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Theorem zprod 13746
Description: Series product with index set a subset of the upper integers. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zprod.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
zprod.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
zprod.3  |-  ( ph  ->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y ) )
zprod.4  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
zprod.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) )
zprod.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
zprod  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  =  (  ~~>  `  seq M (  x.  ,  F ) ) )
Distinct variable groups:    A, k, n, y    B, n, y   
k, F    k, n, ph, y    k, M, y    ph, n, y    n, Z
Allowed substitution hints:    B( k)    F( y, n)    M( n)    Z( y, k)

Proof of Theorem zprod
Dummy variables  f 
g  i  j  m  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpb 992 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
2 nfcv 2544 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i if ( k  e.  A ,  B ,  1 )
3 nfv 1715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k  i  e.  A
4 nfcsb1v 3364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k [_ i  /  k ]_ B
5 nfcv 2544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
1
63, 4, 5nfif 3886 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k if ( i  e.  A ,  [_ i  /  k ]_ B ,  1 )
7 eleq1 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  (
k  e.  A  <->  i  e.  A ) )
8 csbeq1a 3357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  B  =  [_ i  /  k ]_ B )
97, 8ifbieq1d 3880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  i  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  if ( i  e.  A ,  [_ i  /  k ]_ B ,  1 ) )
102, 6, 9cbvmpt 4457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  ( i  e.  ZZ  |->  if ( i  e.  A ,  [_ i  /  k ]_ B ,  1 ) )
11 simpll 751 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ph )
12 zprod.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1312ralrimiva 2796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
144nfel1 2560 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k
[_ i  /  k ]_ B  e.  CC
158eleq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  i  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ i  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
1614, 15rspc 3129 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC )
)
1713, 16syl5 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  A  ->  ( ph  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC ) )
1811, 17mpan9 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m ) )  /\  i  e.  A )  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC )
19 simplr 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  m  e.  ZZ )
20 zprod.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2120ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  M  e.  ZZ )
22 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  m ) )
23 zprod.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
24 zprod.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2523, 24syl6sseq 3463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
2625ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
2710, 18, 19, 21, 22, 26prodrb 13741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  (  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
2827biimpd 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  (  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  ->  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
2928expimpd 601 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
301, 29syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
3130rexlimdva 2874 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
32 uzssz 11020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
33 zssre 10788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ZZ  C_  RR
3432, 33sstri 3426 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  RR
3524, 34eqsstri 3447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Z  C_  RR
3623, 35syl6ss 3429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
3736ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  A  C_  RR )
38 ltso 9576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <  Or  RR
39 soss 4732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  RR  ->  (  < 
Or  RR  ->  <  Or  A ) )
4037, 38, 39mpisyl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  <  Or  A )
41 fzfi 11985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... m )  e. 
Fin
42 ovex 6224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... m )  e. 
_V
4342f1oen 7455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  ->  ( 1 ... m )  ~~  A )
4443adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
1 ... m )  ~~  A )
4544ensymd 7485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  A  ~~  ( 1 ... m
) )
46 enfii 7653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1 ... m
)  e.  Fin  /\  A  ~~  ( 1 ... m ) )  ->  A  e.  Fin )
4741, 45, 46sylancr 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  A  e.  Fin )
48 fz1iso 12415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  <  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  E. g  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) )
4940, 47, 48syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  E. g 
g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) )
50 simpll 751 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  ph )
5150, 17mpan9 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) ) )  /\  i  e.  A )  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC )
52 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  j  ->  (
f `  n )  =  ( f `  j ) )
5352csbeq1d 3355 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  j  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  j )  /  k ]_ B )
54 csbco 3358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  [_ (
f `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  j )  /  k ]_ B
5553, 54syl6eqr 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  j  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B )
5655cbvmptv 4458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B
)  =  ( j  e.  NN  |->  [_ (
f `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B
)
57 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  |->  [_ (
g `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B
)  =  ( j  e.  NN  |->  [_ (
g `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B
)
58 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  m  e.  NN )
5920ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
6025ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
61 simprl 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  f :
( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A )
62 simprr 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) )
6310, 51, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62prodmolem2a 13743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )
6463expr 613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A )  ->  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )
6564exlimdv 1732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  ( E. g  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
)  ->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )
6649, 65mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )
67 breq2 4371 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m )  ->  (  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )
6866, 67syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m )  ->  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
6968expimpd 601 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  ->  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
7069exlimdv 1732 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  ->  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
7170rexlimdva 2874 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  ->  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
7231, 71jaod 378 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  ->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
7320adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  M  e.  ZZ )
7423adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  A  C_  Z
)
75 zprod.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y ) )
