Theorem zrhpsgnmhm 18711

Description: Embedding of permutation signs into an arbitrary ring is a homomorphism. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
zrhpsgnmhm	|- ( ( R e. Ring /\ A e. Fin ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` A ) ) e. ( ( SymGrp ` A ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )

Proof of Theorem zrhpsgnmhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2382	. . . 4 |- ( ZRHom ` R ) = ( ZRHom ` R )
2	1	zrhrhm 18642	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( ZRHom ` R ) e. (ℤring RingHom R ) )
3		eqid 2382	. . . 4 |- (mulGrp ` ℤring ) = (mulGrp ` ℤring )
4		eqid 2382	. . . 4 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
5	3, 4	rhmmhm 17484	. . 3 |- ( ( ZRHom ` R ) e. (ℤring RingHom R ) -> ( ZRHom ` R ) e. ( (mulGrp ` ℤring ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )
6	2, 5	syl 16	. 2 |- ( R e. Ring -> ( ZRHom ` R ) e. ( (mulGrp ` ℤring ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )
7		eqid 2382	. . . . 5 |- ( SymGrp ` A ) = ( SymGrp ` A )
8		eqid 2382	. . . . 5 |- (pmSgn ` A ) = (pmSgn ` A )
9		eqid 2382	. . . . 5 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } )
10	7, 8, 9	psgnghm2 18708	. . . 4 |- ( A e. Fin -> (pmSgn ` A ) e. ( ( SymGrp ` A ) GrpHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) )
11		ghmmhm 16394	. . . 4 |- ( (pmSgn ` A ) e. ( ( SymGrp ` A ) GrpHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) -> (pmSgn ` A ) e. ( ( SymGrp ` A ) MndHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) )
12	10, 11	syl 16	. . 3 |- ( A e. Fin -> (pmSgn ` A ) e. ( ( SymGrp ` A ) MndHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) )
13		eqid 2382	. . . . . . . 8 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) )
14	13	cnmsgnsubg 18704	. . . . . . 7 |- { 1 , -u 1 } e. (SubGrp ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) )
15		subgsubm 16340	. . . . . . 7 |- ( { 1 , -u 1 } e. (SubGrp ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ) -> { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ) )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 |- { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) )
17		cnring 18553	. . . . . . 7 |- ℂfld e. Ring
18		cnfldbas 18537	. . . . . . . . 9 |- CC = ( Base ` ℂfld )
19		cnfld0 18555	. . . . . . . . 9 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
20		cndrng 18560	. . . . . . . . 9 |- ℂfld e. DivRing
21	18, 19, 20	drngui 17515	. . . . . . . 8 |- ( CC \ { 0 } ) = (Unit ` ℂfld )
22		eqid 2382	. . . . . . . 8 |- (mulGrp ` ℂfld ) = (mulGrp ` ℂfld )
23	21, 22	unitsubm 17432	. . . . . . 7 |- (ℂfld e. Ring -> ( CC \ { 0 } ) e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) )
24	13	subsubm 16105	. . . . . . 7 |- ( ( CC \ { 0 } ) e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) -> ( { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ) <-> ( { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) /\ { 1 , -u 1 } C_ ( CC \ { 0 } ) ) ) )
25	17, 23, 24	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ) <-> ( { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) /\ { 1 , -u 1 } C_ ( CC \ { 0 } ) ) )
26	16, 25	mpbi 208	. . . . 5 |- ( { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) /\ { 1 , -u 1 } C_ ( CC \ { 0 } ) )
27	26	simpli 456	. . . 4 |- { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) )
28		1z 10811	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
29		neg1z 10817	. . . . 5 |- -u 1 e. ZZ
30		prssi 4100	. . . . 5 |- ( ( 1 e. ZZ /\ -u 1 e. ZZ ) -> { 1 , -u 1 } C_ ZZ )
31	28, 29, 30	mp2an 670	. . . 4 |- { 1 , -u 1 } C_ ZZ
32		zsubrg 18584	. . . . 5 |- ZZ e. (SubRing ` ℂfld )
33	22	subrgsubm 17555	. . . . 5 |- ( ZZ e. (SubRing ` ℂfld ) -> ZZ e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) )
34		zringmpg 18622	. . . . . . 7 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) = (mulGrp ` ℤring )
