MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringlpirlem3OLD Structured version   Unicode version

Theorem zringlpirlem3OLD 19053
Description: Lemma for zringlpir 19056. All elements of a nonzero ideal of integers are divided by the least one. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.) Obsolete version of zringlpirlem3 19055 as of 27-Sep-2020. (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
zringlpirlem.i  |-  ( ph  ->  I  e.  (LIdeal ` ring )
)
zringlpirlem.n0  |-  ( ph  ->  I  =/=  { 0 } )
zringlpirlemOLD.g  |-  G  =  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )
zringlpirlemOLD.x  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
Assertion
Ref Expression
zringlpirlem3OLD  |-  ( ph  ->  G  ||  X )

Proof of Theorem zringlpirlem3OLD
StepHypRef Expression
1 zringlpirlem.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  (LIdeal ` ring )
)
2 zringbas 19043 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
3 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  (LIdeal ` ring )  =  (LIdeal ` ring )
42, 3lidlss 18432 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  (LIdeal ` ring )  ->  I  C_  ZZ )
51, 4syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  I  C_  ZZ )
6 zringlpirlemOLD.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
75, 6sseldd 3465 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ZZ )
87zred 11047 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
9 inss2 3683 . . . . . . . 8  |-  ( I  i^i  NN )  C_  NN
10 zringlpirlemOLD.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )
11 nnuz 11201 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
129, 11sseqtri 3496 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  i^i  NN )  C_  ( ZZ>= `  1 )
13 zringlpirlem.n0 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  I  =/=  { 0 } )
141, 13zringlpirlem1 19051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I  i^i  NN )  =/=  (/) )
15 infmssuzclOLD 11254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  i^i  NN )  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  ( I  i^i  NN )  =/=  (/) )  ->  sup ( ( I  i^i 
NN ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( I  i^i  NN ) )
1612, 14, 15sylancr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( I  i^i 
NN ) )
1710, 16syl5eqel 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  ( I  i^i  NN ) )
189, 17sseldi 3462 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  NN )
1918nnrpd 11346 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  RR+ )
20 modlt 12113 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  RR  /\  G  e.  RR+ )  -> 
( X  mod  G
)  <  G )
218, 19, 20syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  <  G )
227, 18zmodcld 12123 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  e.  NN0 )
2322nn0red 10933 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  e.  RR )
2418nnred 10631 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  RR )
2523, 24ltnled 9789 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  mod  G )  <  G  <->  -.  G  <_  ( X  mod  G
) ) )
2621, 25mpbid 213 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  G  <_  ( X  mod  G ) )
277zcnd 11048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
2818nncnd 10632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
298, 18nndivred 10665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  /  G
)  e.  RR )
3029flcld 12040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( X  /  G ) )  e.  ZZ )
3130zcnd 11048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( X  /  G ) )  e.  CC )
3228, 31mulcld 9670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) )  e.  CC )
3327, 32negsubd 9999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  +  -u ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) )  =  ( X  -  ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) ) )
3430znegcld 11049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u ( |_ `  ( X  /  G
) )  e.  ZZ )
3534zcnd 11048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u ( |_ `  ( X  /  G
) )  e.  CC )
3635, 28mulcomd 9671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -u ( |_
`  ( X  /  G ) )  x.  G )  =  ( G  x.  -u ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) )
3728, 31mulneg2d 10079 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G  x.  -u ( |_ `  ( X  /  G ) ) )  =  -u ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) )
3836, 37eqtrd 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u ( |_
`  ( X  /  G ) )  x.  G )  =  -u ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) )
3938oveq2d 6321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  +  (
-u ( |_ `  ( X  /  G
) )  x.  G
) )  =  ( X  +  -u ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G
) ) ) ) )
40 modval 12104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  RR  /\  G  e.  RR+ )  -> 
( X  mod  G
)  =  ( X  -  ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) ) )
418, 19, 40syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  =  ( X  -  ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) ) )
4233, 39, 413eqtr4rd 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  =  ( X  +  ( -u ( |_ `  ( X  /  G ) )  x.  G ) ) )
43 zringring 19040 . . . . . . . . . . 11  |-ring  e.  Ring
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->ring  e. 
