MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zrevaddcl Structured version   Unicode version

Theorem zrevaddcl 10826
Description: Reverse closure law for addition of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
zrevaddcl  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( M  e.  CC  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ )  <-> 
M  e.  ZZ ) )

Proof of Theorem zrevaddcl
StepHypRef Expression
1 zcn 10786 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
2 pncan 9739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( M  +  N )  -  N
)  =  M )
31, 2sylan2 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  +  N )  -  N
)  =  M )
43ancoms 451 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  CC )  ->  ( ( M  +  N )  -  N
)  =  M )
54adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  CC )  /\  ( M  +  N )  e.  ZZ )  ->  ( ( M  +  N )  -  N )  =  M )
6 zsubcl 10823 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  +  N )  -  N
)  e.  ZZ )
76ancoms 451 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( M  +  N )  -  N )  e.  ZZ )
87adantlr 712 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  CC )  /\  ( M  +  N )  e.  ZZ )  ->  ( ( M  +  N )  -  N )  e.  ZZ )
95, 8eqeltrrd 2471 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  CC )  /\  ( M  +  N )  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
109ex 432 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  CC )  ->  ( ( M  +  N )  e.  ZZ  ->  M  e.  ZZ ) )
11 zaddcl 10821 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N
)  e.  ZZ )
1211expcom 433 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ ) )
1312adantr 463 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  CC )  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  +  N
)  e.  ZZ ) )
1410, 13impbid 191 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  CC )  ->  ( ( M  +  N )  e.  ZZ  <->  M  e.  ZZ ) )
1514pm5.32da 639 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( M  e.  CC  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ )  <-> 
( M  e.  CC  /\  M  e.  ZZ ) ) )
16 zcn 10786 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
1716pm4.71ri 631 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  <->  ( M  e.  CC  /\  M  e.  ZZ ) )
1815, 17syl6bbr 263 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( M  e.  CC  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ )  <-> 
M  e.  ZZ ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826  (class class class)co 6196   CCcc 9401    + caddc 9406    - cmin 9718   ZZcz 10781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-n0 10713  df-z 10782
This theorem is referenced by:  eqreznegel  11086
  Copyright terms: Public domain W3C validator