MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zrhcofipsgn Structured version   Unicode version

Theorem zrhcofipsgn 18118
Description: Composition of a  ZRHom homomorphism and the sign function for a finite permutation. (Contributed by AV, 27-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
zrhcofipsgn.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
zrhcofipsgn.y  |-  Y  =  ( ZRHom `  R
)
zrhcofipsgn.s  |-  S  =  (pmSgn `  N )
Assertion
Ref Expression
zrhcofipsgn  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  Q  e.  P )  ->  ( ( Y  o.  S ) `  Q
)  =  ( Y `
 ( S `  Q ) ) )

Proof of Theorem zrhcofipsgn
Dummy variables  p  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2450 . . 3  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
2 zrhcofipsgn.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
3 eqid 2450 . . 3  |-  { p  e.  P  |  dom  ( p  \  _I  )  e.  Fin }  =  {
p  e.  P  |  dom  ( p  \  _I  )  e.  Fin }
4 zrhcofipsgn.s . . 3  |-  S  =  (pmSgn `  N )
51, 2, 3, 4psgnfn 16095 . 2  |-  S  Fn  { p  e.  P  |  dom  ( p  \  _I  )  e.  Fin }
6 simpr 461 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  Q  e.  P )  ->  Q  e.  P )
71, 2symgbasf1o 15976 . . . . . . 7  |-  ( Q  e.  P  ->  Q : N -1-1-onto-> N )
8 f1ofn 5726 . . . . . . 7  |-  ( Q : N -1-1-onto-> N  ->  Q  Fn  N )
97, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  P  ->  Q  Fn  N )
109adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  Q  e.  P )  ->  Q  Fn  N )
11 fndifnfp 5992 . . . . 5  |-  ( Q  Fn  N  ->  dom  ( Q  \  _I  )  =  { x  e.  N  |  ( Q `  x )  =/=  x } )
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  Q  e.  P )  ->  dom  ( Q  \  _I  )  =  {
x  e.  N  | 
( Q `  x
)  =/=  x }
)
13 rabfi 7624 . . . . 5  |-  ( N  e.  Fin  ->  { x  e.  N  |  ( Q `  x )  =/=  x }  e.  Fin )
1413adantr 465 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  Q  e.  P )  ->  { x  e.  N  |  ( Q `  x )  =/=  x }  e.  Fin )
1512, 14eqeltrd 2536 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  Q  e.  P )  ->  dom  ( Q  \  _I  )  e.  Fin )
16 difeq1 3551 . . . . . 6  |-  ( p  =  Q  ->  (
p  \  _I  )  =  ( Q  \  _I  ) )
1716dmeqd 5126 . . . . 5  |-  ( p  =  Q  ->  dom  ( p  \  _I  )  =  dom  ( Q  \  _I  ) )
1817eleq1d 2518 . . . 4  |-  ( p  =  Q  ->  ( dom  ( p  \  _I  )  e.  Fin  <->  dom  ( Q 
\  _I  )  e. 
Fin ) )
1918elrab 3200 . . 3  |-  ( Q  e.  { p  e.  P  |  dom  (
p  \  _I  )  e.  Fin }  <->  ( Q  e.  P  /\  dom  ( Q  \  _I  )  e. 
Fin ) )
206, 15, 19sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  Q  e.  P )  ->  Q  e.  { p  e.  P  |  dom  ( p  \  _I  )  e.  Fin } )
21 fvco2 5851 . 2  |-  ( ( S  Fn  { p  e.  P  |  dom  ( p  \  _I  )  e.  Fin }  /\  Q  e.  { p  e.  P  |  dom  ( p  \  _I  )  e.  Fin } )  ->  ( ( Y  o.  S ) `  Q )  =  ( Y `  ( S `
 Q ) ) )
225, 20, 21sylancr 663 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  Q  e.  P )  ->  ( ( Y  o.  S ) `  Q
)  =  ( Y `
 ( S `  Q ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1757    =/= wne 2641   {crab 2796    \ cdif 3409    _I cid 4715   dom cdm 4924    o. ccom 4928    Fn wfn 5497   -1-1-onto->wf1o 5501   ` cfv 5502   Fincfn 7396   Basecbs 14262   SymGrpcsymg 15970  pmSgncpsgn 16083   ZRHomczrh 18026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-oadd 7010  df-er 7187  df-map 7302  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-4 10469  df-5 10470  df-6 10471  df-7 10472  df-8 10473  df-9 10474  df-n0 10667  df-z 10734  df-uz 10949  df-fz 11525  df-fzo 11636  df-word 12317  df-struct 14264  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-plusg 14339  df-tset 14345  df-symg 15971  df-psgn 16085
This theorem is referenced by:  zrhcopsgnelbas  18120  zrhcopsgndif  18128  mdetfval1  18498
  Copyright terms: Public domain W3C validator