MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringlpirlem1 Structured version   Unicode version

Theorem zringlpirlem1 18023
Description: Lemma for zringlpir 18026. A nonzero ideal of integers contains some positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zringlpirlem.i  |-  ( ph  ->  I  e.  (LIdeal ` ring )
)
zringlpirlem.n0  |-  ( ph  ->  I  =/=  { 0 } )
Assertion
Ref Expression
zringlpirlem1  |-  ( ph  ->  ( I  i^i  NN )  =/=  (/) )

Proof of Theorem zringlpirlem1
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  I )  /\  a  =/=  0 )  ->  a  e.  I )
2 eleq1 2524 . . . . . 6  |-  ( ( abs `  a )  =  a  ->  (
( abs `  a
)  e.  I  <->  a  e.  I ) )
31, 2syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  I )  /\  a  =/=  0 )  ->  (
( abs `  a
)  =  a  -> 
( abs `  a
)  e.  I ) )
4 zsubrg 17986 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
5 subrgsubg 16989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ  e.  (SubGrp ` fld ) )
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  e.  (SubGrp ` fld )
7 zringlpirlem.i . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  I  e.  (LIdeal ` ring )
)
8 zringbas 18009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
9 eqid 2452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (LIdeal ` ring )  =  (LIdeal ` ring )
108, 9lidlss 17409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( I  e.  (LIdeal ` ring )  ->  I  C_  ZZ )
117, 10syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  I  C_  ZZ )
1211sselda 3459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  I )  ->  a  e.  ZZ )
13 df-zring 18004 . . . . . . . . . . 11  |-ring  =  (flds  ZZ )
14 eqid 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( invg ` fld )  =  ( invg ` fld )
15 eqid 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( invg ` ring )  =  ( invg ` ring )
1613, 14, 15subginv 15802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ZZ  e.  (SubGrp ` fld )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( invg ` fld ) `  a )  =  ( ( invg ` ring ) `  a ) )
176, 12, 16sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  I )  ->  (
( invg ` fld ) `  a )  =  ( ( invg ` ring ) `  a ) )
1812zcnd 10854 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  I )  ->  a  e.  CC )
19 cnfldneg 17962 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  CC  ->  (
( invg ` fld ) `  a )  =  -u a )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  I )  ->  (
( invg ` fld ) `  a )  =  -u a )
2117, 20eqtr3d 2495 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  I )  ->  (
( invg ` ring ) `  a )  =  -u a )
22 zringrng 18006 . . . . . . . . . 10  |-ring  e.  Ring
2322a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  I )  ->ring  e.  Ring )
247adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  I )  ->  I  e.  (LIdeal ` ring ) )
25 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  I )  ->  a  e.  I )
269, 15lidlnegcl 17414 . . . . . . . . 9  |-  ( (ring  e. 
Ring  /\  I  e.  (LIdeal ` ring )  /\  a  e.  I
)  ->  ( ( invg ` ring ) `  a )  e.  I )
2723, 24, 25, 26syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  I )  ->  (
( invg ` ring ) `  a )  e.  I
)
2821, 27eqeltrrd 2541 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  I )  ->  -u a  e.  I )
2928adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  I )  /\  a  =/=  0 )  ->  -u a  e.  I )
30 eleq1 2524 . . . . . 6  |-  ( ( abs `  a )  =  -u a  ->  (
( abs `  a
)  e.  I  <->  -u a  e.  I ) )
3129, 30syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  I )  /\  a  =/=  0 )  ->  (
( abs `  a
)  =  -u a  ->  ( abs `  a
)  e.  I ) )
3212zred 10853 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  I )  ->  a  e.  RR )
3332absord 13015 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  I )  ->  (
( abs `  a
)  =  a  \/  ( abs `  a
)  =  -u a
) )
3433adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  I )  /\  a  =/=  0 )  ->  (
( abs `  a
)  =  a  \/  ( abs `  a
)  =  -u a
) )
353, 31, 34mpjaod 381 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  I )  /\  a  =/=  0 )  ->  ( abs `  a )  e.  I )
36 nnabscl 12926 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  a  =/=  0 )  -> 
( abs `  a
)  e.  NN )
3712, 36sylan 471 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  I )  /\  a  =/=  0 )  ->  ( abs `  a )  e.  NN )
3835, 37elind 3643 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  I )  /\  a  =/=  0 )  ->  ( abs `  a )  e.  ( I  i^i  NN ) )
39 ne0i 3746 . . 3  |-  ( ( abs `  a )  e.  ( I  i^i 
NN )  ->  (
I  i^i  NN )  =/=  (/) )
4038, 39syl 16 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  I )  /\  a  =/=  0 )  ->  (
I  i^i  NN )  =/=  (/) )
4122a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->ring  e. 
Ring )
42 zringlpirlem.n0 . . 3  |-  ( ph  ->  I  =/=  { 0 } )
43 zring0 18013 . . . 4  |-  0  =  ( 0g ` ring )
449, 43lidlnz 17428 . . 3  |-  ( (ring  e. 
Ring  /\  I  e.  (LIdeal ` ring )  /\  I  =/=  {
0 } )  ->  E. a  e.  I 
a  =/=  0 )
4541, 7, 42, 44syl3anc 1219 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  I 
a  =/=  0 )
4640, 45r19.29a 2962 1  |-  ( ph  ->  ( I  i^i  NN )  =/=  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2645   E.wrex 2797    i^i cin 3430    C_ wss 3431   (/)c0 3740   {csn 3980   ` cfv 5521   CCcc 9386   0cc0 9388   -ucneg 9702   NNcn 10428   ZZcz 10752   abscabs 12836   invgcminusg 15525  SubGrpcsubg 15789   Ringcrg 16763  SubRingcsubrg 16979  LIdealclidl 17369  ℂfldccnfld 17938  ℤringzring 18003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466  ax-addf 9467  ax-mulf 9468
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-sup 7797  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-rp 11098  df-fz 11550  df-seq 11919  df-exp 11978  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-starv 14367  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-ip 14370  df-tset 14371  df-ple 14372  df-ds 14374  df-unif 14375  df-0g 14494  df-mnd 15529  df-grp 15659  df-minusg 15660  df-sbg 15661  df-subg 15792  df-cmn 16395  df-mgp 16709  df-ur 16721  df-rng 16765  df-cring 16766  df-subrg 16981  df-lmod 17068  df-lss 17132  df-sra 17371  df-rgmod 17372  df-lidl 17373  df-cnfld 17939  df-zring 18004
This theorem is referenced by:  zringlpirlem2  18024  zringlpirlem3  18025
  Copyright terms: Public domain W3C validator