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Theorem zprod 27297
Description: Series product with index set a subset of the upper integers. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zprod.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
zprod.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
zprod.3  |-  ( ph  ->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y ) )
zprod.4  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
zprod.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) )
zprod.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
zprod  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  =  (  ~~>  `  seq M (  x.  ,  F ) ) )
Distinct variable groups:    A, k, n, y    B, n, y   
k, F    k, n, ph, y    k, M, y    ph, n, y    n, Z
Allowed substitution hints:    B( k)    F( y, n)    M( n)    Z( y, k)

Proof of Theorem zprod
Dummy variables  f 
g  i  j  m  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpb 979 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
2 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i if ( k  e.  A ,  B ,  1 )
3 nfv 1672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k  i  e.  A
4 nfcsb1v 3292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k [_ i  /  k ]_ B
5 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
1
63, 4, 5nfif 3806 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k if ( i  e.  A ,  [_ i  /  k ]_ B ,  1 )
7 eleq1 2493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  (
k  e.  A  <->  i  e.  A ) )
8 csbeq1a 3285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  B  =  [_ i  /  k ]_ B )
9 eqidd 2434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  1  =  1 )
107, 8, 9ifbieq12d 3804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  i  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  if ( i  e.  A ,  [_ i  /  k ]_ B ,  1 ) )
112, 6, 10cbvmpt 4370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  ( i  e.  ZZ  |->  if ( i  e.  A ,  [_ i  /  k ]_ B ,  1 ) )
12 simpll 746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ph )
13 zprod.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1413ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
154nfel1 2579 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k
[_ i  /  k ]_ B  e.  CC
168eleq1d 2499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  i  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ i  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
1715, 16rspc 3056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC )
)
1814, 17syl5 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  A  ->  ( ph  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC ) )
1912, 18mpan9 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m ) )  /\  i  e.  A )  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC )
20 simplr 747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  m  e.  ZZ )
21 zprod.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2221ad2antrr 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  M  e.  ZZ )
23 simpr 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  m ) )
24 zprod.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
25 zprod.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2624, 25syl6sseq 3390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
2726ad2antrr 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
2811, 19, 20, 22, 23, 27prodrb 27292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  (  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
2928biimpd 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  (  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  ->  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
3029expimpd 598 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
311, 30syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
3231rexlimdva 2831 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
33 uzssz 10868 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
34 zssre 10641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ZZ  C_  RR
3533, 34sstri 3353 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  RR
3625, 35eqsstri 3374 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Z  C_  RR
3724, 36syl6ss 3356 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
3837ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  A  C_  RR )
39 ltso 9443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <  Or  RR
40 soss 4646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  RR  ->  (  < 
Or  RR  ->  <  Or  A ) )
4138, 39, 40mpisyl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  <  Or  A )
42 fzfi 11778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... m )  e. 
Fin
43 ovex 6105 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... m )  e. 
_V
4443f1oen 7318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  ->  ( 1 ... m )  ~~  A )
4544adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
1 ... m )  ~~  A )
4645ensymd 7348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  A  ~~  ( 1 ... m
) )
47 enfii 7518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1 ... m
)  e.  Fin  /\  A  ~~  ( 1 ... m ) )  ->  A  e.  Fin )
4842, 46, 47sylancr 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  A  e.  Fin )
49 fz1iso 12199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  <  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  E. g  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) )
5041, 48, 49syl2anc 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  E. g 
g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) )
51 simpll 746 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  ph )
5251, 18mpan9 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) ) )  /\  i  e.  A )  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC )
53 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  j  ->  (
f `  n )  =  ( f `  j ) )
5453csbeq1d 3283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  j  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  j )  /  k ]_ B )
55 csbco 3286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  [_ (
f `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  j )  /  k ]_ B
5654, 55syl6eqr 2483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  j  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B )
5756cbvmptv 4371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B
)  =  ( j  e.  NN  |->  [_ (
f `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B
)
58 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  |->  [_ (
g `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B
)  =  ( j  e.  NN  |->  [_ (
g `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B
)
59 simplr 747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  m  e.  NN )
6021ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
6126ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
62 simprl 748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  f :
( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A )
63 simprr 749 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) )
6411, 52, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63prodmolem2a 27294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )
6564expr 610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A )  ->  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )
6665exlimdv 1689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  ( E. g  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
)  ->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )
6750, 66mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )
68 breq2 4284 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m )  ->  (  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )
6967, 68syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m )  ->  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
7069expimpd 598 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  ->  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
7170exlimdv 1689 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  ->  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
7271rexlimdva 2831 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  ->  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
7332, 72jaod 380 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  ->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
7421adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  M  e.  ZZ )
7524adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  A  C_  Z
)
76 zprod.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y ) )
7725eleq2i 2497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  Z  <->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
78 eluzelz 10858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  n  e.  ZZ )
7978adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  n  e.  ZZ )
80 uztrn 10865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  ( ZZ>= `  n )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)
8180ancoms 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)
8225eleq2i 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  Z  <->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
83 zprod.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) )
8425, 33eqsstri 3374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  Z  C_  ZZ
8584sseli 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
86 iftrue 3785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  B )
8786adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  B )
8887, 13eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  e.  CC )
8988ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 )  e.  CC ) )
90 iffalse 3787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  1 )
91 ax-1cn 9328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  CC
9290, 91syl6eqel 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  e.  CC )
9389, 92pm2.61d1 159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 )  e.  CC )
94 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )
9594fvmpt2 5769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  e.  CC )  -> 
( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `
 k )  =  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) )
9685, 93, 95syl2anr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )
9783, 96eqtr4d 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k ) )
9882, 97sylan2br 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k ) )
9998ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( F `  k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k ) )
100 nffvmpt1 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ k
( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `
 z )
101100nfeq2 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ k ( F `  z
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z )
102 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  z  ->  ( F `  k )  =  ( F `  z ) )
103 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  z  ->  (
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z ) )
104102, 103eqeq12d 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  z  ->  (
( F `  k
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k )  <-> 
( F `  z
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z ) ) )
105101, 104rspc 3056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `
 k )  -> 
( F `  z
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z ) ) )
10699, 105mpan9 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  z )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z ) )
10781, 106sylan2 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  z  e.  ( ZZ>=
`  n ) ) )  ->  ( F `  z )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z ) )
108107anassrs 641 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  z )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z ) )
10979, 108seqfeq 11815 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  seq n
(  x.  ,  F
)  =  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) ) )
110109breq1d 4290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  (  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y  <->  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
111110anbi2d 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
y  =/=  0  /\ 
seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  <-> 
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
112111exbidv 1679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  <->  E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
11377, 112sylan2b 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  <->  E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
114113rexbidva 2722 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\ 
seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  <->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
11576, 114mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
116115adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
117 simpr 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )
118 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  M  ->  ( ZZ>=
`  m )  =  ( ZZ>= `  M )
)
119118, 25syl6eqr 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  ( ZZ>=
`  m )  =  Z )
120119sseq2d 3372 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  <->  A  C_  Z ) )
121119rexeqdv 2914 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
122 seqeq1 11793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) ) )
123122breq1d 4290 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  (  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
124120, 121, 1233anbi123d 1282 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  M  ->  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( A  C_  Z  /\  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) ) )
125124rspcev 3062 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( A  C_  Z  /\  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )  ->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
12674, 75, 116, 117, 125syl13anc 1213 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
127126orcd 392 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
128127ex 434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  -> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) ) )
12973, 128impbid 191 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  <->  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
13096, 83eqtr4d 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k )  =  ( F `  k ) )
13182, 130sylan2br 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k )  =  ( F `  k ) )
132131ralrimiva 2789 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k )  =  ( F `  k ) )
133100nfeq1 2578 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `
 z )  =  ( F `  z
)
134103, 102eqeq12d 2447 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  z  ->  (
( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `
 k )  =  ( F `  k
)  <->  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z )  =  ( F `  z ) ) )
135133, 134rspc 3056 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k )  =  ( F `  k )  ->  (
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z )  =  ( F `  z ) ) )
136132, 135mpan9 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z )  =  ( F `  z ) )
13721, 136seqfeq 11815 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  seq M
(  x.  ,  F
) )
138137breq1d 4290 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )
139129, 138bitrd 253 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  <->  seq M (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )
140139iotabidv 5390 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )  =  ( iota
x  seq M (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )
141 df-prod 27266 . 2  |-  prod_ k  e.  A  B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
142 df-fv 5414 . 2  |-  (  ~~>  `  seq M (  x.  ,  F ) )  =  ( iota x  seq M (  x.  ,  F )  ~~>  x )
143140, 141, 1423eqtr4g 2490 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  =  (  ~~>  `  seq M (  x.  ,  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362   E.wex 1589    e. wcel 1755    =/= wne 2596   A.wral 2705   E.wrex 2706   [_csb 3276    C_ wss 3316   ifcif 3779   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338    Or wor 4627   iotacio 5367   -1-1-onto->wf1o 5405   ` cfv 5406    Isom wiso 5407  (class class class)co 6080    ~~ cen 7295   Fincfn 7298   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    x. cmul 9275    < clt 9406   NNcn 10310   ZZcz 10634   ZZ>=cuz 10849   ...cfz 11424    seqcseq 11790   #chash 12087    ~~> cli 12946   prod_cprod 27265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-rp 10980  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-exp 11850  df-hash 12088  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-clim 12950  df-prod 27266
This theorem is referenced by:  iprod  27298  zprodn0  27299  prodss  27307
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