MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringcyg Structured version   Unicode version

Theorem zringcyg 17907
Description: The integers are a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
zringcyg  |-ring  e. CycGrp

Proof of Theorem zringcyg
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zringbas 17889 . . 3  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
2 eqid 2443 . . 3  |-  (.g ` ring )  =  (.g ` ring )
3 zsubrg 17866 . . . . 5  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
4 subrgsubg 16871 . . . . 5  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ  e.  (SubGrp ` fld ) )
53, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  ZZ  e.  (SubGrp ` fld )
6 df-zring 17884 . . . . 5  |-ring  =  (flds  ZZ )
76subggrp 15684 . . . 4  |-  ( ZZ  e.  (SubGrp ` fld )  ->ring  e.  Grp )
85, 7mp1i 12 . . 3  |-  ( T. 
->ring  e. 
Grp )
9 1zzd 10677 . . 3  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
10 ax-1cn 9340 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
11 cnfldmulg 17848 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  1  e.  CC )  ->  ( x (.g ` fld ) 1 )  =  ( x  x.  1 ) )
1210, 11mpan2 671 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x (.g ` fld ) 1 )  =  ( x  x.  1 ) )
13 1z 10676 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
14 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  (.g ` fld )  =  (.g ` fld )
1514, 6, 2subgmulg 15695 . . . . . . 7  |-  ( ( ZZ  e.  (SubGrp ` fld )  /\  x  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( x (.g ` fld ) 1 )  =  ( x (.g ` ring ) 1 ) )
165, 13, 15mp3an13 1305 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x (.g ` fld ) 1 )  =  ( x (.g ` ring ) 1 ) )
17 zcn 10651 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
1817mulid1d 9403 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  x.  1 )  =  x )
1912, 16, 183eqtr3rd 2484 . . . . 5  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  =  ( x (.g ` ring ) 1 ) )
20 oveq1 6098 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
z (.g ` ring ) 1 )  =  ( x (.g ` ring ) 1 ) )
2120eqeq2d 2454 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
x  =  ( z (.g ` ring ) 1 )  <->  x  =  ( x (.g ` ring ) 1 ) ) )
2221rspcev 3073 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  x  =  ( x
(.g ` ring ) 1 ) )  ->  E. z  e.  ZZ  x  =  ( z
(.g ` ring ) 1 ) )
2319, 22mpdan 668 . . . 4  |-  ( x  e.  ZZ  ->  E. z  e.  ZZ  x  =  ( z (.g ` ring ) 1 ) )
2423adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ZZ )  ->  E. z  e.  ZZ  x  =  ( z (.g ` ring ) 1 ) )
251, 2, 8, 9, 24iscygd 16364 . 2  |-  ( T. 
->ring  e. CycGrp
)
2625trud 1378 1  |-ring  e. CycGrp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756   E.wrex 2716   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   1c1 9283    x. cmul 9287   ZZcz 10646   Grpcgrp 15410  .gcmg 15414  SubGrpcsubg 15675  CycGrpccyg 16354  SubRingcsubrg 16861  ℂfldccnfld 17818  ℤringzring 17883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-fz 11438  df-seq 11807  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-0g 14380  df-mnd 15415  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-mulg 15548  df-subg 15678  df-cmn 16279  df-cyg 16355  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-cring 16648  df-subrg 16863  df-cnfld 17819  df-zring 17884
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator