MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zrhpsgnodpm Structured version   Unicode version

Theorem zrhpsgnodpm 18497
Description: The sign of an odd permutation embedded into a ring is the additive inverse of the multiplicative neutral element of the ring. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
zrhpsgnevpm.y  |-  Y  =  ( ZRHom `  R
)
zrhpsgnevpm.s  |-  S  =  (pmSgn `  N )
zrhpsgnevpm.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
zrhpsgnodpm.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
zrhpsgnodpm.i  |-  I  =  ( invg `  R )
Assertion
Ref Expression
zrhpsgnodpm  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  N ) ) )  ->  ( ( Y  o.  S ) `  F )  =  ( I `  .1.  )
)

Proof of Theorem zrhpsgnodpm
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
2 zrhpsgnevpm.s . . . . . 6  |-  S  =  (pmSgn `  N )
3 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )
41, 2, 3psgnghm2 18486 . . . . 5  |-  ( N  e.  Fin  ->  S  e.  ( ( SymGrp `  N
)  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  {
1 ,  -u 1 } ) ) )
5 zrhpsgnodpm.p . . . . . 6  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
6 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  =  ( Base `  (
(mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )
75, 6ghmf 16143 . . . . 5  |-  ( S  e.  ( ( SymGrp `  N )  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  ->  S : P --> ( Base `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u 1 } ) ) )
84, 7syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  Fin  ->  S : P --> ( Base `  (
(mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) )
983ad2ant2 1018 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  N ) ) )  ->  S : P --> ( Base `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u 1 } ) ) )
10 eldifi 3631 . . . 4  |-  ( F  e.  ( P  \ 
(pmEven `  N )
)  ->  F  e.  P )
11103ad2ant3 1019 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  N ) ) )  ->  F  e.  P
)
12 fvco3 5951 . . 3  |-  ( ( S : P --> ( Base `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  /\  F  e.  P
)  ->  ( ( Y  o.  S ) `  F )  =  ( Y `  ( S `
 F ) ) )
139, 11, 12syl2anc 661 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  N ) ) )  ->  ( ( Y  o.  S ) `  F )  =  ( Y `  ( S `
 F ) ) )
141, 5, 2psgnodpm 18493 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  N )
) )  ->  ( S `  F )  =  -u 1 )
15143adant1 1014 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  N ) ) )  ->  ( S `  F )  =  -u
1 )
1615fveq2d 5876 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  N ) ) )  ->  ( Y `  ( S `  F ) )  =  ( Y `
 -u 1 ) )
17 zrhpsgnevpm.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( ZRHom `  R
)
1817zrhrhm 18418 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  Y  e.  (ring RingHom  R ) )
19 rhmghm 17246 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  (ring RingHom  R )  ->  Y  e.  (ring  GrpHom  R ) )
2018, 19syl 16 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  Y  e.  (ring  GrpHom  R ) )
21 1z 10906 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
2221a1i 11 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  1  e.  ZZ )
23 zringbas 18364 . . . . . 6  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
24 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( invg ` ring )  =  ( invg ` ring )
25 zrhpsgnodpm.i . . . . . 6  |-  I  =  ( invg `  R )
2623, 24, 25ghminv 16146 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (ring  GrpHom  R )  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( Y `  ( ( invg ` ring ) `  1 )
)  =  ( I `
 ( Y ` 
1 ) ) )
2720, 22, 26syl2anc 661 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Y `
 ( ( invg ` ring ) `  1 ) )  =  ( I `
 ( Y ` 
1 ) ) )
28 ax-1cn 9562 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
29 cnfldneg 18314 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
( invg ` fld ) `  1 )  = 
-u 1 )
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( invg ` fld ) `  1 )  =  -u 1
31 zringinvg 18388 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  -u 1  =  ( ( invg ` ring ) `  1 ) )
3221, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  -u 1  =  ( ( invg ` ring ) `  1 )
3330, 32eqtri 2496 . . . . . . 7  |-  ( ( invg ` fld ) `  1 )  =  ( ( invg ` ring ) `  1 )
3433, 30eqtr3i 2498 . . . . . 6  |-  ( ( invg ` ring ) `  1 )  =  -u 1
3534fveq2i 5875 . . . . 5  |-  ( Y `
 ( ( invg ` ring ) `  1 ) )  =  ( Y `
 -u 1 )
3635a1i 11 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Y `
 ( ( invg ` ring ) `  1 ) )  =  ( Y `
 -u 1 ) )
37 zrhpsgnevpm.o . . . . . 6  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
3817, 37zrh1 18419 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Y `
 1 )  =  .1.  )
3938fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( I `
 ( Y ` 
1 ) )  =  ( I `  .1.  ) )
4027, 36, 393eqtr3d 2516 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Y `
 -u 1 )  =  ( I `  .1.  ) )
41403ad2ant1 1017 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  N ) ) )  ->  ( Y `  -u 1 )  =  ( I `  .1.  )
)
4213, 16, 413eqtrd 2512 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  N ) ) )  ->  ( ( Y  o.  S ) `  F )  =  ( I `  .1.  )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    \ cdif 3478   {cpr 4035    o. ccom 5009   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Fincfn 7528   CCcc 9502   1c1 9505   -ucneg 9818   ZZcz 10876   Basecbs 14507   ↾s cress 14508   invgcminusg 15926    GrpHom cghm 16136   SymGrpcsymg 16274  pmSgncpsgn 16387  pmEvencevpm 16388  mulGrpcmgp 17013   1rcur 17025   Ringcrg 17070   RingHom crh 17233  ℂfldccnfld 18290  ℤringzring 18358   ZRHomczrh 18406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1361  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-ot 4042  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-word 12523  df-concat 12525  df-s1 12526  df-substr 12527  df-splice 12528  df-reverse 12529  df-s2 12793  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-mulg 15932  df-subg 16070  df-ghm 16137  df-gim 16179  df-oppg 16253  df-symg 16275  df-pmtr 16340  df-psgn 16389  df-evpm 16390  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-cring 17073  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-invr 17193  df-dvr 17204  df-rnghom 17236  df-drng 17269  df-subrg 17298  df-cnfld 18291  df-zring 18359  df-zrh 18410
This theorem is referenced by:  mdetralt  18979  mdetunilem7  18989
  Copyright terms: Public domain W3C validator