Theorem zrhpsgnmhm 19201

Description: Embedding of permutation signs into an arbitrary ring is a homomorphism. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
zrhpsgnmhm	|- ( ( R e. Ring /\ A e. Fin ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` A ) ) e. ( ( SymGrp ` A ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )

Proof of Theorem zrhpsgnmhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2462	. . . 4 |- ( ZRHom ` R ) = ( ZRHom ` R )
2	1	zrhrhm 19132	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( ZRHom ` R ) e. (ℤring RingHom R ) )
3		eqid 2462	. . . 4 |- (mulGrp ` ℤring ) = (mulGrp ` ℤring )
4		eqid 2462	. . . 4 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
5	3, 4	rhmmhm 17999	. . 3 |- ( ( ZRHom ` R ) e. (ℤring RingHom R ) -> ( ZRHom ` R ) e. ( (mulGrp ` ℤring ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )
6	2, 5	syl 17	. 2 |- ( R e. Ring -> ( ZRHom ` R ) e. ( (mulGrp ` ℤring ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )
7		eqid 2462	. . . . 5 |- ( SymGrp ` A ) = ( SymGrp ` A )
8		eqid 2462	. . . . 5 |- (pmSgn ` A ) = (pmSgn ` A )
9		eqid 2462	. . . . 5 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } )
10	7, 8, 9	psgnghm2 19198	. . . 4 |- ( A e. Fin -> (pmSgn ` A ) e. ( ( SymGrp ` A ) GrpHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) )
11		ghmmhm 16942	. . . 4 |- ( (pmSgn ` A ) e. ( ( SymGrp ` A ) GrpHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) -> (pmSgn ` A ) e. ( ( SymGrp ` A ) MndHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) )
12	10, 11	syl 17	. . 3 |- ( A e. Fin -> (pmSgn ` A ) e. ( ( SymGrp ` A ) MndHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) )
13		eqid 2462	. . . . . . . 8 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) )
14	13	cnmsgnsubg 19194	. . . . . . 7 |- { 1 , -u 1 } e. (SubGrp ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) )
15		subgsubm 16888	. . . . . . 7 |- ( { 1 , -u 1 } e. (SubGrp ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ) -> { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ) )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 |- { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) )
17		cnring 19039	. . . . . . 7 |- ℂfld e. Ring
18		cnfldbas 19023	. . . . . . . . 9 |- CC = ( Base ` ℂfld )
19		cnfld0 19041	. . . . . . . . 9 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
20		cndrng 19046	. . . . . . . . 9 |- ℂfld e. DivRing
21	18, 19, 20	drngui 18030	. . . . . . . 8 |- ( CC \ { 0 } ) = (Unit ` ℂfld )
22		eqid 2462	. . . . . . . 8 |- (mulGrp ` ℂfld ) = (mulGrp ` ℂfld )
23	21, 22	unitsubm 17947	. . . . . . 7 |- (ℂfld e. Ring -> ( CC \ { 0 } ) e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) )
24	13	subsubm 16653	. . . . . . 7 |- ( ( CC \ { 0 } ) e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) -> ( { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ) <-> ( { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) /\ { 1 , -u 1 } C_ ( CC \ { 0 } ) ) ) )
25	17, 23, 24	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ) <-> ( { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) /\ { 1 , -u 1 } C_ ( CC \ { 0 } ) ) )
26	16, 25	mpbi 213	. . . . 5 |- ( { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) /\ { 1 , -u 1 } C_ ( CC \ { 0 } ) )
27	26	simpli 464	. . . 4 |- { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) )
28		1z 10996	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
29		neg1z 11002	. . . . 5 |- -u 1 e. ZZ
30		prssi 4141	. . . . 5 |- ( ( 1 e. ZZ /\ -u 1 e. ZZ ) -> { 1 , -u 1 } C_ ZZ )
31	28, 29, 30	mp2an 683	. . . 4 |- { 1 , -u 1 } C_ ZZ
32		zsubrg 19070	. . . . 5 |- ZZ e. (SubRing ` ℂfld )
33	22	subrgsubm 18070	. . . . 5 |- ( ZZ e. (SubRing ` ℂfld ) -> ZZ e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) )
34		zringmpg 19112	. . . . . . 7 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) = (mulGrp ` ℤring )
35	34	eqcomi 2471	. . . . . 6 |- (mulGrp ` ℤring ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ )
36	35	subsubm 16653	. . . . 5 |- ( ZZ e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) -> ( { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℤring ) ) <-> ( { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) /\ { 1 , -u 1 } C_ ZZ ) ) )
37	32, 33, 36	mp2b 10	. . . 4 |- ( { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℤring ) ) <-> ( { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) /\ { 1 , -u 1 } C_ ZZ ) )
38	27, 31, 37	mpbir2an 936	. . 3 |- { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℤring ) )
39		zex 10975	. . . . . 6 |- ZZ e. _V
40		ressabs 15237	. . . . . 6 |- ( ( ZZ e. _V /\ { 1 , -u 1 } C_ ZZ ) -> ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ↾s { 1 , -u 1 } ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) )
41	39, 31, 40	mp2an 683	. . . . 5 |- ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ↾s { 1 , -u 1 } ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } )
42	34	oveq1i 6325	. . . . 5 |- ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ↾s { 1 , -u 1 } ) = ( (mulGrp ` ℤring ) ↾s { 1 , -u 1 } )
43	41, 42	eqtr3i 2486	. . . 4 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) = ( (mulGrp ` ℤring ) ↾s { 1 , -u 1 } )
44	43	resmhm2 16656	. . 3 |- ( ( (pmSgn ` A ) e. ( ( SymGrp ` A ) MndHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) /\ { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℤring ) ) ) -> (pmSgn ` A ) e. ( ( SymGrp ` A ) MndHom (mulGrp ` ℤring ) ) )
45	12, 38, 44	sylancl 673	. 2 |- ( A e. Fin -> (pmSgn ` A ) e. ( ( SymGrp ` A ) MndHom (mulGrp ` ℤring ) ) )
46		mhmco 16658	. 2 |- ( ( ( ZRHom ` R ) e. ( (mulGrp ` ℤring ) MndHom (mulGrp ` R ) ) /\ (pmSgn ` A ) e. ( ( SymGrp ` A ) MndHom (mulGrp ` ℤring ) ) ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` A ) ) e. ( ( SymGrp ` A ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )
47	6, 45, 46	syl2an 484	1 |- ( ( R e. Ring /\ A e. Fin ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` A ) ) e. ( ( SymGrp ` A ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1455   e. wcel 1898   _Vcvv 3057   \ cdif 3413   C_ wss 3416   {csn 3980   {cpr 3982   o. ccom 4857   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   Fincfn 7595   CCcc 9563   0cc0 9565   1c1 9566   -ucneg 9887   ZZcz 10966   ↾_s cress 15171   MndHom cmhm 16629  SubMndcsubmnd 16630  SubGrpcsubg 16860   GrpHom cghm 16929   SymGrpcsymg 17067  pmSgncpsgn 17179  mulGrpcmgp 17772   Ringcrg 17829   RingHom crh 17989  SubRingcsubrg 18053  ℂ_fldccnfld 19019  ℤ_ringzring 19088   ZRHomczrh 19120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-inf2 8172  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-addf 9644  ax-mulf 9645

