MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringmulg Structured version   Unicode version

Theorem zringmulg 17997
Description: The multiplication (group power) operation of the group of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
zringmulg  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A (.g ` ring ) B )  =  ( A  x.  B
) )

Proof of Theorem zringmulg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zcn 10749 . . . 4  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
2 zaddcl 10783 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  +  y )  e.  ZZ )
3 znegcl 10778 . . . 4  |-  ( x  e.  ZZ  ->  -u x  e.  ZZ )
4 1z 10774 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
51, 2, 3, 4cnsubglem 17968 . . 3  |-  ZZ  e.  (SubGrp ` fld )
6 eqid 2451 . . . 4  |-  (.g ` fld )  =  (.g ` fld )
7 df-zring 17990 . . . 4  |-ring  =  (flds  ZZ )
8 eqid 2451 . . . 4  |-  (.g ` ring )  =  (.g ` ring )
96, 7, 8subgmulg 15794 . . 3  |-  ( ( ZZ  e.  (SubGrp ` fld )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A (.g ` fld ) B )  =  ( A (.g ` ring ) B ) )
105, 9mp3an1 1302 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A (.g ` fld ) B )  =  ( A (.g ` ring ) B ) )
11 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
1211zcnd 10846 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  CC )
13 cnfldmulg 17954 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  CC )  ->  ( A (.g ` fld ) B )  =  ( A  x.  B
) )
1412, 13syldan 470 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A (.g ` fld ) B )  =  ( A  x.  B
) )
1510, 14eqtr3d 2493 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A (.g ` ring ) B )  =  ( A  x.  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5513  (class class class)co 6187   CCcc 9378   1c1 9381    x. cmul 9385   ZZcz 10744  .gcmg 15513  SubGrpcsubg 15774  ℂfldccnfld 17924  ℤringzring 17989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-inf2 7945  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457  ax-addf 9459  ax-mulf 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-1o 7017  df-oadd 7021  df-er 7198  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-fin 7411  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-4 10480  df-5 10481  df-6 10482  df-7 10483  df-8 10484  df-9 10485  df-10 10486  df-n0 10678  df-z 10745  df-dec 10854  df-uz 10960  df-fz 11536  df-seq 11905  df-struct 14275  df-ndx 14276  df-slot 14277  df-base 14278  df-sets 14279  df-ress 14280  df-plusg 14350  df-mulr 14351  df-starv 14352  df-tset 14356  df-ple 14357  df-ds 14359  df-unif 14360  df-0g 14479  df-mnd 15514  df-grp 15644  df-minusg 15645  df-mulg 15647  df-subg 15777  df-cmn 16380  df-mgp 16694  df-rng 16750  df-cring 16751  df-cnfld 17925  df-zring 17990
This theorem is referenced by:  mulgrhm2  18033
  Copyright terms: Public domain W3C validator