MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zrhpsgnmhm Structured version   Unicode version

Theorem zrhpsgnmhm 18109
Description: Embedding of permutation signs into an arbitrary ring is a homomorphism. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
zrhpsgnmhm  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  Fin )  ->  (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  A ) )  e.  ( ( SymGrp `  A
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )

Proof of Theorem zrhpsgnmhm
StepHypRef Expression
1 eqid 2450 . . . 4  |-  ( ZRHom `  R )  =  ( ZRHom `  R )
21zrhrhm 18038 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ZRHom `  R )  e.  (ring RingHom  R
) )
3 eqid 2450 . . . 4  |-  (mulGrp ` ring )  =  (mulGrp ` ring )
4 eqid 2450 . . . 4  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
53, 4rhmmhm 16904 . . 3  |-  ( ( ZRHom `  R )  e.  (ring RingHom  R )  ->  ( ZRHom `  R )  e.  ( (mulGrp ` ring ) MndHom  (mulGrp `  R
) ) )
62, 5syl 16 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ZRHom `  R )  e.  ( (mulGrp ` ring ) MndHom  (mulGrp `  R
) ) )
7 eqid 2450 . . . . 5  |-  ( SymGrp `  A )  =  (
SymGrp `  A )
8 eqid 2450 . . . . 5  |-  (pmSgn `  A )  =  (pmSgn `  A )
9 eqid 2450 . . . . 5  |-  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )
107, 8, 9psgnghm2 18106 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  (pmSgn `  A )  e.  ( ( SymGrp `  A )  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) )
11 ghmmhm 15845 . . . 4  |-  ( (pmSgn `  A )  e.  ( ( SymGrp `  A )  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  ->  (pmSgn `  A
)  e.  ( (
SymGrp `  A ) MndHom  (
(mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) )
1210, 11syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (pmSgn `  A )  e.  ( ( SymGrp `  A ) MndHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) )
13 eqid 2450 . . . . . . . 8  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
1413cnmsgnsubg 18102 . . . . . . 7  |-  { 1 ,  -u 1 }  e.  (SubGrp `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )
15 subgsubm 15791 . . . . . . 7  |-  ( { 1 ,  -u 1 }  e.  (SubGrp `  (
(mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )  ->  { 1 ,  -u 1 }  e.  (SubMnd `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6  |-  { 1 ,  -u 1 }  e.  (SubMnd `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )
17 cnrng 17933 . . . . . . 7  |-fld  e.  Ring
18 cnfldbas 17917 . . . . . . . . 9  |-  CC  =  ( Base ` fld )
19 cnfld0 17935 . . . . . . . . 9  |-  0  =  ( 0g ` fld )
20 cndrng 17940 . . . . . . . . 9  |-fld  e.  DivRing
2118, 19, 20drngui 16930 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  (Unit ` fld )
22 eqid 2450 . . . . . . . 8  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
2321, 22unitsubm 16854 . . . . . . 7  |-  (fld  e.  Ring  -> 
( CC  \  {
0 } )  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) ) )
2413subsubm 15573 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  \  { 0 } )  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) )  ->  ( { 1 ,  -u
1 }  e.  (SubMnd `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )  <->  ( {
1 ,  -u 1 }  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) )  /\  { 1 ,  -u 1 }  C_  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )
2517, 23, 24mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( { 1 ,  -u 1 }  e.  (SubMnd `  (
(mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )  <->  ( {
1 ,  -u 1 }  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) )  /\  { 1 ,  -u 1 }  C_  ( CC  \  { 0 } ) ) )
2616, 25mpbi 208 . . . . 5  |-  ( { 1 ,  -u 1 }  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) )  /\  { 1 ,  -u 1 }  C_  ( CC  \  { 0 } ) )
2726simpli 458 . . . 4  |-  { 1 ,  -u 1 }  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) )
28 1z 10763 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
29 neg1z 10768 . . . . 5  |-  -u 1  e.  ZZ
30 prssi 4113 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  -u 1  e.  ZZ )  ->  { 1 , 
-u 1 }  C_  ZZ )
3128, 29, 30mp2an 672 . . . 4  |-  { 1 ,  -u 1 }  C_  ZZ
32 zsubrg 17961 . . . . 5  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
3322subrgsubm 16970 . . . . 5  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) ) )
34 zringmpg 18011 . . . . . . 7  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ )  =  (mulGrp ` ring )
3534eqcomi 2462 . . . . . 6  |-  (mulGrp ` ring )  =  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ )
3635subsubm 15573 . . . . 5  |-  ( ZZ  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) )  ->  ( {
