MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringlpirlem1 Structured version   Unicode version

Theorem zringlpirlem1 18615
Description: Lemma for zringlpir 18618. A nonzero ideal of integers contains some positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zringlpirlem.i  |-  ( ph  ->  I  e.  (LIdeal ` ring )
)
zringlpirlem.n0  |-  ( ph  ->  I  =/=  { 0 } )
Assertion
Ref Expression
zringlpirlem1  |-  ( ph  ->  ( I  i^i  NN )  =/=  (/) )

Proof of Theorem zringlpirlem1
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  I )  /\  a  =/=  0 )  ->  a  e.  I )
2 eleq1 2454 . . . . . 6  |-  ( ( abs `  a )  =  a  ->  (
( abs `  a
)  e.  I  <->  a  e.  I ) )
31, 2syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  I )  /\  a  =/=  0 )  ->  (
( abs `  a
)  =  a  -> 
( abs `  a
)  e.  I ) )
4 zsubrg 18584 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
5 subrgsubg 17548 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ  e.  (SubGrp ` fld ) )
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  e.  (SubGrp ` fld )
7 zringlpirlem.i . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  I  e.  (LIdeal ` ring )
)
8 zringbas 18607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
9 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (LIdeal ` ring )  =  (LIdeal ` ring )
108, 9lidlss 17969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( I  e.  (LIdeal ` ring )  ->  I  C_  ZZ )
117, 10syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  I  C_  ZZ )
1211sselda 3417 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  I )  ->  a  e.  ZZ )
13 df-zring 18602 . . . . . . . . . . 11  |-ring  =  (flds  ZZ )
14 eqid 2382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( invg ` fld )  =  ( invg ` fld )
15 eqid 2382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( invg ` ring )  =  ( invg ` ring )
1613, 14, 15subginv 16325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ZZ  e.  (SubGrp ` fld )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( invg ` fld ) `  a )  =  ( ( invg ` ring ) `  a ) )
176, 12, 16sylancr 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  I )  ->  (
( invg ` fld ) `  a )  =  ( ( invg ` ring ) `  a ) )
1812zcnd 10885 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  I )  ->  a  e.  CC )
19 cnfldneg 18557 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  CC  ->  (
( invg ` fld ) `  a )  =  -u a )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  I )  ->  (
( invg ` fld ) `  a )  =  -u a )
2117, 20eqtr3d 2425 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  I )  ->  (
( invg ` ring ) `  a )  =  -u a )
22 zringring 18604 . . . . . . . . . 10  |-ring  e.  Ring
2322a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  I )  ->ring  e.  Ring )
247adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  I )  ->  I  e.  (LIdeal ` ring ) )
25 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  I )  ->  a  e.  I )
269, 15lidlnegcl 17974 . . . . . . . . 9  |-  ( (ring  e. 
Ring  /\  I  e.  (LIdeal ` ring )  /\  a  e.  I
)  ->  ( ( invg ` ring ) `  a )  e.  I )
2723, 24, 25, 26syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  I )  ->  (
( invg ` ring ) `  a )  e.  I
)
2821, 27eqeltrrd 2471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  I )  ->  -u a  e.  I )
2928adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  I )  /\  a  =/=  0 )  ->  -u a  e.  I )
30 eleq1 2454 . . . . . 6  |-  ( ( abs `  a )  =  -u a  ->  (
( abs `  a
)  e.  I  <->  -u a  e.  I ) )
3129, 30syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  I )  /\  a  =/=  0 )  ->  (
( abs `  a
)  =  -u a  ->  ( abs `  a
)  e.  I ) )
3212zred 10884 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  I )  ->  a  e.  RR )
3332absord 13249 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  I )  ->  (
( abs `  a
)  =  a  \/  ( abs `  a
)  =  -u a
) )
3433adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  I )  /\  a  =/=  0 )  ->  (
( abs `  a
)  =  a  \/  ( abs `  a
)  =  -u a
) )
353, 31, 34mpjaod 379 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  I )  /\  a  =/=  0 )  ->  ( abs `  a )  e.  I )
36 nnabscl 13160 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  a  =/=  0 )  -> 
( abs `  a
)  e.  NN )
3712, 36sylan 469 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  I )  /\  a  =/=  0 )  ->  ( abs `  a )  e.  NN )
3835, 37elind 3602 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  I )  /\  a  =/=  0 )  ->  ( abs `  a )  e.  ( I  i^i  NN ) )
39 ne0i 3717 . . 3  |-  ( ( abs `  a )  e.  ( I  i^i 
NN )  ->  (
I  i^i  NN )  =/=  (/) )
4038, 39syl 16 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  I )  /\  a  =/=  0 )  ->  (
I  i^i  NN )  =/=  (/) )
4122a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->ring  e. 
Ring )
42 zringlpirlem.n0 . . 3  |-  ( ph  ->  I  =/=  { 0 } )
43 zring0 18611 . . . 4  |-  0  =  ( 0g ` ring )
449, 43lidlnz 17989 . . 3  |-  ( (ring  e. 
Ring  /\  I  e.  (LIdeal ` ring )  /\  I  =/=  {
0 } )  ->  E. a  e.  I 
a  =/=  0 )
4541, 7, 42, 44syl3anc 1226 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  I 
a  =/=  0 )
4640, 45r19.29a 2924 1  |-  ( ph  ->  ( I  i^i  NN )  =/=  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   E.wrex 2733    i^i cin 3388    C_ wss 3389   (/)c0 3711   {csn 3944   ` cfv 5496   CCcc 9401   0cc0 9403   -ucneg 9719   NNcn 10452   ZZcz 10781   abscabs 13069   invgcminusg 16171  SubGrpcsubg 16312   Ringcrg 17311  SubRingcsubrg 17538  LIdealclidl 17929  ℂfldccnfld 18533  ℤringzring 18601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-rp 11140  df-fz 11594  df-seq 12011  df-exp 12070  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-0g 14849  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-sbg 16176  df-subg 16315  df-cmn 16917  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-cring 17314  df-subrg 17540  df-lmod 17627  df-lss 17692  df-sra 17931  df-rgmod 17932  df-lidl 17933  df-cnfld 18534  df-zring 18602
This theorem is referenced by:  zringlpirlem2  18616  zringlpirlem3  18617
  Copyright terms: Public domain W3C validator