MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringinvg Structured version   Unicode version

Theorem zringinvg 18386
Description: The additive inverse of an element of the ring of integers. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
zringinvg  |-  ( A  e.  ZZ  ->  -u A  =  ( ( invg ` ring ) `  A ) )

Proof of Theorem zringinvg
StepHypRef Expression
1 zcn 10870 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
21negidd 9921 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  +  -u A )  =  0 )
3 zringgrp 18361 . . . . 5  |-ring  e.  Grp
43a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->ring  e.  Grp )
5 id 22 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  ZZ )
6 znegcl 10900 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  -u A  e.  ZZ )
7 zringbas 18362 . . . . 5  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
8 zringplusg 18363 . . . . 5  |-  +  =  ( +g  ` ring )
9 zring0 18366 . . . . 5  |-  0  =  ( 0g ` ring )
10 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( invg ` ring )  =  ( invg ` ring )
117, 8, 9, 10grpinvid1 15967 . . . 4  |-  ( (ring  e. 
Grp  /\  A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  ZZ )  ->  ( ( ( invg ` ring ) `  A )  =  -u A  <->  ( A  +  -u A )  =  0 ) )
124, 5, 6, 11syl3anc 1227 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( ( invg ` ring ) `  A )  =  -u A  <->  ( A  +  -u A )  =  0 ) )
132, 12mpbird 232 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( invg ` ring ) `  A )  =  -u A )
1413eqcomd 2449 1  |-  ( A  e.  ZZ  ->  -u A  =  ( ( invg ` ring ) `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1381    e. wcel 1802   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   0cc0 9490    + caddc 9493   -ucneg 9806   ZZcz 10865   Grpcgrp 15922   invgcminusg 15923  ℤringzring 18356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-fz 11677  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-0g 14711  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-subg 16067  df-cmn 16669  df-mgp 17010  df-ur 17022  df-ring 17068  df-cring 17069  df-subrg 17295  df-cnfld 18289  df-zring 18357
This theorem is referenced by:  zrhpsgnodpm  18495  zlmodzxzsubm  32656
  Copyright terms: Public domain W3C validator