35	34	eqcomi 2395	. . . . . 6 |- (mulGrp ` ℤring ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ )
36	35	subsubm 16105	. . . . 5 |- ( ZZ e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) -> ( { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℤring ) ) <-> ( { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) /\ { 1 , -u 1 } C_ ZZ ) ) )
37	32, 33, 36	mp2b 10	. . . 4 |- ( { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℤring ) ) <-> ( { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) /\ { 1 , -u 1 } C_ ZZ ) )
38	27, 31, 37	mpbir2an 918	. . 3 |- { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℤring ) )
39		zex 10790	. . . . . 6 |- ZZ e. _V
40		ressabs 14700	. . . . . 6 |- ( ( ZZ e. _V /\ { 1 , -u 1 } C_ ZZ ) -> ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ↾s { 1 , -u 1 } ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) )
41	39, 31, 40	mp2an 670	. . . . 5 |- ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ↾s { 1 , -u 1 } ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } )
42	34	oveq1i 6206	. . . . 5 |- ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ↾s { 1 , -u 1 } ) = ( (mulGrp ` ℤring ) ↾s { 1 , -u 1 } )
43	41, 42	eqtr3i 2413	. . . 4 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) = ( (mulGrp ` ℤring ) ↾s { 1 , -u 1 } )
44	43	resmhm2 16108	. . 3 |- ( ( (pmSgn ` A ) e. ( ( SymGrp ` A ) MndHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) /\ { 1 , -u 1 } e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℤring ) ) ) -> (pmSgn ` A ) e. ( ( SymGrp ` A ) MndHom (mulGrp ` ℤring ) ) )
45	12, 38, 44	sylancl 660	. 2 |- ( A e. Fin -> (pmSgn ` A ) e. ( ( SymGrp ` A ) MndHom (mulGrp ` ℤring ) ) )
46		mhmco 16110	. 2 |- ( ( ( ZRHom ` R ) e. ( (mulGrp ` ℤring ) MndHom (mulGrp ` R ) ) /\ (pmSgn ` A ) e. ( ( SymGrp ` A ) MndHom (mulGrp ` ℤring ) ) ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` A ) ) e. ( ( SymGrp ` A ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )
47	6, 45, 46	syl2an 475	1 |- ( ( R e. Ring /\ A e. Fin ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` A ) ) e. ( ( SymGrp ` A ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1399   e. wcel 1826   _Vcvv 3034   \ cdif 3386   C_ wss 3389   {csn 3944   {cpr 3946   o. ccom 4917   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Fincfn 7435   CCcc 9401   0cc0 9403   1c1 9404   -ucneg 9719   ZZcz 10781   ↾_s cress 14635   MndHom cmhm 16081  SubMndcsubmnd 16082  SubGrpcsubg 16312   GrpHom cghm 16381   SymGrpcsymg 16519  pmSgncpsgn 16631  mulGrpcmgp 17254   Ringcrg 17311   RingHom crh 17474  SubRingcsubrg 17538  ℂ_fldccnfld 18533  ℤ_ringzring 18601   ZRHomczrh 18630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-addf 9482  ax-mulf 9483

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-xor 1363  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-ot 3953  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-tpos 6873  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-rp 11140  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-word 12446  df-lsw 12447  df-concat 12448  df-s1 12449  df-substr 12450  df-splice 12451  df-reverse 12452  df-s2 12724  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-mhm 16083  df-submnd 16084  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-mulg 16177  df-subg 16315  df-ghm 16382  df-gim 16424  df-oppg 16498  df-symg 16520  df-pmtr 16584  df-psgn 16633  df-cmn 16917  df-abl 16918  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-cring 17314  df-oppr 17385  df-dvdsr 17403  df-unit 17404  df-invr 17434  df-dvr 17445  df-rnghom 17477  df-drng 17511  df-subrg 17540  df-cnfld 18534  df-zring 18602  df-zrh 18634

This theorem is referenced by:  madetsumid  19048  mdetleib2  19175  mdetf  19182  mdetdiaglem  19185  mdetrlin  19189  mdetrsca  19190  mdetralt  19195  mdetunilem7  19205  mdetunilem8  19206