structured version   Unicode version

Theorem zriotaneg 10841
Description: The negative of the unique integer such that  ph. (Contributed by AV, 1-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
zriotaneg.1  |-  ( x  =  -u y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
zriotaneg  |-  ( E! x  e.  ZZ  ph  ->  ( iota_ x  e.  ZZ  ph )  =  -u ( iota_ y  e.  ZZ  ps ) )
Distinct variable groups:    x, y    ph, y    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)

Proof of Theorem zriotaneg
StepHypRef Expression
1 tru 1374 . 2  |- T.
2 nfriota1 6144 . . . 4  |-  F/_ y
( iota_ y  e.  ZZ  ps )
32nfneg 9693 . . 3  |-  F/_ y -u ( iota_ y  e.  ZZ  ps )
4 znegcl 10767 . . . 4  |-  ( y  e.  ZZ  ->  -u y  e.  ZZ )
54adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ZZ )  ->  -u y  e.  ZZ )
6 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( iota_ y  e.  ZZ  ps )  e.  ZZ )  ->  ( iota_ y  e.  ZZ  ps )  e.  ZZ )
76znegcld 10836 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( iota_ y  e.  ZZ  ps )  e.  ZZ )  ->  -u ( iota_ y  e.  ZZ  ps )  e.  ZZ )
8 zriotaneg.1 . . 3  |-  ( x  =  -u y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
9 negeq 9689 . . 3  |-  ( y  =  ( iota_ y  e.  ZZ  ps )  ->  -u y  =  -u ( iota_ y  e.  ZZ  ps ) )
10 znegcl 10767 . . . . 5  |-  ( x  e.  ZZ  ->  -u x  e.  ZZ )
11 zcn 10738 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
12 zcn 10738 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
13 negcon2 9749 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  =  -u y 
<->  y  =  -u x
) )
1411, 12, 13syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  =  -u y 
<->  y  =  -u x
) )
1510, 14reuhyp 4604 . . . 4  |-  ( x  e.  ZZ  ->  E! y  e.  ZZ  x  =  -u y )
1615adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ZZ )  ->  E! y  e.  ZZ  x  =  -u y )
173, 5, 7, 8, 9, 16riotaxfrd 6168 . 2  |-  ( ( T.  /\  E! x  e.  ZZ  ph )  -> 
( iota_ x  e.  ZZ  ph )  =  -u ( iota_ y  e.  ZZ  ps ) )
181, 17mpan 670 1  |-  ( E! x  e.  ZZ  ph  ->  ( iota_ x  e.  ZZ  ph )  =  -u ( iota_ y  e.  ZZ  ps ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1757   E!wreu 2794   iota_crio 6136   CCcc 9367   -ucneg 9683   ZZcz 10733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-er 7187  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-z 10734
This theorem is referenced by:  dfceil2  11767
  Copyright terms: Public domain W3C validator