MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zrhrhmb Structured version   Unicode version

Theorem zrhrhmb 18053
Description: The  ZRHom homomorphism is the unique ring homomorphism from  Z. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
zrhval.l  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
Assertion
Ref Expression
zrhrhmb  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( F  e.  (ring RingHom  R )  <->  F  =  L ) )

Proof of Theorem zrhrhmb
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . . . 5  |-  (.g `  R
)  =  (.g `  R
)
2 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  R ) ( 1r `  R ) ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  R ) ( 1r `  R ) ) )
3 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
41, 2, 3mulgrhm2 18038 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  (ring RingHom  R )  =  { ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  R ) ( 1r
`  R ) ) ) } )
5 zrhval.l . . . . . 6  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
65, 1, 3zrhval2 18051 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  L  =  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  R
) ( 1r `  R ) ) ) )
76sneqd 3989 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  { L }  =  { (
n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  R ) ( 1r `  R ) ) ) } )
84, 7eqtr4d 2495 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  (ring RingHom  R )  =  { L } )
98eleq2d 2521 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( F  e.  (ring RingHom  R )  <->  F  e.  { L } ) )
10 fvex 5801 . . . 4  |-  ( ZRHom `  R )  e.  _V
115, 10eqeltri 2535 . . 3  |-  L  e. 
_V
1211elsnc2 4008 . 2  |-  ( F  e.  { L }  <->  F  =  L )
139, 12syl6bb 261 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( F  e.  (ring RingHom  R )  <->  F  =  L ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3070   {csn 3977    |-> cmpt 4450   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   ZZcz 10749  .gcmg 15518   1rcur 16710   Ringcrg 16753   RingHom crh 16912  ℤringzring 17994   ZRHomczrh 18042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-addf 9464  ax-mulf 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-fz 11541  df-seq 11910  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-starv 14357  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-unif 14365  df-0g 14484  df-mnd 15519  df-mhm 15568  df-grp 15649  df-minusg 15650  df-mulg 15652  df-subg 15782  df-ghm 15849  df-cmn 16385  df-mgp 16699  df-ur 16711  df-rng 16755  df-cring 16756  df-rnghom 16914  df-subrg 16971  df-cnfld 17930  df-zring 17995  df-zrh 18046
This theorem is referenced by:  zrhrhm  18054  chrrhm  18073  znzrh2  18089
  Copyright terms: Public domain W3C validator