MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringlpir Structured version   Unicode version

Theorem zringlpir 18024
Description: The integers are a principal ideal ring but not a field. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
zringlpir  |-ring  e. LPIR

Proof of Theorem zringlpir
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zringrng 18004 . 2  |-ring  e.  Ring
2 eleq1 2523 . . . 4  |-  ( x  =  { 0 }  ->  ( x  e.  (LPIdeal ` ring )  <->  { 0 }  e.  (LPIdeal ` ring ) ) )
3 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  (LIdeal ` ring )  /\  x  =/=  { 0 } )  ->  x  e.  (LIdeal ` ring ) )
4 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  (LIdeal ` ring )  /\  x  =/=  { 0 } )  ->  x  =/=  { 0 } )
5 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  sup (
( x  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  =  sup ( ( x  i^i 
NN ) ,  RR ,  `'  <  )
63, 4, 5zringlpirlem2 18022 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  (LIdeal ` ring )  /\  x  =/=  { 0 } )  ->  sup ( ( x  i^i 
NN ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  x )
7 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (LIdeal ` ring )  /\  x  =/=  {
0 } )  /\  z  e.  x )  ->  x  e.  (LIdeal ` ring )
)
8 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (LIdeal ` ring )  /\  x  =/=  {
0 } )  /\  z  e.  x )  ->  x  =/=  { 0 } )
9 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (LIdeal ` ring )  /\  x  =/=  {
0 } )  /\  z  e.  x )  ->  z  e.  x )
107, 8, 5, 9zringlpirlem3 18023 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (LIdeal ` ring )  /\  x  =/=  {
0 } )  /\  z  e.  x )  ->  sup ( ( x  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  ) 
||  z )
1110ralrimiva 2825 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  (LIdeal ` ring )  /\  x  =/=  { 0 } )  ->  A. z  e.  x  sup (
( x  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  ||  z
)
12 breq1 4396 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  sup ( ( x  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( y  ||  z  <->  sup ( ( x  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  ) 
||  z ) )
1312ralbidv 2841 . . . . . . 7  |-  ( y  =  sup ( ( x  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( A. z  e.  x  y  ||  z  <->  A. z  e.  x  sup ( ( x  i^i 
NN ) ,  RR ,  `'  <  )  ||  z ) )
1413rspcev 3172 . . . . . 6  |-  ( ( sup ( ( x  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  x  /\  A. z  e.  x  sup ( ( x  i^i 
NN ) ,  RR ,  `'  <  )  ||  z )  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  y  ||  z )
156, 11, 14syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  (LIdeal ` ring )  /\  x  =/=  { 0 } )  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  y  ||  z )
16 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  (LIdeal ` ring )  =  (LIdeal ` ring )
17 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  (LPIdeal ` ring )  =  (LPIdeal ` ring )
18 dvdsrzring 18019 . . . . . . . 8  |-  ||  =  ( ||r `
ring )
1916, 17, 18lpigen 17453 . . . . . . 7  |-  ( (ring  e. 
Ring  /\  x  e.  (LIdeal ` ring ) )  ->  (
x  e.  (LPIdeal ` ring )  <->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  y  ||  z ) )
201, 19mpan 670 . . . . . 6  |-  ( x  e.  (LIdeal ` ring )  ->  ( x  e.  (LPIdeal ` ring )  <->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  y  ||  z ) )
2120adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  (LIdeal ` ring )  /\  x  =/=  { 0 } )  ->  (
x  e.  (LPIdeal ` ring )  <->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  y  ||  z ) )
2215, 21mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( x  e.  (LIdeal ` ring )  /\  x  =/=  { 0 } )  ->  x  e.  (LPIdeal ` ring ) )
23 zring0 18011 . . . . . 6  |-  0  =  ( 0g ` ring )
2417, 23lpi0 17444 . . . . 5  |-  (ring  e.  Ring  ->  { 0 }  e.  (LPIdeal ` ring ) )
251, 24mp1i 12 . . . 4  |-  ( x  e.  (LIdeal ` ring )  ->  { 0 }  e.  (LPIdeal ` ring ) )
262, 22, 25pm2.61ne 2763 . . 3  |-  ( x  e.  (LIdeal ` ring )  ->  x  e.  (LPIdeal ` ring ) )
2726ssriv 3461 . 2  |-  (LIdeal ` ring )  C_  (LPIdeal ` ring )
2817, 16islpir2 17448 . 2  |-  (ring  e. LPIR  <->  (ring  e.  Ring  /\  (LIdeal ` ring )  C_  (LPIdeal ` ring ) ) )
291, 27, 28mpbir2an 911 1  |-ring  e. LPIR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796    i^i cin 3428    C_ wss 3429   {csn 3978   class class class wbr 4393   `'ccnv 4940   ` cfv 5519   supcsup 7794   RRcr 9385   0cc0 9386    < clt 9522   NNcn 10426    || cdivides 13646   Ringcrg 16760  LIdealclidl 17366  LPIdealclpidl 17438  LPIRclpir 17439  ℤringzring 18001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465  ax-mulf 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-sup 7795  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-rp 11096  df-fz 11548  df-fl 11752  df-mod 11819  df-seq 11917  df-exp 11976  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-dvds 13647  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-0g 14491  df-mnd 15526  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-sbg 15658  df-subg 15789  df-cmn 16392  df-mgp 16706  df-ur 16718  df-rng 16762  df-cring 16763  df-dvdsr 16848  df-subrg 16978  df-lmod 17065  df-lss 17129  df-lsp 17168  df-sra 17368  df-rgmod 17369  df-lidl 17370  df-rsp 17371  df-lpidl 17440  df-lpir 17441  df-cnfld 17937  df-zring 18002
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator