MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zrdivrng Structured version   Unicode version

Theorem zrdivrng 25257
Description: The zero ring is not a division ring. (Contributed by FL, 24-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
zrdivrng.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
zrdivrng  |-  -.  <. {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >.  e.  DivRingOps

Proof of Theorem zrdivrng
StepHypRef Expression
1 0ngrp 25036 . 2  |-  -.  (/)  e.  GrpOp
2 opex 4717 . . . . . . . . . 10  |-  <. A ,  A >.  e.  _V
32rnsnop 5495 . . . . . . . . 9  |-  ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  =  { A }
4 zrdivrng.1 . . . . . . . . . . 11  |-  A  e. 
_V
54gidsn 25173 . . . . . . . . . 10  |-  (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } )  =  A
65sneqi 4044 . . . . . . . . 9  |-  { (GId
`  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) }  =  { A }
73, 6difeq12i 3625 . . . . . . . 8  |-  ( ran 
{ <. <. A ,  A >. ,  A >. }  \  { (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } )  =  ( { A }  \  { A } )
8 difid 3901 . . . . . . . 8  |-  ( { A }  \  { A } )  =  (/)
97, 8eqtri 2496 . . . . . . 7  |-  ( ran 
{ <. <. A ,  A >. ,  A >. }  \  { (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } )  =  (/)
109xpeq2i 5026 . . . . . 6  |-  ( ( ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } 
\  { (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } )  X.  ( ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  \  { (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } ) )  =  ( ( ran 
{ <. <. A ,  A >. ,  A >. }  \  { (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } )  X.  (/) )
11 xp0 5431 . . . . . 6  |-  ( ( ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } 
\  { (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } )  X.  (/) )  =  (/)
1210, 11eqtri 2496 . . . . 5  |-  ( ( ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } 
\  { (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } )  X.  ( ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  \  { (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } ) )  =  (/)
1312reseq2i 5276 . . . 4  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. }  |`  (
( ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } 
\  { (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } )  X.  ( ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  \  { (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } ) ) )  =  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. }  |`  (/) )
14 res0 5284 . . . 4  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. }  |`  (/) )  =  (/)
1513, 14eqtri 2496 . . 3  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. }  |`  (
( ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } 
\  { (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } )  X.  ( ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  \  { (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } ) ) )  =  (/)
16 snex 4694 . . . . 5  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  _V
17 isdivrngo 25256 . . . . 5  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  _V  ->  ( <. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >.  e.  DivRingOps  <->  (
<. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >.  e.  RingOps 
/\  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  |`  (
( ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } 
\  { (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } )  X.  ( ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  \  { (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } ) ) )  e.  GrpOp ) ) )
1816, 17ax-mp 5 . . . 4  |-  ( <. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >.  e.  DivRingOps  <->  (
<. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >.  e.  RingOps 
/\  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  |`  (
( ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } 
\  { (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } )  X.  ( ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  \  { (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } ) ) )  e.  GrpOp ) )
1918simprbi 464 . . 3  |-  ( <. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >.  e.  DivRingOps  ->  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  |`  ( ( ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  \  { (GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } )  X.  ( ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  \  {
(GId `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) } ) ) )  e.  GrpOp )
2015, 19syl5eqelr 2560 . 2  |-  ( <. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >.  e.  DivRingOps  -> 
(/)  e.  GrpOp )
211, 20mto 176 1  |-  -.  <. {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >.  e.  DivRingOps
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1767   _Vcvv 3118    \ cdif 3478   (/)c0 3790   {csn 4033   <.cop 4039    X. cxp 5003   ran crn 5006    |` cres 5007   ` cfv 5594   GrpOpcgr 25011  GIdcgi 25012   RingOpscrngo 25200   DivRingOpscdrng 25230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-grpo 25016  df-gid 25017  df-rngo 25201  df-drngo 25231
This theorem is referenced by:  dvrunz  25258
  Copyright terms: Public domain W3C validator