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Theorem zprod 14068
Description: Series product with index set a subset of the upper integers. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zprod.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
zprod.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
zprod.3  |-  ( ph  ->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y ) )
zprod.4  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
zprod.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) )
zprod.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
zprod  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  =  (  ~~>  `  seq M (  x.  ,  F ) ) )
Distinct variable groups:    A, k, n, y    B, n, y   
k, F    k, n, ph, y    k, M, y    ph, n, y    n, Z
Allowed substitution hints:    B( k)    F( y, n)    M( n)    Z( y, k)

Proof of Theorem zprod
Dummy variables  f 
g  i  j  m  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpb 1028 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
2 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i if ( k  e.  A ,  B ,  1 )
3 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k  i  e.  A
4 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k [_ i  /  k ]_ B
5 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
1
63, 4, 5nfif 3901 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k if ( i  e.  A ,  [_ i  /  k ]_ B ,  1 )
7 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  (
k  e.  A  <->  i  e.  A ) )
8 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  B  =  [_ i  /  k ]_ B )
97, 8ifbieq1d 3895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  i  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  if ( i  e.  A ,  [_ i  /  k ]_ B ,  1 ) )
102, 6, 9cbvmpt 4487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  ( i  e.  ZZ  |->  if ( i  e.  A ,  [_ i  /  k ]_ B ,  1 ) )
11 simpll 768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ph )
12 zprod.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1312ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
144nfel1 2626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k
[_ i  /  k ]_ B  e.  CC
158eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  i  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ i  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
1614, 15rspc 3130 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC )
)
1713, 16syl5 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  A  ->  ( ph  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC ) )
1811, 17mpan9 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m ) )  /\  i  e.  A )  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC )
19 simplr 770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  m  e.  ZZ )
20 zprod.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2120ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  M  e.  ZZ )
22 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  m ) )
23 zprod.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
24 zprod.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2523, 24syl6sseq 3464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
2625ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
2710, 18, 19, 21, 22, 26prodrb 14063 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  (  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
2827biimpd 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  (  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  ->  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
2928expimpd 614 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
301, 29syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
3130rexlimdva 2871 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
32 uzssz 11202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
33 zssre 10968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ZZ  C_  RR
3432, 33sstri 3427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  RR
3524, 34eqsstri 3448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Z  C_  RR
3623, 35syl6ss 3430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
3736ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  A  C_  RR )
38 ltso 9732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <  Or  RR
39 soss 4778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  RR  ->  (  < 
Or  RR  ->  <  Or  A ) )
4037, 38, 39mpisyl 21 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  <  Or  A )
41 fzfi 12223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... m )  e. 
Fin
42 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... m )  e. 
_V
4342f1oen 7608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  ->  ( 1 ... m )  ~~  A )
4443adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
1 ... m )  ~~  A )
4544ensymd 7638 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  A  ~~  ( 1 ... m
) )
46 enfii 7807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1 ... m
)  e.  Fin  /\  A  ~~  ( 1 ... m ) )  ->  A  e.  Fin )
4741, 45, 46sylancr 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  A  e.  Fin )
48 fz1iso 12666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  <  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  E. g  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) )
4940, 47, 48syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  E. g 
g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) )
50 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  ph )
5150, 17mpan9 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) ) )  /\  i  e.  A )  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC )
52 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  j  ->  (
f `  n )  =  ( f `  j ) )
5352csbeq1d 3356 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  j  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  j )  /  k ]_ B )
54 csbco 3359 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  [_ (
f `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  j )  /  k ]_ B
5553, 54syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  j  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B )
5655cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B
)  =  ( j  e.  NN  |->  [_ (
f `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B
)
57 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  |->  [_ (
g `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B
)  =  ( j  e.  NN  |->  [_ (
g `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B
)
58 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  m  e.  NN )
5920ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
6025ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
61 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  f :
( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A )
62 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) )
6310, 51, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62prodmolem2a 14065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )
6463expr 626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A )  ->  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )
6564exlimdv 1787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  ( E. g  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
)  ->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )
6649, 65mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )
67 breq2 4399 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m )  ->  (  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )
6866, 67syl5ibrcom 230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m )  ->  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
6968expimpd 614 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  ->  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
7069exlimdv 1787 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  ->  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
7170rexlimdva 2871 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  ->  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
7231, 71jaod 387 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  ->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
7320adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  M  e.  ZZ )
7423adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  A  C_  Z
