Theorem zrhpsgnelbas 18159

Description: Embedding of permutation signs into a ring results in an element of the ring. (Contributed by AV, 1-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhpsgnelbas.p	|- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
zrhpsgnelbas.s	|- S = (pmSgn ` N )
zrhpsgnelbas.y	|- Y = ( ZRHom ` R )

Assertion

Ref	Expression
zrhpsgnelbas	|- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ Q e. P ) -> ( Y ` ( S ` Q ) ) e. ( Base ` R ) )

Proof of Theorem zrhpsgnelbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrhpsgnelbas.p	. . . 4 |- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
2		zrhpsgnelbas.s	. . . 4 |- S = (pmSgn ` N )
3	1, 2	psgnran 16144	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ Q e. P ) -> ( S ` Q ) e. { 1 , -u 1 } )
4	3	3adant1 1006	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ Q e. P ) -> ( S ` Q ) e. { 1 , -u 1 } )
5		elpri 4008	. . 3 |- ( ( S ` Q ) e. { 1 , -u 1 } -> ( ( S ` Q ) = 1 \/ ( S ` Q ) = -u 1 ) )
6		zrhpsgnelbas.y	. . . . . . . 8 |- Y = ( ZRHom ` R )
7		eqid 2454	. . . . . . . 8 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
8	6, 7	zrh1 18079	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> ( Y ` 1 ) = ( 1r ` R ) )
9		eqid 2454	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
10	9, 7	rngidcl 16798	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
11	8, 10	eqeltrd 2542	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> ( Y ` 1 ) e. ( Base ` R ) )
12	11	3ad2ant1 1009	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ Q e. P ) -> ( Y ` 1 ) e. ( Base ` R ) )
13		fveq2 5802	. . . . . 6 |- ( ( S ` Q ) = 1 -> ( Y ` ( S ` Q ) ) = ( Y ` 1 ) )
14	13	eleq1d 2523	. . . . 5 |- ( ( S ` Q ) = 1 -> ( ( Y ` ( S ` Q ) ) e. ( Base ` R ) <-> ( Y ` 1 ) e. ( Base ` R ) ) )
15	12, 14	syl5ibr 221	. . . 4 |- ( ( S ` Q ) = 1 -> ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ Q e. P ) -> ( Y ` ( S ` Q ) ) e. ( Base ` R ) ) )
16		neg1z 10796	. . . . . . . 8 |- -u 1 e. ZZ
17		eqid 2454	. . . . . . . . 9 |- (.g ` R ) = (.g ` R )
18	6, 17, 7	zrhmulg 18076	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ -u 1 e. ZZ ) -> ( Y ` -u 1 ) = ( -u 1 (.g ` R ) ( 1r ` R ) ) )
19	16, 18	mpan2 671	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> ( Y ` -u 1 ) = ( -u 1 (.g ` R ) ( 1r ` R ) ) )
20		rnggrp 16783	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
21	16	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> -u 1 e. ZZ )
22	9, 17	mulgcl 15767	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Grp /\ -u 1 e. ZZ /\ ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) ) -> ( -u 1 (.g ` R ) ( 1r ` R ) ) e. ( Base ` R ) )
23	20, 21, 10, 22	syl3anc 1219	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> ( -u 1 (.g ` R ) ( 1r ` R ) ) e. ( Base ` R ) )
24	19, 23	eqeltrd 2542	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> ( Y ` -u 1 ) e. ( Base ` R ) )
25	24	3ad2ant1 1009	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ Q e. P ) -> ( Y ` -u 1 ) e. ( Base ` R ) )
26		fveq2 5802	. . . . . 6 |- ( ( S ` Q ) = -u 1 -> ( Y ` ( S ` Q ) ) = ( Y ` -u 1 ) )
27	26	eleq1d 2523	. . . . 5 |- ( ( S ` Q ) = -u 1 -> ( ( Y ` ( S ` Q ) ) e. ( Base ` R ) <-> ( Y ` -u 1 ) e. ( Base ` R ) ) )
28	25, 27	syl5ibr 221	. . . 4 |- ( ( S ` Q ) = -u 1 -> ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ Q e. P ) -> ( Y ` ( S ` Q ) ) e. ( Base ` R ) ) )
29	15, 28	jaoi 379	. . 3 |- ( ( ( S ` Q ) = 1 \/ ( S ` Q ) = -u 1 ) -> ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ Q e. P ) -> ( Y ` ( S ` Q ) ) e. ( Base ` R ) ) )
30	5, 29	syl 16	. 2 |- ( ( S ` Q ) e. { 1 , -u 1 } -> ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ Q e. P ) -> ( Y ` ( S ` Q ) ) e. ( Base ` R ) ) )
31	4, 30	mpcom 36	1 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ Q e. P ) -> ( Y ` ( S ` Q ) ) e. ( Base ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   {cpr 3990   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Fincfn 7423   1c1 9398   -ucneg 9711   ZZcz 10761   Basecbs 14296   Grpcgrp 15533  ._gcmg 15537   SymGrpcsymg 16005  pmSgncpsgn 16118   1rcur 16735   Ringcrg 16778   ZRHomczrh 18066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-addf 9476  ax-mulf 9477

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1352  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-ot 3997  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-tpos 6858  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8224  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-rp 11107  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-seq 11928  df-exp 11987  df-hash 12225  df-word 12351  df-concat 12353  df-s1 12354  df-substr 12355  df-splice 12356  df-reverse 12357  df-s2 12597  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-starv 14376  df-tset 14380  df-ple 14381  df-ds 14383  df-unif 14384  df-0g 14503  df-gsum 14504  df-mre 14647  df-mrc 14648  df-acs 14650  df-mnd 15538  df-mhm 15587  df-submnd 15588  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-mulg 15671  df-subg 15801  df-ghm 15868  df-gim 15910  df-oppg 15984  df-symg 16006  df-pmtr 16071  df-psgn 16120  df-cmn 16404  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-cring 16781  df-rnghom 16939  df-subrg 16996  df-cnfld 17954  df-zring 18019  df-zrh 18070

This theorem is referenced by:  zrhcopsgnelbas  18160  m2detleib  18579