Theorem zrhpsgnelbas 18820

Description: Embedding of permutation signs into a ring results in an element of the ring. (Contributed by AV, 1-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhpsgnelbas.p	|- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
zrhpsgnelbas.s	|- S = (pmSgn ` N )
zrhpsgnelbas.y	|- Y = ( ZRHom ` R )

Assertion

Ref	Expression
zrhpsgnelbas	|- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ Q e. P ) -> ( Y ` ( S ` Q ) ) e. ( Base ` R ) )

Proof of Theorem zrhpsgnelbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrhpsgnelbas.p	. . . 4 |- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
2		zrhpsgnelbas.s	. . . 4 |- S = (pmSgn ` N )
3	1, 2	psgnran 16756	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ Q e. P ) -> ( S ` Q ) e. { 1 , -u 1 } )
4	3	3adant1 1015	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ Q e. P ) -> ( S ` Q ) e. { 1 , -u 1 } )
5		elpri 3991	. . 3 |- ( ( S ` Q ) e. { 1 , -u 1 } -> ( ( S ` Q ) = 1 \/ ( S ` Q ) = -u 1 ) )
6		zrhpsgnelbas.y	. . . . . . . 8 |- Y = ( ZRHom ` R )
7		eqid 2402	. . . . . . . 8 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
8	6, 7	zrh1 18742	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> ( Y ` 1 ) = ( 1r ` R ) )
9		eqid 2402	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
10	9, 7	ringidcl 17431	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
11	8, 10	eqeltrd 2490	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> ( Y ` 1 ) e. ( Base ` R ) )
12	11	3ad2ant1 1018	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ Q e. P ) -> ( Y ` 1 ) e. ( Base ` R ) )
13		fveq2 5805	. . . . . 6 |- ( ( S ` Q ) = 1 -> ( Y ` ( S ` Q ) ) = ( Y ` 1 ) )
14	13	eleq1d 2471	. . . . 5 |- ( ( S ` Q ) = 1 -> ( ( Y ` ( S ` Q ) ) e. ( Base ` R ) <-> ( Y ` 1 ) e. ( Base ` R ) ) )
15	12, 14	syl5ibr 221	. . . 4 |- ( ( S ` Q ) = 1 -> ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ Q e. P ) -> ( Y ` ( S ` Q ) ) e. ( Base ` R ) ) )
16		neg1z 10861	. . . . . . . 8 |- -u 1 e. ZZ
17		eqid 2402	. . . . . . . . 9 |- (.g ` R ) = (.g ` R )
18	6, 17, 7	zrhmulg 18739	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ -u 1 e. ZZ ) -> ( Y ` -u 1 ) = ( -u 1 (.g ` R ) ( 1r ` R ) ) )
19	16, 18	mpan2 669	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> ( Y ` -u 1 ) = ( -u 1 (.g ` R ) ( 1r ` R ) ) )
20		ringgrp 17415	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
21	16	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> -u 1 e. ZZ )
22	9, 17	mulgcl 16375	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Grp /\ -u 1 e. ZZ /\ ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) ) -> ( -u 1 (.g ` R ) ( 1r ` R ) ) e. ( Base ` R ) )
23	20, 21, 10, 22	syl3anc 1230	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> ( -u 1 (.g ` R ) ( 1r ` R ) ) e. ( Base ` R ) )
24	19, 23	eqeltrd 2490	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> ( Y ` -u 1 ) e. ( Base ` R ) )
25	24	3ad2ant1 1018	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ Q e. P ) -> ( Y ` -u 1 ) e. ( Base ` R ) )
26		fveq2 5805	. . . . . 6 |- ( ( S ` Q ) = -u 1 -> ( Y ` ( S ` Q ) ) = ( Y ` -u 1 ) )
27	26	eleq1d 2471	. . . . 5 |- ( ( S ` Q ) = -u 1 -> ( ( Y ` ( S ` Q ) ) e. ( Base ` R ) <-> ( Y ` -u 1 ) e. ( Base ` R ) ) )
28	25, 27	syl5ibr 221	. . . 4 |- ( ( S ` Q ) = -u 1 -> ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ Q e. P ) -> ( Y ` ( S ` Q ) ) e. ( Base ` R ) ) )
29	15, 28	jaoi 377	. . 3 |- ( ( ( S ` Q ) = 1 \/ ( S ` Q ) = -u 1 ) -> ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ Q e. P ) -> ( Y ` ( S ` Q ) ) e. ( Base ` R ) ) )
30	5, 29	syl 17	. 2 |- ( ( S ` Q ) e. { 1 , -u 1 } -> ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ Q e. P ) -> ( Y ` ( S ` Q ) ) e. ( Base ` R ) ) )
31	4, 30	mpcom 34	1 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ Q e. P ) -> ( Y ` ( S ` Q ) ) e. ( Base ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 366   /\ w3a 974   = wceq 1405   e. wcel 1842   {cpr 3973   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   Fincfn 7474   1c1 9443   -ucneg 9762   ZZcz 10825   Basecbs 14733   Grpcgrp 16269  ._gcmg 16272   SymGrpcsymg 16618  pmSgncpsgn 16730   1rcur 17365   Ringcrg 17410   ZRHomczrh 18729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-addf 9521  ax-mulf 9522

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-xor 1367  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-ot 3980  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-tpos 6912  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-2o 7088  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-card 8272  df-cda 8500  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-rp 11184  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-seq 12062  df-exp 12121  df-hash 12360  df-word 12498  df-lsw 12499  df-concat 12500  df-s1 12501  df-substr 12502  df-splice 12503  df-reverse 12504  df-s2 12776  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-starv 14816  df-tset 14820  df-ple 14821  df-ds 14823  df-unif 14824  df-0g 14948  df-gsum 14949  df-mre 15092  df-mrc 15093  df-acs 15095  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-mhm 16182  df-submnd 16183  df-grp 16273  df-minusg 16274  df-mulg 16276  df-subg 16414  df-ghm 16481  df-gim 16523  df-oppg 16597  df-symg 16619  df-pmtr 16683  df-psgn 16732  df-cmn 17016  df-mgp 17354  df-ur 17366  df-ring 17412  df-cring 17413  df-rnghom 17576  df-subrg 17639  df-cnfld 18633  df-zring 18701  df-zrh 18733

This theorem is referenced by:  zrhcopsgnelbas  18821  m2detleib  19317