)
75 zprod.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y ) )
7624eleq2i 2541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  Z  <->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
77 eluzelz 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  n  e.  ZZ )
7877adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  n  e.  ZZ )
79 uztrn 11199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  ( ZZ>= `  n )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)
8079ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)
8124eleq2i 2541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  Z  <->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
82 zprod.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) )
8324, 32eqsstri 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  Z  C_  ZZ
8483sseli 3414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
85 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  B )
8685adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  B )
8786, 12eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  e.  CC )
8887ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 )  e.  CC ) )
89 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  1 )
90 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  CC
9189, 90syl6eqel 2557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  e.  CC )
9288, 91pm2.61d1 164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 )  e.  CC )
93 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )
9493fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  e.  CC )  -> 
( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `
 k )  =  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) )
9584, 92, 94syl2anr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )
9682, 95eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k ) )
9781, 96sylan2br 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k ) )
9897ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( F `  k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k ) )
99 nffvmpt1 5887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ k
( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `
 z )
10099nfeq2 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ k ( F `  z
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z )
101 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  z  ->  ( F `  k )  =  ( F `  z ) )
102 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  z  ->  (
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z ) )
103101, 102eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  z  ->  (
( F `  k
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k )  <-> 
( F `  z
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z ) ) )
104100, 103rspc 3130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `
 k )  -> 
( F `  z
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z ) ) )
10598, 104mpan9 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  z )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z ) )
10680, 105sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  z  e.  ( ZZ>=
`  n ) ) )  ->  ( F `  z )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z ) )
107106anassrs 660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  z )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z ) )
10878, 107seqfeq 12276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  seq n
(  x.  ,  F
)  =  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) ) )
109108breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  (  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y  <->  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
110109anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
y  =/=  0  /\ 
seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  <-> 
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
111110exbidv 1776 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  <->  E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
11276, 111sylan2b 483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  <->  E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
113112rexbidva 2889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\ 
seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  <->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
11475, 113mpbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
115114adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
116 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )
117 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  M  ->  ( ZZ>=
`  m )  =  ( ZZ>= `  M )
)
118117, 24syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  ( ZZ>=
`  m )  =  Z )
119118sseq2d 3446 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  <->  A  C_  Z ) )
120118rexeqdv 2980 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
121 seqeq1 12254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) ) )
122121breq1d 4405 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  (  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
123119, 120, 1223anbi123d 1365 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  M  ->  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( A  C_  Z  /\  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) ) )
124123rspcev 3136 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( A  C_  Z  /\  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )  ->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
12573, 74, 115, 116, 124syl13anc 1294 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
126125orcd 399 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
127126ex 441 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  -> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) ) )
12872, 127impbid 195 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  <->  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
12995, 82eqtr4d 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k )  =  ( F `  k ) )
13081, 129sylan2br 484 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k )  =  ( F `  k ) )
131130ralrimiva 2809 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k )  =  ( F `  k ) )
13299nfeq1 2625 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `
 z )  =  ( F `  z
)
133102, 101eqeq12d 2486 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  z  ->  (
( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `
 k )  =  ( F `  k
)  <->  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z )  =  ( F `  z ) ) )
134132, 133rspc 3130 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k )  =  ( F `  k )  ->  (
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z )  =  ( F `  z ) ) )
135131, 134mpan9 477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z )  =  ( F `  z ) )
13620, 135seqfeq 12276 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  seq M
(  x.  ,  F
) )
137136breq1d 4405 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )
138128, 137bitrd 261 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  <->  seq M (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )
139138iotabidv 5574 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )  =  ( iota
x  seq M (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )
140 df-prod 14037 . 2  |-  prod_ k  e.  A  B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
141 df-fv 5597 . 2  |-  (  ~~>  `  seq M (  x.  ,  F ) )  =  ( iota x  seq M (  x.  ,  F )  ~~>  x )
142139, 140, 1413eqtr4g 2530 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  =  (  ~~>  `  seq M (  x.  ,  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   [_csb 3349    C_ wss 3390   ifcif 3872   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    Or wor 4759   iotacio 5551   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589    Isom wiso 5590  (class class class)co 6308    ~~ cen 7584   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    x. cmul 9562    < clt 9693   NNcn 10631   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810    seqcseq 12251   #chash 12553    ~~> cli 13625   prod_cprod 14036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-prod 14037
This theorem is referenced by:  iprod  14069  zprodn0  14070  prodss  14078
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