MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zrhpsgnodpm Structured version   Unicode version

Theorem zrhpsgnodpm 18022
Description: The sign of an odd permutation embedded into a ring is the additive inverse of the multiplicative neutral element of the ring. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
zrhpsgnevpm.y  |-  Y  =  ( ZRHom `  R
)
zrhpsgnevpm.s  |-  S  =  (pmSgn `  N )
zrhpsgnevpm.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
zrhpsgnodpm.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
zrhpsgnodpm.i  |-  I  =  ( invg `  R )
Assertion
Ref Expression
zrhpsgnodpm  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  N ) ) )  ->  ( ( Y  o.  S ) `  F )  =  ( I `  .1.  )
)

Proof of Theorem zrhpsgnodpm
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
2 zrhpsgnevpm.s . . . . . 6  |-  S  =  (pmSgn `  N )
3 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )
41, 2, 3psgnghm2 18011 . . . . 5  |-  ( N  e.  Fin  ->  S  e.  ( ( SymGrp `  N
)  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  {
1 ,  -u 1 } ) ) )
5 zrhpsgnodpm.p . . . . . 6  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
6 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  =  ( Base `  (
(mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )
75, 6ghmf 15751 . . . . 5  |-  ( S  e.  ( ( SymGrp `  N )  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  ->  S : P --> ( Base `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u 1 } ) ) )
84, 7syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  Fin  ->  S : P --> ( Base `  (
(mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) )
983ad2ant2 1010 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  N ) ) )  ->  S : P --> ( Base `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u 1 } ) ) )
10 eldifi 3478 . . . 4  |-  ( F  e.  ( P  \ 
(pmEven `  N )
)  ->  F  e.  P )
11103ad2ant3 1011 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  N ) ) )  ->  F  e.  P
)
12 fvco3 5768 . . 3  |-  ( ( S : P --> ( Base `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  /\  F  e.  P
)  ->  ( ( Y  o.  S ) `  F )  =  ( Y `  ( S `
 F ) ) )
139, 11, 12syl2anc 661 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  N ) ) )  ->  ( ( Y  o.  S ) `  F )  =  ( Y `  ( S `
 F ) ) )
141, 5, 2psgnodpm 18018 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  N )
) )  ->  ( S `  F )  =  -u 1 )
15143adant1 1006 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  N ) ) )  ->  ( S `  F )  =  -u
1 )
1615fveq2d 5695 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  N ) ) )  ->  ( Y `  ( S `  F ) )  =  ( Y `
 -u 1 ) )
17 zrhpsgnevpm.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( ZRHom `  R
)
1817zrhrhm 17943 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  Y  e.  (ring RingHom  R ) )
19 rhmghm 16815 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  (ring RingHom  R )  ->  Y  e.  (ring  GrpHom  R ) )
2018, 19syl 16 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  Y  e.  (ring  GrpHom  R ) )
21 1z 10676 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
2221a1i 11 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  1  e.  ZZ )
23 zringbas 17889 . . . . . 6  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
24 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( invg ` ring )  =  ( invg ` ring )
25 zrhpsgnodpm.i . . . . . 6  |-  I  =  ( invg `  R )
2623, 24, 25ghminv 15754 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (ring  GrpHom  R )  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( Y `  ( ( invg ` ring ) `  1 )
)  =  ( I `
 ( Y ` 
1 ) ) )
2720, 22, 26syl2anc 661 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Y `
 ( ( invg ` ring ) `  1 ) )  =  ( I `
 ( Y ` 
1 ) ) )
28 ax-1cn 9340 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
29 cnfldneg 17842 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
( invg ` fld ) `  1 )  = 
-u 1 )
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( invg ` fld ) `  1 )  =  -u 1
31 zringinvg 17913 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  -u 1  =  ( ( invg ` ring ) `  1 ) )
3221, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  -u 1  =  ( ( invg ` ring ) `  1 )
3330, 32eqtri 2463 . . . . . . 7  |-  ( ( invg ` fld ) `  1 )  =  ( ( invg ` ring ) `  1 )
3433, 30eqtr3i 2465 . . . . . 6  |-  ( ( invg ` ring ) `  1 )  =  -u 1
3534fveq2i 5694 . . . . 5  |-  ( Y `
 ( ( invg ` ring ) `  1 ) )  =  ( Y `
 -u 1 )
3635a1i 11 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Y `
 ( ( invg ` ring ) `  1 ) )  =  ( Y `
 -u 1 ) )
37 zrhpsgnevpm.o . . . . . 6  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
3817, 37zrh1 17944 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Y `
 1 )  =  .1.  )
3938fveq2d 5695 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( I `
 ( Y ` 
1 ) )  =  ( I `  .1.  ) )
4027, 36, 393eqtr3d 2483 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Y `
 -u 1 )  =  ( I `  .1.  ) )
41403ad2ant1 1009 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  N ) ) )  ->  ( Y `  -u 1 )  =  ( I `  .1.  )
)
4213, 16, 413eqtrd 2479 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  N ) ) )  ->  ( ( Y  o.  S ) `  F )  =  ( I `  .1.  )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    \ cdif 3325   {cpr 3879    o. ccom 4844   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Fincfn 7310   CCcc 9280   1c1 9283   -ucneg 9596   ZZcz 10646   Basecbs 14174   ↾s cress 14175   invgcminusg 15411    GrpHom cghm 15744   SymGrpcsymg 15882  pmSgncpsgn 15995  pmEvencevpm 15996  mulGrpcmgp 16591   1rcur 16603   Ringcrg 16645   RingHom crh 16804  ℂfldccnfld 17818  ℤringzring 17883   ZRHomczrh 17931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1351  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-ot 3886  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-tpos 6745  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-rp 10992  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-word 12229  df-concat 12231  df-s1 12232  df-substr 12233  df-splice 12234  df-reverse 12235  df-s2 12475  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-mhm 15464  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-mulg 15548  df-subg 15678  df-ghm 15745  df-gim 15787  df-oppg 15861  df-symg 15883  df-pmtr 15948  df-psgn 15997  df-evpm 15998  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-cring 16648  df-oppr 16715  df-dvdsr 16733  df-unit 16734  df-invr 16764  df-dvr 16775  df-rnghom 16806  df-drng 16834  df-subrg 16863  df-cnfld 17819  df-zring 17884  df-zrh 17935
This theorem is referenced by:  mdetralt  18414  mdetunilem7  18424
  Copyright terms: Public domain W3C validator