Theorem zrhpsgnevpm 18116

Description: The sign of an even permutation embedded into a ring is the multiplicative neutral element of the ring. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhpsgnevpm.y	|- Y = ( ZRHom ` R )
zrhpsgnevpm.s	|- S = (pmSgn ` N )
zrhpsgnevpm.o	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
zrhpsgnevpm	|- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ F e. (pmEven ` N ) ) -> ( ( Y o. S ) ` F ) = .1. )

Proof of Theorem zrhpsgnevpm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2450	. . . . . 6 |- ( SymGrp ` N ) = ( SymGrp ` N )
2		zrhpsgnevpm.s	. . . . . 6 |- S = (pmSgn ` N )
3		eqid 2450	. . . . . 6 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } )
4	1, 2, 3	psgnghm2 18106	. . . . 5 |- ( N e. Fin -> S e. ( ( SymGrp ` N ) GrpHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) )
5		eqid 2450	. . . . . 6 |- ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
6		eqid 2450	. . . . . 6 |- ( Base ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) = ( Base ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) )
7	5, 6	ghmf 15839	. . . . 5 |- ( S e. ( ( SymGrp ` N ) GrpHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) -> S : ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) --> ( Base ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) )
8	4, 7	syl 16	. . . 4 |- ( N e. Fin -> S : ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) --> ( Base ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) )
9	8	3ad2ant2 1010	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ F e. (pmEven ` N ) ) -> S : ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) --> ( Base ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) )
10	1, 5	evpmss 18111	. . . . 5 |- (pmEven ` N ) C_ ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
11	10	sseli 3436	. . . 4 |- ( F e. (pmEven ` N ) -> F e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) )
12	11	3ad2ant3 1011	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ F e. (pmEven ` N ) ) -> F e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) )
13		fvco3 5853	. . 3 |- ( ( S : ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) --> ( Base ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s { 1 , -u 1 } ) ) /\ F e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( Y o. S ) ` F ) = ( Y ` ( S ` F ) ) )
14	9, 12, 13	syl2anc 661	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ F e. (pmEven ` N ) ) -> ( ( Y o. S ) ` F ) = ( Y ` ( S ` F ) ) )
15	1, 5, 2	psgnevpm 18114	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ F e. (pmEven ` N ) ) -> ( S ` F ) = 1 )
16	15	3adant1 1006	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ F e. (pmEven ` N ) ) -> ( S ` F ) = 1 )
17	16	fveq2d 5779	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ F e. (pmEven ` N ) ) -> ( Y ` ( S ` F ) ) = ( Y ` 1 ) )
18		zrhpsgnevpm.y	. . . 4 |- Y = ( ZRHom ` R )
19		zrhpsgnevpm.o	. . . 4 |- .1. = ( 1r ` R )
20	18, 19	zrh1 18039	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( Y ` 1 ) = .1. )
21	20	3ad2ant1 1009	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ F e. (pmEven ` N ) ) -> ( Y ` 1 ) = .1. )
22	14, 17, 21	3eqtrd 2494	1 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ F e. (pmEven ` N ) ) -> ( ( Y o. S ) ` F ) = .1. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1757   {cpr 3963   o. ccom 4928   -->wf 5498   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   Fincfn 7396   1c1 9370   -ucneg 9683   Basecbs 14262   ↾_s cress 14263   GrpHom cghm 15832   SymGrpcsymg 15970  pmSgncpsgn 16083  pmEvencevpm 16084  mulGrpcmgp 16682   1rcur 16694   Ringcrg 16737  ℂ_fldccnfld 17913   ZRHomczrh 18026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-inf2 7934  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446  ax-addf 9448  ax-mulf 9449

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1352  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-ot 3970  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-iin 4258  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-se 4764  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-isom 5511  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-tpos 6831  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-2o 7007  df-oadd 7010  df-er 7187  df-map 7302  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-card 8196  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-div 10081  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-4 10469  df-5 10470  df-6 10471  df-7 10472  df-8 10473  df-9 10474  df-10 10475  df-n0 10667  df-z 10734  df-dec 10843  df-uz 10949  df-rp 11079  df-fz 11525  df-fzo 11636  df-seq 11894  df-exp 11953  df-hash 12191  df-word 12317  df-concat 12319  df-s1 12320  df-substr 12321  df-splice 12322  df-reverse 12323  df-s2 12563  df-struct 14264  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-sets 14268  df-ress 14269  df-plusg 14339  df-mulr 14340  df-starv 14341  df-tset 14345  df-ple 14346  df-ds 14348  df-unif 14349  df-0g 14468  df-gsum 14469  df-mre 14612  df-mrc 14613  df-acs 14615  df-mnd 15503  df-mhm 15552  df-submnd 15553  df-grp 15633  df-minusg 15634  df-mulg 15636  df-subg 15766  df-ghm 15833  df-gim 15875  df-oppg 15949  df-symg 15971  df-pmtr 16036  df-psgn 16085  df-evpm 16086  df-cmn 16369  df-abl 16370  df-mgp 16683  df-ur 16695  df-rng 16739  df-cring 16740  df-oppr 16807  df-dvdsr 16825  df-unit 16826  df-invr 16856  df-dvr 16867  df-rnghom 16898  df-drng 16926  df-subrg 16955  df-cnfld 17914  df-zring 17979  df-zrh 18030

This theorem is referenced by:  mdet0pr  18500  mdetralt  18516