MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringlpirlem2 Structured version   Unicode version

Theorem zringlpirlem2 17926
Description: Lemma for zringlpir 17928. A nonzero ideal of integers contains the least positive element. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zringlpirlem.i  |-  ( ph  ->  I  e.  (LIdeal ` ring )
)
zringlpirlem.n0  |-  ( ph  ->  I  =/=  { 0 } )
zringlpirlem.g  |-  G  =  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )
Assertion
Ref Expression
zringlpirlem2  |-  ( ph  ->  G  e.  I )

Proof of Theorem zringlpirlem2
StepHypRef Expression
1 zringlpirlem.g . 2  |-  G  =  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )
2 inss1 3591 . . 3  |-  ( I  i^i  NN )  C_  I
3 inss2 3592 . . . . 5  |-  ( I  i^i  NN )  C_  NN
4 nnuz 10917 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
53, 4sseqtri 3409 . . . 4  |-  ( I  i^i  NN )  C_  ( ZZ>= `  1 )
6 zringlpirlem.i . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  (LIdeal ` ring )
)
7 zringlpirlem.n0 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  =/=  { 0 } )
86, 7zringlpirlem1 17925 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I  i^i  NN )  =/=  (/) )
9 infmssuzcl 10959 . . . 4  |-  ( ( ( I  i^i  NN )  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  ( I  i^i  NN )  =/=  (/) )  ->  sup ( ( I  i^i 
NN ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( I  i^i  NN ) )
105, 8, 9sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( I  i^i 
NN ) )
112, 10sseldi 3375 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  I )
121, 11syl5eqel 2527 1  |-  ( ph  ->  G  e.  I )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620    i^i cin 3348    C_ wss 3349   (/)c0 3658   {csn 3898   `'ccnv 4860   ` cfv 5439   supcsup 7711   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304    < clt 9439   NNcn 10343   ZZ>=cuz 10882  LIdealclidl 17273  ℤringzring 17905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-sup 7712  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-rp 11013  df-fz 11459  df-seq 11828  df-exp 11887  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-0g 14401  df-mnd 15436  df-grp 15566  df-minusg 15567  df-sbg 15568  df-subg 15699  df-cmn 16300  df-mgp 16614  df-ur 16626  df-rng 16669  df-cring 16670  df-subrg 16885  df-lmod 16972  df-lss 17036  df-sra 17275  df-rgmod 17276  df-lidl 17277  df-cnfld 17841  df-zring 17906
This theorem is referenced by:  zringlpirlem3  17927  zringlpir  17928
  Copyright terms: Public domain W3C validator