Theorem zrhpsgnevpm 18718

Description: The sign of an even permutation embedded into a ring is the multiplicative neutral element of the ring. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhpsgnevpm.y	|- Y = ( ZRHom ` R )
zrhpsgnevpm.s	|- S = (pmSgn ` N )
zrhpsgnevpm.o	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
zrhpsgnevpm	|- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ F e. (pmEven ` N ) ) -> ( ( Y o. S ) ` F ) = .1. )

Proof of Theorem zrhpsgnevpm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2382	. . . . . 6 |- ( SymGrp ` N ) = ( SymGrp ` N )
2		zrhpsgnevpm.s	. . . . . 6 |- S = (pmSgn ` N )
3		eqid 2382	. . . . . 6 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } )
4	1, 2, 3	psgnghm2 18708	. . . . 5 |- ( N e. Fin -> S e. ( ( SymGrp ` N ) GrpHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) )
5		eqid 2382	. . . . . 6 |- ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
6		eqid 2382	. . . . . 6 |- ( Base ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) = ( Base ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) )
7	5, 6	ghmf 16388	. . . . 5 |- ( S e. ( ( SymGrp ` N ) GrpHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) -> S : ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) --> ( Base ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) )
8	4, 7	syl 16	. . . 4 |- ( N e. Fin -> S : ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) --> ( Base ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) )
9	8	3ad2ant2 1016	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ F e. (pmEven ` N ) ) -> S : ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) --> ( Base ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) )
10	1, 5	evpmss 18713	. . . . 5 |- (pmEven ` N ) C_ ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
11	10	sseli 3413	. . . 4 |- ( F e. (pmEven ` N ) -> F e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) )
12	11	3ad2ant3 1017	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ F e. (pmEven ` N ) ) -> F e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) )
13		fvco3 5851	. . 3 |- ( ( S : ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) --> ( Base ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) /\ F e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( Y o. S ) ` F ) = ( Y ` ( S ` F ) ) )
14	9, 12, 13	syl2anc 659	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ F e. (pmEven ` N ) ) -> ( ( Y o. S ) ` F ) = ( Y ` ( S ` F ) ) )
15	1, 5, 2	psgnevpm 18716	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ F e. (pmEven ` N ) ) -> ( S ` F ) = 1 )
16	15	3adant1 1012	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ F e. (pmEven ` N ) ) -> ( S ` F ) = 1 )
17	16	fveq2d 5778	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ F e. (pmEven ` N ) ) -> ( Y ` ( S ` F ) ) = ( Y ` 1 ) )
18		zrhpsgnevpm.y	. . . 4 |- Y = ( ZRHom ` R )
19		zrhpsgnevpm.o	. . . 4 |- .1. = ( 1r ` R )
20	18, 19	zrh1 18643	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( Y ` 1 ) = .1. )
21	20	3ad2ant1 1015	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ F e. (pmEven ` N ) ) -> ( Y ` 1 ) = .1. )
22	14, 17, 21	3eqtrd 2427	1 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ F e. (pmEven ` N ) ) -> ( ( Y o. S ) ` F ) = .1. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 971   = wceq 1399   e. wcel 1826   {cpr 3946   o. ccom 4917   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Fincfn 7435   1c1 9404   -ucneg 9719   Basecbs 14634   ↾_s cress 14635   GrpHom cghm 16381   SymGrpcsymg 16519  pmSgncpsgn 16631  pmEvencevpm 16632  mulGrpcmgp 17254   1rcur 17266   Ringcrg 17311  ℂ_fldccnfld 18533   ZRHomczrh 18630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-addf 9482  ax-mulf 9483

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-xor 1363  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-ot 3953  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-tpos 6873  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-rp 11140  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-word 12446  df-lsw 12447  df-concat 12448  df-s1 12449  df-substr 12450  df-splice 12451  df-reverse 12452  df-s2 12724  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-mhm 16083  df-submnd 16084  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-mulg 16177  df-subg 16315  df-ghm 16382  df-gim 16424  df-oppg 16498  df-symg 16520  df-pmtr 16584  df-psgn 16633  df-evpm 16634  df-cmn 16917  df-abl 16918  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-cring 17314  df-oppr 17385  df-dvdsr 17403  df-unit 17404  df-invr 17434  df-dvr 17445  df-rnghom 17477  df-drng 17511  df-subrg 17540  df-cnfld 18534  df-zring 18602  df-zrh 18634

This theorem is referenced by:  mdet0pr  19179  mdetralt  19195