7624eleq2i 2460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  Z  <->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
77 eluzelz 11010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  n  e.  ZZ )
7877adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  n  e.  ZZ )
79 uztrn 11017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  ( ZZ>= `  n )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)
8079ancoms 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)
8124eleq2i 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  Z  <->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
82 zprod.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) )
8324, 32eqsstri 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  Z  C_  ZZ
8483sseli 3413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
85 iftrue 3863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  B )
8685adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  B )
8786, 12eqeltrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  e.  CC )
8887ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 )  e.  CC ) )
89 iffalse 3866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  1 )
90 ax-1cn 9461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  CC
9189, 90syl6eqel 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  e.  CC )
9288, 91pm2.61d1 159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 )  e.  CC )
93 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )
9493fvmpt2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  e.  CC )  -> 
( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `
 k )  =  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) )
9584, 92, 94syl2anr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )
9682, 95eqtr4d 2426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k ) )
9781, 96sylan2br 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k ) )
9897ralrimiva 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( F `  k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k ) )
99 nffvmpt1 5782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ k
( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `
 z )
10099nfeq2 2561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ k ( F `  z
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z )
101 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  z  ->  ( F `  k )  =  ( F `  z ) )
102 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  z  ->  (
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z ) )
103101, 102eqeq12d 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  z  ->  (
( F `  k
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k )  <-> 
( F `  z
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z ) ) )
104100, 103rspc 3129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `
 k )  -> 
( F `  z
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z ) ) )
10598, 104mpan9 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  z )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z ) )
10680, 105sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  z  e.  ( ZZ>=
`  n ) ) )  ->  ( F `  z )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z ) )
107106anassrs 646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  z )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z ) )
10878, 107seqfeq 12035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  seq n
(  x.  ,  F
)  =  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) ) )
109108breq1d 4377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  (  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y  <->  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
110109anbi2d 701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
y  =/=  0  /\ 
seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  <-> 
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
111110exbidv 1722 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  <->  E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
11276, 111sylan2b 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  <->  E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
113112rexbidva 2890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\ 
seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  <->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
11475, 113mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
115114adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
116 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )
117 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  M  ->  ( ZZ>=
`  m )  =  ( ZZ>= `  M )
)
118117, 24syl6eqr 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  ( ZZ>=
`  m )  =  Z )
119118sseq2d 3445 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  <->  A  C_  Z ) )
120118rexeqdv 2986 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
121 seqeq1 12013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) ) )
122121breq1d 4377 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  (  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
123119, 120, 1223anbi123d 1297 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  M  ->  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( A  C_  Z  /\  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) ) )
124123rspcev 3135 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( A  C_  Z  /\  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )  ->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
12573, 74, 115, 116, 124syl13anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
126125orcd 390 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
127126ex 432 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  -> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) ) )
12872, 127impbid 191 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  <->  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
12995, 82eqtr4d 2426 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k )  =  ( F `  k ) )
13081, 129sylan2br 474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k )  =  ( F `  k ) )
131130ralrimiva 2796 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k )  =  ( F `  k ) )
13299nfeq1 2559 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `
 z )  =  ( F `  z
)
133102, 101eqeq12d 2404 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  z  ->  (
( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `
 k )  =  ( F `  k
)  <->  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z )  =  ( F `  z ) ) )
134132, 133rspc 3129 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k )  =  ( F `  k )  ->  (
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z )  =  ( F `  z ) ) )
135131, 134mpan9 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z )  =  ( F `  z ) )
13620, 135seqfeq 12035 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  seq M
(  x.  ,  F
) )
137136breq1d 4377 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )
138128, 137bitrd 253 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  <->  seq M (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )
139138iotabidv 5481 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )  =  ( iota
x  seq M (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )
140 df-prod 13715 . 2  |-  prod_ k  e.  A  B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
141 df-fv 5504 . 2  |-  (  ~~>  `  seq M (  x.  ,  F ) )  =  ( iota x  seq M (  x.  ,  F )  ~~>  x )
142139, 140, 1413eqtr4g 2448 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  =  (  ~~>  `  seq M (  x.  ,  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399   E.wex 1620    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   [_csb 3348    C_ wss 3389   ifcif 3857   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425    Or wor 4713   iotacio 5458   -1-1-onto->wf1o 5495   ` cfv 5496    Isom wiso 5497  (class class class)co 6196    ~~ cen 7432   Fincfn 7435   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    x. cmul 9408    < clt 9539   NNcn 10452   ZZcz 10781   ZZ>=cuz 11001   ...cfz 11593    seqcseq 12010   #chash 12307    ~~> cli 13309   prod_cprod 13714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-oi 7850  df-card 8233  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-rp 11140  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313  df-prod 13715
This theorem is referenced by:  iprod  13747  zprodn0  13748  prodss  13756
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