MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zrdivrng Structured version   Unicode version

Theorem zrdivrng 24098
Description: The zero ring is not a division ring. (Contributed by FL, 24-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
zrdivrng.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
zrdivrng  |-  -.  <. {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >.  e.  DivRingOps

Proof of Theorem zrdivrng
StepHypRef Expression
1 0ngrp 23877 . 2  |-  -.  (/)  e.  GrpOp
2 opex 4667 . . . . . . . . . 10  |-  <. A ,  A >.  e.  _V
32rnsnop 5431 . . . . . . . . 9  |-  ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  =  { A }
4 zrdivrng.1 . . . . . . . . . . 11  |-  A  e. 
_V
54gidsn 24014 . . . . . . . . . 10  |-  (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } )  =  A
65sneqi 3999 . . . . . . . . 9  |-  { (GId
`  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) }  =  { A }
73, 6difeq12i 3583 . . . . . . . 8  |-  ( ran 
{ <. <. A ,  A >. ,  A >. }  \  { (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } )  =  ( { A }  \  { A } )
8 difid 3858 . . . . . . . 8  |-  ( { A }  \  { A } )  =  (/)
97, 8eqtri 2483 . . . . . . 7  |-  ( ran 
{ <. <. A ,  A >. ,  A >. }  \  { (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } )  =  (/)
109xpeq2i 4972 . . . . . 6  |-  ( ( ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } 
\  { (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } )  X.  ( ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  \  { (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } ) )  =  ( ( ran 
{ <. <. A ,  A >. ,  A >. }  \  { (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } )  X.  (/) )
11 xp0 5367 . . . . . 6  |-  ( ( ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } 
\  { (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } )  X.  (/) )  =  (/)
1210, 11eqtri 2483 . . . . 5  |-  ( ( ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } 
\  { (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } )  X.  ( ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  \  { (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } ) )  =  (/)
1312reseq2i 5218 . . . 4  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. }  |`  (
( ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } 
\  { (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } )  X.  ( ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  \  { (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } ) ) )  =  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. }  |`  (/) )
14 res0 5226 . . . 4  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. }  |`  (/) )  =  (/)
1513, 14eqtri 2483 . . 3  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. }  |`  (
( ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } 
\  { (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } )  X.  ( ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  \  { (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } ) ) )  =  (/)
16 snex 4644 . . . . 5  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  _V
17 isdivrngo 24097 . . . . 5  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  _V  ->  ( <. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >.  e.  DivRingOps  <->  (
<. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >.  e.  RingOps 
/\  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  |`  (
( ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } 
\  { (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } )  X.  ( ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  \  { (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } ) ) )  e.  GrpOp ) ) )
1816, 17ax-mp 5 . . . 4  |-  ( <. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >.  e.  DivRingOps  <->  (
<. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >.  e.  RingOps 
/\  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  |`  (
( ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } 
\  { (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } )  X.  ( ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  \  { (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } ) ) )  e.  GrpOp ) )
1918simprbi 464 . . 3  |-  ( <. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >.  e.  DivRingOps  ->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  |`  ( ( ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  \  { (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } )  X.  ( ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  \  {
(GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } ) ) )  e.  GrpOp )
2015, 19syl5eqelr 2547 . 2  |-  ( <. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >.  e.  DivRingOps  -> 
(/)  e.  GrpOp )
211, 20mto 176 1  |-  -.  <. {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >.  e.  DivRingOps
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    \ cdif 3436   (/)c0 3748   {csn 3988   <.cop 3994    X. cxp 4949   ran crn 4952    |` cres 4953   ` cfv 5529   GrpOpcgr 23852  GIdcgi 23853   RingOpscrngo 24041   DivRingOpscdrng 24071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-grpo 23857  df-gid 23858  df-rngo 24042  df-drngo 24072
This theorem is referenced by:  dvrunz  24099
  Copyright terms: Public domain W3C validator