MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringlpirlem2 Structured version   Unicode version

Theorem zringlpirlem2 18377
Description: Lemma for zringlpir 18379. A nonzero ideal of integers contains the least positive element. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zringlpirlem.i  |-  ( ph  ->  I  e.  (LIdeal ` ring )
)
zringlpirlem.n0  |-  ( ph  ->  I  =/=  { 0 } )
zringlpirlem.g  |-  G  =  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )
Assertion
Ref Expression
zringlpirlem2  |-  ( ph  ->  G  e.  I )

Proof of Theorem zringlpirlem2
StepHypRef Expression
1 zringlpirlem.g . 2  |-  G  =  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )
2 inss1 3723 . . 3  |-  ( I  i^i  NN )  C_  I
3 inss2 3724 . . . . 5  |-  ( I  i^i  NN )  C_  NN
4 nnuz 11129 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
53, 4sseqtri 3541 . . . 4  |-  ( I  i^i  NN )  C_  ( ZZ>= `  1 )
6 zringlpirlem.i . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  (LIdeal ` ring )
)
7 zringlpirlem.n0 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  =/=  { 0 } )
86, 7zringlpirlem1 18376 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I  i^i  NN )  =/=  (/) )
9 infmssuzcl 11177 . . . 4  |-  ( ( ( I  i^i  NN )  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  ( I  i^i  NN )  =/=  (/) )  ->  sup ( ( I  i^i 
NN ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( I  i^i  NN ) )
105, 8, 9sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( I  i^i 
NN ) )
112, 10sseldi 3507 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  I )
121, 11syl5eqel 2559 1  |-  ( ph  ->  G  e.  I )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    i^i cin 3480    C_ wss 3481   (/)c0 3790   {csn 4033   `'ccnv 5004   ` cfv 5594   supcsup 7912   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    < clt 9640   NNcn 10548   ZZ>=cuz 11094  LIdealclidl 17685  ℤringzring 18356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-starv 14586  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-ip 14589  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-unif 14594  df-0g 14713  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-sbg 15930  df-subg 16069  df-cmn 16671  df-mgp 17012  df-ur 17024  df-ring 17070  df-cring 17071  df-subrg 17296  df-lmod 17383  df-lss 17448  df-sra 17687  df-rgmod 17688  df-lidl 17689  df-cnfld 18289  df-zring 18357
This theorem is referenced by:  zringlpirlem3  18378  zringlpir  18379
  Copyright terms: Public domain W3C validator