MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zq Structured version   Unicode version

Theorem zq 11188
Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
zq  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  QQ )

Proof of Theorem zq
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zcn 10869 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
21div1d 10312 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  /  1 )  =  x )
32eqeq2d 2481 . . . . 5  |-  ( x  e.  ZZ  ->  ( A  =  ( x  /  1 )  <->  A  =  x ) )
4 eqcom 2476 . . . . 5  |-  ( x  =  A  <->  A  =  x )
53, 4syl6rbbr 264 . . . 4  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  =  A  <->  A  =  ( x  /  1
) ) )
6 1nn 10547 . . . . 5  |-  1  e.  NN
7 oveq2 6292 . . . . . . 7  |-  ( y  =  1  ->  (
x  /  y )  =  ( x  / 
1 ) )
87eqeq2d 2481 . . . . . 6  |-  ( y  =  1  ->  ( A  =  ( x  /  y )  <->  A  =  ( x  /  1
) ) )
98rspcev 3214 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  A  =  ( x  /  1 ) )  ->  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
106, 9mpan 670 . . . 4  |-  ( A  =  ( x  / 
1 )  ->  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
115, 10syl6bi 228 . . 3  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  =  A  ->  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) ) )
1211reximia 2930 . 2  |-  ( E. x  e.  ZZ  x  =  A  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
13 risset 2987 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  <->  E. x  e.  ZZ  x  =  A )
14 elq 11184 . 2  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
1512, 13, 143imtr4i 266 1  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  QQ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815  (class class class)co 6284   1c1 9493    / cdiv 10206   NNcn 10536   ZZcz 10864   QQcq 11182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-z 10865  df-q 11183
This theorem is referenced by:  zssq  11189  qbtwnxr  11399  modirr  12025  qexpcl  12150  qexpclz  12155  zsqrtelqelz  14150  pczpre  14230  pc0  14237  pcrec  14241  pcdvdstr  14258  pcgcd1  14259  pcgcd  14260  pc2dvds  14261  pc11  14262  sylow1lem1  16424  vitalilem1  21780  elqaalem1  22477  elqaalem3  22479  qaa  22481  lgsneg  23350  lgsdilem2  23362  lgsne0  23364  qabvle  23566  ostthlem1  23568  ostthlem2  23569  padicabv  23571  ostth2lem2  23575  ostth2  23578  ostth3  23579  qqhucn  27637  mblfinlem1  29656  rmxypairf1o  30479  rmxycomplete  30485  rmxyadd  30489  rmxy1  30490  mpaaeu  30732
  Copyright terms: Public domain W3C validator