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Theorem zprod 25216
Description: Series product with index set a subset of the upper integers. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zprod.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
zprod.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
zprod.3  |-  ( ph  ->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y ) )
zprod.4  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
zprod.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) )
zprod.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
zprod  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A B  =  (  ~~>  `  seq  M (  x.  ,  F
) ) )
Distinct variable groups:    A, k, n, y    B, n, y   
k, F    k, n, ph, y    k, M, y    ph, n, y    n, Z
Allowed substitution hints:    B( k)    F( y, n)    M( n)    Z( y, k)

Proof of Theorem zprod
Dummy variables  f 
g  i  j  m  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpb 955 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq  n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
2 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i if ( k  e.  A ,  B ,  1 )
3 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k  i  e.  A
4 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k [_ i  /  k ]_ B
5 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
1
63, 4, 5nfif 3723 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k if ( i  e.  A ,  [_ i  /  k ]_ B ,  1 )
7 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  (
k  e.  A  <->  i  e.  A ) )
8 csbeq1a 3219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  B  =  [_ i  /  k ]_ B )
9 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  1  =  1 )
107, 8, 9ifbieq12d 3721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  i  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  if ( i  e.  A ,  [_ i  /  k ]_ B ,  1 ) )
112, 6, 10cbvmpt 4259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  ( i  e.  ZZ  |->  if ( i  e.  A ,  [_ i  /  k ]_ B ,  1 ) )
12 simpll 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ph )
13 zprod.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1413ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
154nfel1 2550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k
[_ i  /  k ]_ B  e.  CC
168eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  i  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ i  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
1715, 16rspc 3006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC )
)
1814, 17syl5 30 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  A  ->  ( ph  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC ) )
1912, 18mpan9 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m ) )  /\  i  e.  A )  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC )
20 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  m  e.  ZZ )
21 zprod.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2221ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  M  e.  ZZ )
23 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  m ) )
24 zprod.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
25 zprod.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2624, 25syl6sseq 3354 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
2726ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
2811, 19, 20, 22, 23, 27prodrb 25211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  (  seq  m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  <->  seq  M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
2928biimpd 199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  (  seq  m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  ->  seq  M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
3029expimpd 587 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq  M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
311, 30syl5 30 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq  n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq  M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
3231rexlimdva 2790 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq  M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
33 uzssz 10461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
34 zssre 10245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ZZ  C_  RR
3533, 34sstri 3317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  RR
3625, 35eqsstri 3338 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Z  C_  RR
3724, 36syl6ss 3320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
3837ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  A  C_  RR )
39 ltso 9112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <  Or  RR
40 soss 4481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  RR  ->  (  < 
Or  RR  ->  <  Or  A ) )
4138, 39, 40ee10 1382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  <  Or  A )
42 fzfi 11266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... m )  e. 
Fin
43 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... m )  e. 
_V
4443f1oen 7087 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  ->  ( 1 ... m )  ~~  A )
4544adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
1 ... m )  ~~  A )
4645ensymd 7117 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  A  ~~  ( 1 ... m
) )
47 enfii 7285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1 ... m
)  e.  Fin  /\  A  ~~  ( 1 ... m ) )  ->  A  e.  Fin )
4842, 46, 47sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  A  e.  Fin )
49 fz1iso 11666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  <  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  E. g  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) )
5041, 48, 49syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  E. g 
g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) )
51 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  ph )
5251, 18mpan9 456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) ) )  /\  i  e.  A )  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC )
53 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  j  ->  (
f `  n )  =  ( f `  j ) )
5453csbeq1d 3217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  j  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  j )  /  k ]_ B )
55 csbco 3220 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  [_ (
f `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  j )  /  k ]_ B
5654, 55syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  j  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B )
5756cbvmptv 4260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B
)  =  ( j  e.  NN  |->  [_ (
f `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B
)
58 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  |->  [_ (
g `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B
)  =  ( j  e.  NN  |->  [_ (
g `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B
)
59 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  m  e.  NN )
6021ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
6126ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
62 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  f :
( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A )
63 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) )
6411, 52, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63prodmolem2a 25213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  seq  M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )
6564expr 599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A )  ->  seq  M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )
6665exlimdv 1643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  ( E. g  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
)  ->  seq  M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )
6750, 66mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  seq  M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )
68 breq2 4176 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m )  ->  (  seq  M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  <->  seq  M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )
6967, 68syl5ibrcom 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m )  ->  seq  M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
7069expimpd 587 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  ->  seq  M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
7170exlimdv 1643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  ->  seq  M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
7271rexlimdva 2790 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  ->  seq  M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
7332, 72jaod 370 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  ->  seq  M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
7421adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq  M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  M  e.  ZZ )
7524adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq  M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  A  C_  Z
)
76 zprod.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y ) )
7725eleq2i 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  Z  <->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
78 eluzelz 10452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  n  e.  ZZ )
7978adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  n  e.  ZZ )
80 uztrn 10458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  ( ZZ>= `  n )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)
8180ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)
8225eleq2i 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  Z  <->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
83 zprod.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) )
8425, 33eqsstri 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  Z  C_  ZZ
8584sseli 3304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
86 iftrue 3705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  B )
8786adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  B )
8887, 13eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  e.  CC )
8988ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 )  e.  CC ) )
90 iffalse 3706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  1 )
91 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  CC
9290, 91syl6eqel 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  e.  CC )
9389, 92pm2.61d1 153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 )  e.  CC )
94 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )
9594fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  e.  CC )  -> 
( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `
 k )  =  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) )
9685, 93, 95syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )
9783, 96eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k ) )
9882, 97sylan2br 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k ) )
9998ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( F `  k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k ) )
100 nffvmpt1 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ k
( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `
 z )
101100nfeq2 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ k ( F `  z
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z )
102 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  z  ->  ( F `  k )  =  ( F `  z ) )
103 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  z  ->  (
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z ) )
104102, 103eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  z  ->  (
( F `  k
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k )  <-> 
( F `  z
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z ) ) )
105101, 104rspc 3006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `
 k )  -> 
( F `  z
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z ) ) )
10699, 105mpan9 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  z )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z ) )
10781, 106sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  z  e.  ( ZZ>=
`  n ) ) )  ->  ( F `  z )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z ) )
108107anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  z )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z ) )
10979, 108seqfeq 11303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  seq  n (  x.  ,  F )  =  seq  n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) ) )
110109breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  (  seq  n (  x.  ,  F )  ~~>  y  <->  seq  n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
111110anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
y  =/=  0  /\ 
seq  n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  <-> 
( y  =/=  0  /\  seq  n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
112111exbidv 1633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  <->  E. y
( y  =/=  0  /\  seq  n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
11377, 112sylan2b 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  <->  E. y
( y  =/=  0  /\  seq  n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
114113rexbidva 2683 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\ 
seq  n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  <->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
11576, 114mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
116115adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq  M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
117 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq  M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq  M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )
118 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  M  ->  ( ZZ>=
`  m )  =  ( ZZ>= `  M )
)
119118, 25syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  ( ZZ>=
`  m )  =  Z )
120119sseq2d 3336 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  <->  A  C_  Z ) )
121119rexeqdv 2871 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
122 seqeq1 11281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  seq  m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  seq  M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) ) )
123122breq1d 4182 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  (  seq  m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  <->  seq  M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
124120, 121, 1233anbi123d 1254 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  M  ->  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq  n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( A  C_  Z  /\  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) ) )
125124rspcev 3012 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( A  C_  Z  /\  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )  ->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
12674, 75, 116, 117, 125syl13anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  seq  M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq  n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
127126orcd 382 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  seq  M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
128127ex 424 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  -> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) ) )
12973, 128impbid 184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  <->  seq  M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
13096, 83eqtr4d 2439 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k )  =  ( F `  k ) )
13182, 130sylan2br 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k )  =  ( F `  k ) )
132131ralrimiva 2749 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k )  =  ( F `  k ) )
133100nfeq1 2549 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `
 z )  =  ( F `  z
)
134103, 102eqeq12d 2418 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  z  ->  (
( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `
 k )  =  ( F `  k
)  <->  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z )  =  ( F `  z ) ) )
135133, 134rspc 3006 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k )  =  ( F `  k )  ->  (
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z )  =  ( F `  z ) ) )
136132, 135mpan9 456 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z )  =  ( F `  z ) )
13721, 136seqfeq 11303 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  seq  M
(  x.  ,  F
) )
138137breq1d 4182 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  <->  seq  M (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )
139129, 138bitrd 245 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  <->  seq  M (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )
140139iotabidv 5398 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq  n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )  =  ( iota
x  seq  M (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )
141 df-prod 25185 . 2  |-  prod_ k  e.  A B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq  m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
142 df-fv 5421 . 2  |-  (  ~~>  `  seq  M (  x.  ,  F
) )  =  ( iota x  seq  M
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )
143140, 141, 1423eqtr4g 2461 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A B  =  (  ~~>  `  seq  M (  x.  ,  F
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   [_csb 3211    C_ wss 3280   ifcif 3699   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    Or wor 4462   iotacio 5375   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413    Isom wiso 5414  (class class class)co 6040    ~~ cen 7065   Fincfn 7068   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    x. cmul 8951    < clt 9076   NNcn 9956   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999    seq cseq 11278   #chash 11573    ~~> cli 12233   prod_cprod 25184
This theorem is referenced by:  iprod  25217  zprodn0  25218  prodss  25226
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-prod 25185
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