MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zrhpsgnelbas Structured version   Unicode version

Theorem zrhpsgnelbas 18159
Description: Embedding of permutation signs into a ring results in an element of the ring. (Contributed by AV, 1-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zrhpsgnelbas.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
zrhpsgnelbas.s  |-  S  =  (pmSgn `  N )
zrhpsgnelbas.y  |-  Y  =  ( ZRHom `  R
)
Assertion
Ref Expression
zrhpsgnelbas  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  Q  e.  P )  ->  ( Y `  ( S `  Q ) )  e.  ( Base `  R
) )

Proof of Theorem zrhpsgnelbas
StepHypRef Expression
1 zrhpsgnelbas.p . . . 4  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
2 zrhpsgnelbas.s . . . 4  |-  S  =  (pmSgn `  N )
31, 2psgnran 16144 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  Q  e.  P )  ->  ( S `  Q
)  e.  { 1 ,  -u 1 } )
433adant1 1006 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  Q  e.  P )  ->  ( S `  Q )  e.  { 1 ,  -u
1 } )
5 elpri 4008 . . 3  |-  ( ( S `  Q )  e.  { 1 , 
-u 1 }  ->  ( ( S `  Q
)  =  1  \/  ( S `  Q
)  =  -u 1
) )
6 zrhpsgnelbas.y . . . . . . . 8  |-  Y  =  ( ZRHom `  R
)
7 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
86, 7zrh1 18079 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Y `
 1 )  =  ( 1r `  R
) )
9 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
109, 7rngidcl 16798 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
118, 10eqeltrd 2542 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Y `
 1 )  e.  ( Base `  R
) )
12113ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  Q  e.  P )  ->  ( Y `  1 )  e.  ( Base `  R
) )
13 fveq2 5802 . . . . . 6  |-  ( ( S `  Q )  =  1  ->  ( Y `  ( S `  Q ) )  =  ( Y `  1
) )
1413eleq1d 2523 . . . . 5  |-  ( ( S `  Q )  =  1  ->  (
( Y `  ( S `  Q )
)  e.  ( Base `  R )  <->  ( Y `  1 )  e.  ( Base `  R
) ) )
1512, 14syl5ibr 221 . . . 4  |-  ( ( S `  Q )  =  1  ->  (
( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  Q  e.  P )  ->  ( Y `  ( S `  Q )
)  e.  ( Base `  R ) ) )
16 neg1z 10796 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  ZZ
17 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  (.g `  R
)  =  (.g `  R
)
186, 17, 7zrhmulg 18076 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  -u 1  e.  ZZ )  ->  ( Y `  -u 1 )  =  ( -u 1
(.g `  R ) ( 1r `  R ) ) )
1916, 18mpan2 671 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Y `
 -u 1 )  =  ( -u 1 (.g `  R ) ( 1r
`  R ) ) )
20 rnggrp 16783 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
2116a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  -u 1  e.  ZZ )
229, 17mulgcl 15767 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  -u 1  e.  ZZ  /\  ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( -u 1 (.g `  R ) ( 1r `  R ) )  e.  ( Base `  R ) )
2320, 21, 10, 22syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( -u
1 (.g `  R ) ( 1r `  R ) )  e.  ( Base `  R ) )
2419, 23eqeltrd 2542 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Y `
 -u 1 )  e.  ( Base `  R
) )
25243ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  Q  e.  P )  ->  ( Y `  -u 1 )  e.  ( Base `  R
) )
26 fveq2 5802 . . . . . 6  |-  ( ( S `  Q )  =  -u 1  ->  ( Y `  ( S `  Q ) )  =  ( Y `  -u 1
) )
2726eleq1d 2523 . . . . 5  |-  ( ( S `  Q )  =  -u 1  ->  (
( Y `  ( S `  Q )
)  e.  ( Base `  R )  <->  ( Y `  -u 1 )  e.  ( Base `  R
) ) )
2825, 27syl5ibr 221 . . . 4  |-  ( ( S `  Q )  =  -u 1  ->  (
( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  Q  e.  P )  ->  ( Y `  ( S `  Q )
)  e.  ( Base `  R ) ) )
2915, 28jaoi 379 . . 3  |-  ( ( ( S `  Q
)  =  1  \/  ( S `  Q
)  =  -u 1
)  ->  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  Q  e.  P )  ->  ( Y `  ( S `  Q ) )  e.  ( Base `  R
) ) )
305, 29syl 16 . 2  |-  ( ( S `  Q )  e.  { 1 , 
-u 1 }  ->  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  Q  e.  P )  ->  ( Y `  ( S `  Q )
)  e.  ( Base `  R ) ) )
314, 30mpcom 36 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  Q  e.  P )  ->  ( Y `  ( S `  Q ) )  e.  ( Base `  R
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   {cpr 3990   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Fincfn 7423   1c1 9398   -ucneg 9711   ZZcz 10761   Basecbs 14296   Grpcgrp 15533  .gcmg 15537   SymGrpcsymg 16005  pmSgncpsgn 16118   1rcur 16735   Ringcrg 16778   ZRHomczrh 18066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-addf 9476  ax-mulf 9477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1352  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-ot 3997  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-tpos 6858  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8224  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-rp 11107  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-seq 11928  df-exp 11987  df-hash 12225  df-word 12351  df-concat 12353  df-s1 12354  df-substr 12355  df-splice 12356  df-reverse 12357  df-s2 12597  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-starv 14376  df-tset 14380  df-ple 14381  df-ds 14383  df-unif 14384  df-0g 14503  df-gsum 14504  df-mre 14647  df-mrc 14648  df-acs 14650  df-mnd 15538  df-mhm 15587  df-submnd 15588  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-mulg 15671  df-subg 15801  df-ghm 15868  df-gim 15910  df-oppg 15984  df-symg 16006  df-pmtr 16071  df-psgn 16120  df-cmn 16404  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-cring 16781  df-rnghom 16939  df-subrg 16996  df-cnfld 17954  df-zring 18019  df-zrh 18070
This theorem is referenced by:  zrhcopsgnelbas  18160  m2detleib  18579
  Copyright terms: Public domain W3C validator