Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zrhchr Structured version   Unicode version

Theorem zrhchr 28616
Description: The kernel of the homomorphism from the integers to a ring is injective if and only if the ring has characteristic 0 . (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zrhker.0  |-  B  =  ( Base `  R
)
zrhker.1  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
zrhker.2  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
zrhchr  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (chr
`  R )  =  0  <->  L : ZZ -1-1-> B
) )

Proof of Theorem zrhchr
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zrhker.1 . . . 4  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
2 eqid 2420 . . . 4  |-  (.g `  R
)  =  (.g `  R
)
3 eqid 2420 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
41, 2, 3zrhval2 19004 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  L  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  R
) ( 1r `  R ) ) ) )
5 f1eq1 5782 . . 3  |-  ( L  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  R ) ( 1r
`  R ) ) )  ->  ( L : ZZ -1-1-> B  <->  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  R ) ( 1r
`  R ) ) ) : ZZ -1-1-> B
) )
64, 5syl 17 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( L : ZZ -1-1-> B  <->  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  R ) ( 1r
`  R ) ) ) : ZZ -1-1-> B
) )
7 ringgrp 17713 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
8 zrhker.0 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
98, 3ringidcl 17729 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
10 eqid 2420 . . . 4  |-  ( od
`  R )  =  ( od `  R
)
11 eqid 2420 . . . 4  |-  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  R ) ( 1r `  R ) ) )  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  R ) ( 1r `  R ) ) )
128, 10, 2, 11odf1 17144 . . 3  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( 1r `  R )  e.  B )  -> 
( ( ( od
`  R ) `  ( 1r `  R ) )  =  0  <->  (
x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  R ) ( 1r `  R ) ) ) : ZZ -1-1-> B ) )
137, 9, 12syl2anc 665 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( ( od `  R
) `  ( 1r `  R ) )  =  0  <->  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  R ) ( 1r
`  R ) ) ) : ZZ -1-1-> B
) )
14 eqid 2420 . . . . 5  |-  (chr `  R )  =  (chr
`  R )
1510, 3, 14chrval 19020 . . . 4  |-  ( ( od `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  =  (chr `  R )
1615eqeq1i 2427 . . 3  |-  ( ( ( od `  R
) `  ( 1r `  R ) )  =  0  <->  (chr `  R )  =  0 )
1716a1i 11 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( ( od `  R
) `  ( 1r `  R ) )  =  0  <->  (chr `  R )  =  0 ) )
186, 13, 173bitr2rd 285 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (chr
`  R )  =  0  <->  L : ZZ -1-1-> B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    = wceq 1437    e. wcel 1867    |-> cmpt 4475   -1-1->wf1 5589   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   0cc0 9528   ZZcz 10926   Basecbs 15073   0gc0g 15290   Grpcgrp 16613  .gcmg 16616   odcod 17109   1rcur 17663   Ringcrg 17708   ZRHomczrh 18995  chrcchr 18997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606  ax-addf 9607  ax-mulf 9608
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-sup 7953  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-rp 11292  df-fz 11772  df-fl 12014  df-mod 12083  df-seq 12200  df-exp 12259  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-dvds 14273  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-sets 15079  df-ress 15080  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-starv 15157  df-tset 15161  df-ple 15162  df-ds 15164  df-unif 15165  df-0g 15292  df-mgm 16432  df-sgrp 16471  df-mnd 16481  df-mhm 16526  df-grp 16617  df-minusg 16618  df-sbg 16619  df-mulg 16620  df-subg 16758  df-ghm 16825  df-od 17113  df-cmn 17360  df-mgp 17652  df-ur 17664  df-ring 17710  df-cring 17711  df-rnghom 17871  df-subrg 17934  df-cnfld 18899  df-zring 18967  df-zrh 18999  df-chr 19001
This theorem is referenced by:  zrhker  28617  qqhre  28660
  Copyright terms: Public domain W3C validator