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-xor 1416  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-ot 3989  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-tpos 6999  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-2o 7209  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-card 8399  df-cda 8624  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-div 10298  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-7 10701  df-8 10702  df-9 10703  df-10 10704  df-n0 10899  df-z 10967  df-dec 11081  df-uz 11189  df-rp 11332  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-seq 12246  df-exp 12305  df-hash 12548  df-word 12697  df-lsw 12698  df-concat 12699  df-s1 12700  df-substr 12701  df-splice 12702  df-reverse 12703  df-s2 12981  df-struct 15172  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-sets 15176  df-ress 15177  df-plusg 15252  df-mulr 15253  df-starv 15254  df-tset 15258  df-ple 15259  df-ds 15261  df-unif 15262  df-0g 15389  df-gsum 15390  df-mre 15541  df-mrc 15542  df-acs 15544  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-mhm 16631  df-submnd 16632  df-grp 16722  df-minusg 16723  df-mulg 16725  df-subg 16863  df-ghm 16930  df-gim 16972  df-oppg 17046  df-symg 17068  df-pmtr 17132  df-psgn 17181  df-cmn 17481  df-abl 17482  df-mgp 17773  df-ur 17785  df-ring 17831  df-cring 17832  df-oppr 17900  df-dvdsr 17918  df-unit 17919  df-invr 17949  df-dvr 17960  df-rnghom 17992  df-drng 18026  df-subrg 18055  df-cnfld 19020  df-zring 19089  df-zrh 19124

This theorem is referenced by:  madetsumid  19535  mdetleib2  19662  mdetf  19669  mdetdiaglem  19672  mdetrlin  19676  mdetrsca  19677  mdetralt  19682  mdetunilem7  19692  mdetunilem8  19693