MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zrhpsgnmhm Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem zrhpsgnmhm 19201
Description: Embedding of permutation signs into an arbitrary ring is a homomorphism. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
zrhpsgnmhm  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  Fin )  ->  (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  A ) )  e.  ( ( SymGrp `  A
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )

Proof of Theorem zrhpsgnmhm
StepHypRef Expression
1 eqid 2462 . . . 4  |-  ( ZRHom `  R )  =  ( ZRHom `  R )
21zrhrhm 19132 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ZRHom `  R )  e.  (ring RingHom  R
) )
3 eqid 2462 . . . 4  |-  (mulGrp ` ring )  =  (mulGrp ` ring )
4 eqid 2462 . . . 4  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
53, 4rhmmhm 17999 . . 3  |-  ( ( ZRHom `  R )  e.  (ring RingHom  R )  ->  ( ZRHom `  R )  e.  ( (mulGrp ` ring ) MndHom  (mulGrp `  R
) ) )
62, 5syl 17 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ZRHom `  R )  e.  ( (mulGrp ` ring ) MndHom  (mulGrp `  R
) ) )
7 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( SymGrp `  A )  =  (
SymGrp `  A )
8 eqid 2462 . . . . 5  |-  (pmSgn `  A )  =  (pmSgn `  A )
9 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )
107, 8, 9psgnghm2 19198 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  (pmSgn `  A )  e.  ( ( SymGrp `  A )  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) )
11 ghmmhm 16942 . . . 4  |-  ( (pmSgn `  A )  e.  ( ( SymGrp `  A )  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  ->  (pmSgn `  A
)  e.  ( (
SymGrp `  A ) MndHom  (
(mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) )
1210, 11syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (pmSgn `  A )  e.  ( ( SymGrp `  A ) MndHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) )
13 eqid 2462 . . . . . . . 8  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
1413cnmsgnsubg 19194 . . . . . . 7  |-  { 1 ,  -u 1 }  e.  (SubGrp `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )
15 subgsubm 16888 . . . . . . 7  |-  ( { 1 ,  -u 1 }  e.  (SubGrp `  (
(mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )  ->  { 1 ,  -u 1 }  e.  (SubMnd `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6  |-  { 1 ,  -u 1 }  e.  (SubMnd `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )
17 cnring 19039 . . . . . . 7  |-fld  e.  Ring
18 cnfldbas 19023 . . . . . . . . 9  |-  CC  =  ( Base ` fld )
19 cnfld0 19041 . . . . . . . . 9  |-  0  =  ( 0g ` fld )
20 cndrng 19046 . . . . . . . . 9  |-fld  e.  DivRing
2118, 19, 20drngui 18030 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  (Unit ` fld )
22 eqid 2462 . . . . . . . 8  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
2321, 22unitsubm 17947 . . . . . . 7  |-  (fld  e.  Ring  -> 
( CC  \  {
0 } )  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) ) )
2413subsubm 16653 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  \  { 0 } )  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) )  ->  ( { 1 ,  -u
1 }  e.  (SubMnd `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )  <->  ( {
1 ,  -u 1 }  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) )  /\  { 1 ,  -u 1 }  C_  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )
2517, 23, 24mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( { 1 ,  -u 1 }  e.  (SubMnd `  (
(mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )  <->  ( {
1 ,  -u 1 }  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) )  /\  { 1 ,  -u 1 }  C_  ( CC  \  { 0 } ) ) )
2616, 25mpbi 213 . . . . 5  |-  ( { 1 ,  -u 1 }  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) )  /\  { 1 ,  -u 1 }  C_  ( CC  \  { 0 } ) )
2726simpli 464 . . . 4  |-  { 1 ,  -u 1 }  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) )
28 1z 10996 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
29 neg1z 11002 . . . . 5  |-  -u 1  e.  ZZ
30 prssi 4141 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  -u 1  e.  ZZ )  ->  { 1 , 
-u 1 }  C_  ZZ )
3128, 29, 30mp2an 683 . . . 4  |-  { 1 ,  -u 1 }  C_  ZZ
32 zsubrg 19070 . . . . 5  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
3322subrgsubm 18070 . . . . 5  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) ) )
34 zringmpg 19112 . . . . . . 7  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ )  =  (mulGrp ` ring )
3534eqcomi 2471 . . . . . 6  |-  (mulGrp ` ring )  =  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ )
