MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zrhpsgninv Structured version   Unicode version

Theorem zrhpsgninv 18712
Description: The embedded sign of a permutation equals the embedded sign of the inverse of the permutation. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
zrhpsgninv.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
zrhpsgninv.y  |-  Y  =  ( ZRHom `  R
)
zrhpsgninv.s  |-  S  =  (pmSgn `  N )
Assertion
Ref Expression
zrhpsgninv  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  (
( Y  o.  S
) `  `' F
)  =  ( ( Y  o.  S ) `
 F ) )

Proof of Theorem zrhpsgninv
StepHypRef Expression
1 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
2 zrhpsgninv.s . . . . 5  |-  S  =  (pmSgn `  N )
3 zrhpsgninv.p . . . . 5  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
41, 2, 3psgninv 18709 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( S `  `' F )  =  ( S `  F ) )
543adant1 1012 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( S `  `' F
)  =  ( S `
 F ) )
65fveq2d 5778 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( Y `  ( S `  `' F ) )  =  ( Y `  ( S `  F )
) )
7 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )
81, 2, 7psgnghm2 18708 . . . . 5  |-  ( N  e.  Fin  ->  S  e.  ( ( SymGrp `  N
)  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  {
1 ,  -u 1 } ) ) )
9 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  =  ( Base `  (
(mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )
103, 9ghmf 16388 . . . . 5  |-  ( S  e.  ( ( SymGrp `  N )  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  ->  S : P --> ( Base `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u 1 } ) ) )
118, 10syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  Fin  ->  S : P --> ( Base `  (
(mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) )
12113ad2ant2 1016 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  S : P --> ( Base `  (
(mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) )
13 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( invg `  ( SymGrp `  N ) )  =  ( invg `  ( SymGrp `  N )
)
141, 3, 13symginv 16544 . . . . 5  |-  ( F  e.  P  ->  (
( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  F )  =  `' F )
15143ad2ant3 1017 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  (
( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  F )  =  `' F )
161symggrp 16542 . . . . . 6  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( SymGrp `
 N )  e. 
Grp )
17163ad2ant2 1016 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( SymGrp `
 N )  e. 
Grp )
18 simp3 996 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  F  e.  P )
193, 13grpinvcl 16212 . . . . 5  |-  ( ( ( SymGrp `  N )  e.  Grp  /\  F  e.  P )  ->  (
( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  F )  e.  P )
2017, 18, 19syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  (
( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  F )  e.  P )
2115, 20eqeltrrd 2471 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  `' F  e.  P )
22 fvco3 5851 . . 3  |-  ( ( S : P --> ( Base `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  /\  `' F  e.  P )  ->  (
( Y  o.  S
) `  `' F
)  =  ( Y `
 ( S `  `' F ) ) )
2312, 21, 22syl2anc 659 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  (
( Y  o.  S
) `  `' F
)  =  ( Y `
 ( S `  `' F ) ) )
24 fvco3 5851 . . 3  |-  ( ( S : P --> ( Base `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  /\  F  e.  P
)  ->  ( ( Y  o.  S ) `  F )  =  ( Y `  ( S `
 F ) ) )
2512, 18, 24syl2anc 659 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  (
( Y  o.  S
) `  F )  =  ( Y `  ( S `  F ) ) )
266, 23, 253eqtr4d 2433 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  (
( Y  o.  S
) `  `' F
)  =  ( ( Y  o.  S ) `
 F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   {cpr 3946   `'ccnv 4912    o. ccom 4917   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Fincfn 7435   1c1 9404   -ucneg 9719   Basecbs 14634   ↾s cress 14635   Grpcgrp 16170   invgcminusg 16171    GrpHom cghm 16381   SymGrpcsymg 16519  pmSgncpsgn 16631  mulGrpcmgp 17254   Ringcrg 17311  ℂfldccnfld 18533   ZRHomczrh 18630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-addf 9482  ax-mulf 9483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-xor 1363  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-ot 3953  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-tpos 6873  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-rp 11140  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-word 12446  df-lsw 12447  df-concat 12448  df-s1 12449  df-substr 12450  df-splice 12451  df-reverse 12452  df-s2 12724  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-mhm 16083  df-submnd 16084  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-subg 16315  df-ghm 16382  df-gim 16424  df-oppg 16498  df-symg 16520  df-pmtr 16584  df-psgn 16633  df-cmn 16917  df-abl 16918  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-cring 17314  df-oppr 17385  df-dvdsr 17403  df-unit 17404  df-invr 17434  df-dvr 17445  df-drng 17511  df-cnfld 18534
This theorem is referenced by:  mdetleib2  19175
  Copyright terms: Public domain W3C validator