1 ,  -u 1 }  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` ring ) )  <->  ( { 1 ,  -u 1 }  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) )  /\  {
1 ,  -u 1 }  C_  ZZ ) ) )
3732, 33, 36mp2b 10 . . . 4  |-  ( { 1 ,  -u 1 }  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` ring ) )  <->  ( { 1 ,  -u 1 }  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) )  /\  {
1 ,  -u 1 }  C_  ZZ ) )
3827, 31, 37mpbir2an 911 . . 3  |-  { 1 ,  -u 1 }  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` ring ) )
39 zex 10742 . . . . . 6  |-  ZZ  e.  _V
40 ressabs 14324 . . . . . 6  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  { 1 ,  -u 1 }  C_  ZZ )  -> 
( ( (mulGrp ` fld )s  ZZ )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )
4139, 31, 40mp2an 672 . . . . 5  |-  ( ( (mulGrp ` fld )s  ZZ )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )
4234oveq1i 6186 . . . . 5  |-  ( ( (mulGrp ` fld )s  ZZ )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` ring )s  { 1 ,  -u
1 } )
4341, 42eqtr3i 2480 . . . 4  |-  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` ring )s  { 1 ,  -u
1 } )
4443resmhm2 15576 . . 3  |-  ( ( (pmSgn `  A )  e.  ( ( SymGrp `  A
) MndHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  /\  { 1 , 
-u 1 }  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` ring ) ) )  -> 
(pmSgn `  A )  e.  ( ( SymGrp `  A
) MndHom  (mulGrp ` ring ) ) )
4512, 38, 44sylancl 662 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (pmSgn `  A )  e.  ( ( SymGrp `  A ) MndHom  (mulGrp ` ring ) ) )
46 mhmco 15578 . 2  |-  ( ( ( ZRHom `  R
)  e.  ( (mulGrp ` ring ) MndHom  (mulGrp `  R )
)  /\  (pmSgn `  A
)  e.  ( (
SymGrp `  A ) MndHom  (mulGrp ` ring ) ) )  ->  (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  A ) )  e.  ( ( SymGrp `  A
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
476, 45, 46syl2an 477 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  Fin )  ->  (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  A ) )  e.  ( ( SymGrp `  A
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1757   _Vcvv 3054    \ cdif 3409    C_ wss 3412   {csn 3961   {cpr 3963    o. ccom 4928   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   Fincfn 7396   CCcc 9367   0cc0 9369   1c1 9370   -ucneg 9683   ZZcz 10733   ↾s cress 14263   MndHom cmhm 15550  SubMndcsubmnd 15551  SubGrpcsubg 15763    GrpHom cghm 15832   SymGrpcsymg 15970  pmSgncpsgn 16083  mulGrpcmgp 16682   Ringcrg 16737   RingHom crh 16896  SubRingcsubrg 16953  ℂfldccnfld 17913  ℤringzring 17978   ZRHomczrh 18026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-inf2 7934  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446  ax-addf 9448  ax-mulf 9449
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1352  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-ot 3970  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-iin 4258  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-se 4764  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-isom 5511  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-tpos 6831  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-2o 7007  df-oadd 7010  df-er 7187  df-map 7302  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-card 8196  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-div 10081  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-4 10469  df-5 10470  df-6 10471  df-7 10472  df-8 10473  df-9 10474  df-10 10475  df-n0 10667  df-z 10734  df-dec 10843  df-uz 10949  df-rp 11079  df-fz 11525  df-fzo 11636  df-seq 11894  df-exp 11953  df-hash 12191  df-word 12317  df-concat 12319  df-s1 12320  df-substr 12321  df-splice 12322  df-reverse 12323  df-s2 12563  df-struct 14264  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-sets 14268  df-ress 14269  df-plusg 14339  df-mulr 14340  df-starv 14341  df-tset 14345  df-ple 14346  df-ds 14348  df-unif 14349  df-0g 14468  df-gsum 14469  df-mre 14612  df-mrc 14613  df-acs 14615  df-mnd 15503  df-mhm 15552  df-submnd 15553  df-grp 15633  df-minusg 15634  df-mulg 15636  df-subg 15766  df-ghm 15833  df-gim 15875  df-oppg 15949  df-symg 15971  df-pmtr 16036  df-psgn 16085  df-cmn 16369  df-abl 16370  df-mgp 16683  df-ur 16695  df-rng 16739  df-cring 16740  df-oppr 16807  df-dvdsr 16825  df-unit 16826  df-invr 16856  df-dvr 16867  df-rnghom 16898  df-drng 16926  df-subrg 16955  df-cnfld 17914  df-zring 17979  df-zrh 18030
This theorem is referenced by:  madetsumid  18443  mdetleib2  18496  mdetf  18503  mdetdiaglem  18506  mdetrlin  18510  mdetrsca  18511  mdetralt  18516  mdetunilem7  18526  mdetunilem8  18527
  Copyright terms: Public domain W3C validator