MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zrhval Structured version   Unicode version

Theorem zrhval 18763
Description: Define the unique homomorphism from the integers to a ring or field. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
zrhval.l  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
Assertion
Ref Expression
zrhval  |-  L  = 
U. (ring RingHom  R )

Proof of Theorem zrhval
Dummy variables  s 
r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zrhval.l . 2  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
2 oveq2 6304 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  (ring RingHom  r )  =  (ring RingHom  R ) )
32unieqd 4261 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  U. (ring RingHom  r )  =  U. (ring RingHom  R ) )
4 df-zrh 18759 . . . 4  |-  ZRHom  =  ( r  e.  _V  |->  U. (ring RingHom  r ) )
5 ovex 6324 . . . . 5  |-  (ring RingHom  R )  e. 
_V
65uniex 6595 . . . 4  |-  U. (ring RingHom  R )  e.  _V
73, 4, 6fvmpt 5956 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  ( ZRHom `  R )  = 
U. (ring RingHom  R ) )
8 fvprc 5866 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( ZRHom `  R )  =  (/) )
9 dfrhm2 17584 . . . . . . . 8  |- RingHom  =  ( r  e.  Ring ,  s  e.  Ring  |->  ( ( r  GrpHom  s )  i^i  ( (mulGrp `  r
) MndHom  (mulGrp `  s )
) ) )
109reldmmpt2 6412 . . . . . . 7  |-  Rel  dom RingHom
1110ovprc2 6328 . . . . . 6  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (ring RingHom  R
)  =  (/) )
1211unieqd 4261 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  U. (ring RingHom  R )  =  U. (/) )
13 uni0 4278 . . . . 5  |-  U. (/)  =  (/)
1412, 13syl6eq 2514 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  U. (ring RingHom  R )  =  (/) )
158, 14eqtr4d 2501 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( ZRHom `  R )  =  U. (ring RingHom  R ) )
167, 15pm2.61i 164 . 2  |-  ( ZRHom `  R )  =  U. (ring RingHom  R )
171, 16eqtri 2486 1  |-  L  = 
U. (ring RingHom  R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109    i^i cin 3470   (/)c0 3793   U.cuni 4251   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   MndHom cmhm 16182    GrpHom cghm 16482  mulGrpcmgp 17359   Ringcrg 17416   RingHom crh 17579  ℤringzring 18706   ZRHomczrh 18755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-ndx 14738  df-slot 14739  df-base 14740  df-sets 14741  df-plusg 14816  df-0g 14950  df-mhm 16184  df-ghm 16483  df-mgp 17360  df-ur 17372  df-ring 17418  df-rnghom 17582  df-zrh 18759
This theorem is referenced by:  zrhval2  18764  zrhpropd  18770
  Copyright terms: Public domain W3C validator