Ring )
451, 13, 10zringlpirlem2OLD 19052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  I )
46 zringmulr 19046 . . . . . . . . . . . 12  |-  x.  =  ( .r ` ring )
473, 2, 46lidlmcl 18440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (ring  e.  Ring  /\  I  e.  (LIdeal ` ring ) )  /\  ( -u ( |_ `  ( X  /  G ) )  e.  ZZ  /\  G  e.  I ) )  -> 
( -u ( |_ `  ( X  /  G
) )  x.  G
)  e.  I )
4844, 1, 34, 45, 47syl22anc 1265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( |_
`  ( X  /  G ) )  x.  G )  e.  I
)
49 zringplusg 19044 . . . . . . . . . . 11  |-  +  =  ( +g  ` ring )
503, 49lidlacl 18435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (ring  e.  Ring  /\  I  e.  (LIdeal ` ring ) )  /\  ( X  e.  I  /\  ( -u ( |_ `  ( X  /  G
) )  x.  G
)  e.  I ) )  ->  ( X  +  ( -u ( |_ `  ( X  /  G ) )  x.  G ) )  e.  I )
5144, 1, 6, 48, 50syl22anc 1265 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  +  (
-u ( |_ `  ( X  /  G
) )  x.  G
) )  e.  I
)
5242, 51eqeltrd 2507 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  e.  I )
5352adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  mod  G )  e.  NN )  ->  ( X  mod  G )  e.  I )
54 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  mod  G )  e.  NN )  ->  ( X  mod  G )  e.  NN )
5553, 54elind 3650 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  mod  G )  e.  NN )  ->  ( X  mod  G )  e.  ( I  i^i  NN ) )
56 infmssuzleOLD 11253 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  i^i  NN )  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  ( X  mod  G )  e.  ( I  i^i  NN ) )  ->  sup (
( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( X  mod  G ) )
5712, 55, 56sylancr 667 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  mod  G )  e.  NN )  ->  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( X  mod  G ) )
5810, 57syl5eqbr 4457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  mod  G )  e.  NN )  ->  G  <_  ( X  mod  G ) )
5926, 58mtand 663 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( X  mod  G )  e.  NN )
60 elnn0 10878 . . . 4  |-  ( ( X  mod  G )  e.  NN0  <->  ( ( X  mod  G )  e.  NN  \/  ( X  mod  G )  =  0 ) )
6122, 60sylib 199 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  mod  G )  e.  NN  \/  ( X  mod  G )  =  0 ) )
62 orel1 383 . . 3  |-  ( -.  ( X  mod  G
)  e.  NN  ->  ( ( ( X  mod  G )  e.  NN  \/  ( X  mod  G )  =  0 )  -> 
( X  mod  G
)  =  0 ) )
6359, 61, 62sylc 62 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  =  0 )
64 dvdsval3 14308 . . 3  |-  ( ( G  e.  NN  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( G  ||  X  <->  ( X  mod  G )  =  0 ) )
6518, 7, 64syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  ||  X  <->  ( X  mod  G )  =  0 ) )
6663, 65mpbird 235 1  |-  ( ph  ->  G  ||  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   {csn 3998   class class class wbr 4423   `'ccnv 4852   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   supcsup 7963   RRcr 9545   0cc0 9546   1c1 9547    + caddc 9549    x. cmul 9551    < clt 9682    <_ cle 9683    - cmin 9867   -ucneg 9868    / cdiv 10276   NNcn 10616   NN0cn0 10876   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166   RR+crp 11309   |_cfl 12032    mod cmo 12102    || cdvds 14304   Ringcrg 17779  LIdealclidl 18392  ℤringzring 19037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-sup 7965  df-inf 7966  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fl 12034  df-mod 12103  df-seq 12220  df-exp 12279  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-dvds 14305  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ip 15207  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-0g 15339  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-grp 16672  df-minusg 16673  df-sbg 16674  df-subg 16813  df-cmn 17431  df-mgp 17723  df-ur 17735  df-ring 17781  df-cring 17782  df-subrg 18005  df-lmod 18092  df-lss 18155  df-sra 18394  df-rgmod 18395  df-lidl 18396  df-cnfld 18970  df-zring 19038
This theorem is referenced by:  zringlpirOLD  19057
  Copyright terms: Public domain W3C validator