3635subsubm 16653 . . . . 5  |-  ( ZZ  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) )  ->  ( {
1 ,  -u 1 }  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` ring ) )  <->  ( { 1 ,  -u 1 }  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) )  /\  {
1 ,  -u 1 }  C_  ZZ ) ) )
3732, 33, 36mp2b 10 . . . 4  |-  ( { 1 ,  -u 1 }  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` ring ) )  <->  ( { 1 ,  -u 1 }  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) )  /\  {
1 ,  -u 1 }  C_  ZZ ) )
3827, 31, 37mpbir2an 936 . . 3  |-  { 1 ,  -u 1 }  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` ring ) )
39 zex 10975 . . . . . 6  |-  ZZ  e.  _V
40 ressabs 15237 . . . . . 6  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  { 1 ,  -u 1 }  C_  ZZ )  -> 
( ( (mulGrp ` fld )s  ZZ )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )
4139, 31, 40mp2an 683 . . . . 5  |-  ( ( (mulGrp ` fld )s  ZZ )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )
4234oveq1i 6325 . . . . 5  |-  ( ( (mulGrp ` fld )s  ZZ )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` ring )s  { 1 ,  -u
1 } )
4341, 42eqtr3i 2486 . . . 4  |-  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` ring )s  { 1 ,  -u
1 } )
4443resmhm2 16656 . . 3  |-  ( ( (pmSgn `  A )  e.  ( ( SymGrp `  A
) MndHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  /\  { 1 , 
-u 1 }  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` ring ) ) )  -> 
(pmSgn `  A )  e.  ( ( SymGrp `  A
) MndHom  (mulGrp ` ring ) ) )
4512, 38, 44sylancl 673 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (pmSgn `  A )  e.  ( ( SymGrp `  A ) MndHom  (mulGrp ` ring ) ) )
46 mhmco 16658 . 2  |-  ( ( ( ZRHom `  R
)  e.  ( (mulGrp ` ring ) MndHom  (mulGrp `  R )
)  /\  (pmSgn `  A
)  e.  ( (
SymGrp `  A ) MndHom  (mulGrp ` ring ) ) )  ->  (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  A ) )  e.  ( ( SymGrp `  A
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
476, 45, 46syl2an 484 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  Fin )  ->  (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  A ) )  e.  ( ( SymGrp `  A
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898   _Vcvv 3057    \ cdif 3413    C_ wss 3416   {csn 3980   {cpr 3982    o. ccom 4857   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   Fincfn 7595   CCcc 9563   0cc0 9565   1c1 9566   -ucneg 9887   ZZcz 10966   ↾s cress 15171   MndHom cmhm 16629  SubMndcsubmnd 16630  SubGrpcsubg 16860    GrpHom cghm 16929   SymGrpcsymg 17067  pmSgncpsgn 17179  mulGrpcmgp 17772   Ringcrg 17829   RingHom crh 17989  SubRingcsubrg 18053  ℂfldccnfld 19019  ℤringzring 19088   ZRHomczrh 19120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-inf2 8172  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-addf 9644  ax-mulf 9645
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-xor 1416  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-ot 3989  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-tpos 6999  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-2o 7209  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-card 8399  df-cda 8624  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-div 10298  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-7 10701  df-8 10702  df-9 10703  df-10 10704  df-n0 10899  df-z 10967  df-dec 11081  df-uz 11189  df-rp 11332  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-seq 12246  df-exp 12305  df-hash 12548  df-word 12697  df-lsw 12698  df-concat 12699  df-s1 12700  df-substr 12701  df-splice 12702  df-reverse 12703  df-s2 12981  df-struct 15172  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-sets 15176  df-ress 15177  df-plusg 15252  df-mulr 15253  df-starv 15254  df-tset 15258  df-ple 15259  df-ds 15261  df-unif 15262  df-0g 15389  df-gsum 15390  df-mre 15541  df-mrc 15542  df-acs 15544  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-mhm 16631  df-submnd 16632  df-grp 16722  df-minusg 16723  df-mulg 16725  df-subg 16863  df-ghm 16930  df-gim 16972  df-oppg 17046  df-symg 17068  df-pmtr 17132  df-psgn 17181  df-cmn 17481  df-abl 17482  df-mgp 17773  df-ur 17785  df-ring 17831  df-cring 17832  df-oppr 17900  df-dvdsr 17918  df-unit 17919  df-invr 17949  df-dvr 17960  df-rnghom 17992  df-drng 18026  df-subrg 18055  df-cnfld 19020  df-zring 19089  df-zrh 19124
This theorem is referenced by:  madetsumid  19535  mdetleib2  19662  mdetf  19669  mdetdiaglem  19672  mdetrlin  19676  mdetrsca  19677  mdetralt  19682  mdetunilem7  19692  mdetunilem8  19693
  Copyright terms: Public domain W3C validator