MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringinvg Structured version   Unicode version

Theorem zringinvg 18033
Description: The additive inverse of an element of the ring of integers. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
zringinvg  |-  ( A  e.  ZZ  ->  -u A  =  ( ( invg ` ring ) `  A ) )

Proof of Theorem zringinvg
StepHypRef Expression
1 zcn 10757 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
21negidd 9815 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  +  -u A )  =  0 )
3 zringgrp 18008 . . . . 5  |-ring  e.  Grp
43a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->ring  e.  Grp )
5 id 22 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  ZZ )
6 znegcl 10786 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  -u A  e.  ZZ )
7 zringbas 18009 . . . . 5  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
8 zringplusg 18010 . . . . 5  |-  +  =  ( +g  ` ring )
9 zring0 18013 . . . . 5  |-  0  =  ( 0g ` ring )
10 eqid 2452 . . . . 5  |-  ( invg ` ring )  =  ( invg ` ring )
117, 8, 9, 10grpinvid1 15700 . . . 4  |-  ( (ring  e. 
Grp  /\  A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  ZZ )  ->  ( ( ( invg ` ring ) `  A )  =  -u A  <->  ( A  +  -u A )  =  0 ) )
124, 5, 6, 11syl3anc 1219 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( ( invg ` ring ) `  A )  =  -u A  <->  ( A  +  -u A )  =  0 ) )
132, 12mpbird 232 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( invg ` ring ) `  A )  =  -u A )
1413eqcomd 2460 1  |-  ( A  e.  ZZ  ->  -u A  =  ( ( invg ` ring ) `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   0cc0 9388    + caddc 9391   -ucneg 9702   ZZcz 10752   Grpcgrp 15524   invgcminusg 15525  ℤringzring 18003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-addf 9467  ax-mulf 9468
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-fz 11550  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-starv 14367  df-tset 14371  df-ple 14372  df-ds 14374  df-unif 14375  df-0g 14494  df-mnd 15529  df-grp 15659  df-minusg 15660  df-subg 15792  df-cmn 16395  df-mgp 16709  df-ur 16721  df-rng 16765  df-cring 16766  df-subrg 16981  df-cnfld 17939  df-zring 18004
This theorem is referenced by:  zrhpsgnodpm  18142  zlmodzxzsubm  30899
  Copyright terms: Public domain W3C validator