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Theorem zprod 28674
Description: Series product with index set a subset of the upper integers. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zprod.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
zprod.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
zprod.3  |-  ( ph  ->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y ) )
zprod.4  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
zprod.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) )
zprod.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
zprod  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  =  (  ~~>  `  seq M (  x.  ,  F ) ) )
Distinct variable groups:    A, k, n, y    B, n, y   
k, F    k, n, ph, y    k, M, y    ph, n, y    n, Z
Allowed substitution hints:    B( k)    F( y, n)    M( n)    Z( y, k)

Proof of Theorem zprod
Dummy variables  f 
g  i  j  m  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpb 994 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
2 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i if ( k  e.  A ,  B ,  1 )
3 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k  i  e.  A
4 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k [_ i  /  k ]_ B
5 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
1
63, 4, 5nfif 3968 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k if ( i  e.  A ,  [_ i  /  k ]_ B ,  1 )
7 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  (
k  e.  A  <->  i  e.  A ) )
8 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  B  =  [_ i  /  k ]_ B )
9 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  1  =  1 )
107, 8, 9ifbieq12d 3966 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  i  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  if ( i  e.  A ,  [_ i  /  k ]_ B ,  1 ) )
112, 6, 10cbvmpt 4537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  ( i  e.  ZZ  |->  if ( i  e.  A ,  [_ i  /  k ]_ B ,  1 ) )
12 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ph )
13 zprod.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1413ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
154nfel1 2645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k
[_ i  /  k ]_ B  e.  CC
168eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  i  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ i  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
1715, 16rspc 3208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC )
)
1814, 17syl5 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  A  ->  ( ph  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC ) )
1912, 18mpan9 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m ) )  /\  i  e.  A )  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC )
20 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  m  e.  ZZ )
21 zprod.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2221ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  M  e.  ZZ )
23 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  m ) )
24 zprod.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
25 zprod.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2624, 25syl6sseq 3550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
2811, 19, 20, 22, 23, 27prodrb 28669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  (  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
2928biimpd 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  (  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  ->  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
3029expimpd 603 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
311, 30syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
3231rexlimdva 2955 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
33 uzssz 11101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
34 zssre 10871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ZZ  C_  RR
3533, 34sstri 3513 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  RR
3625, 35eqsstri 3534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Z  C_  RR
3724, 36syl6ss 3516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
3837ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  A  C_  RR )
39 ltso 9665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <  Or  RR
40 soss 4818 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  RR  ->  (  < 
Or  RR  ->  <  Or  A ) )
4138, 39, 40mpisyl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  <  Or  A )
42 fzfi 12050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... m )  e. 
Fin
43 ovex 6309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... m )  e. 
_V
4443f1oen 7536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  ->  ( 1 ... m )  ~~  A )
4544adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
1 ... m )  ~~  A )
4645ensymd 7566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  A  ~~  ( 1 ... m
) )
47 enfii 7737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1 ... m
)  e.  Fin  /\  A  ~~  ( 1 ... m ) )  ->  A  e.  Fin )
4842, 46, 47sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  A  e.  Fin )
49 fz1iso 12477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  <  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  E. g  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) )
5041, 48, 49syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  E. g 
g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) )
51 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  ph )
5251, 18mpan9 469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) ) )  /\  i  e.  A )  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC )
53 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  j  ->  (
f `  n )  =  ( f `  j ) )
5453csbeq1d 3442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  j  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  j )  /  k ]_ B )
55 csbco 3445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  [_ (
f `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  j )  /  k ]_ B
5654, 55syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  j  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B )
5756cbvmptv 4538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B
)  =  ( j  e.  NN  |->  [_ (
f `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B
)
58 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  |->  [_ (
g `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B
)  =  ( j  e.  NN  |->  [_ (
g `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B
)
59 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  m  e.  NN )
6021ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
6126ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
62 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  f :
( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A )
63 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) )
6411, 52, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63prodmolem2a 28671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) ) )  ->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )
6564expr 615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A )  ->  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )
6665exlimdv 1700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  ( E. g  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
)  ->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )
6750, 66mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )
68 breq2 4451 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m )  ->  (  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )
6967, 68syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m )  ->  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
7069expimpd 603 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  ->  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
7170exlimdv 1700 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  ->  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
7271rexlimdva 2955 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  ->  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
7332, 72jaod 380 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  ->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
7421adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  M  e.  ZZ )
7524adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  A  C_  Z
)
76 zprod.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y ) )
7725eleq2i 2545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  Z  <->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
78 eluzelz 11091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  n  e.  ZZ )
7978adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  n  e.  ZZ )
80 uztrn 11098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  ( ZZ>= `  n )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)
8180ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)
8225eleq2i 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  Z  <->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
83 zprod.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) )
8425, 33eqsstri 3534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  Z  C_  ZZ
8584sseli 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
86 iftrue 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  B )
8786adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  B )
8887, 13eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  e.  CC )
8988ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 )  e.  CC ) )
90 iffalse 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  1 )
91 ax-1cn 9550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  CC
9290, 91syl6eqel 2563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  e.  CC )
9389, 92pm2.61d1 159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 )  e.  CC )
94 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )
9594fvmpt2 5957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  e.  CC )  -> 
( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `
 k )  =  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) )
9685, 93, 95syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )
9783, 96eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k ) )
9882, 97sylan2br 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k ) )
9998ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( F `  k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k ) )
100 nffvmpt1 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ k
( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `
 z )
101100nfeq2 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ k ( F `  z
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z )
102 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  z  ->  ( F `  k )  =  ( F `  z ) )
103 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  z  ->  (
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z ) )
104102, 103eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  z  ->  (
( F `  k
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k )  <-> 
( F `  z
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z ) ) )
105101, 104rspc 3208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `
 k )  -> 
( F `  z
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z ) ) )
10699, 105mpan9 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  z )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z ) )
10781, 106sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  z  e.  ( ZZ>=
`  n ) ) )  ->  ( F `  z )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z ) )
108107anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  z )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z ) )
10979, 108seqfeq 12100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  seq n
(  x.  ,  F
)  =  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) ) )
110109breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  (  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y  <->  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
111110anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
y  =/=  0  /\ 
seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  <-> 
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
112111exbidv 1690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  <->  E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
11377, 112sylan2b 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  <->  E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
114113rexbidva 2970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\ 
seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  <->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
11576, 114mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
116115adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
117 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )
118 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  M  ->  ( ZZ>=
`  m )  =  ( ZZ>= `  M )
)
119118, 25syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  ( ZZ>=
`  m )  =  Z )
120119sseq2d 3532 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  <->  A  C_  Z ) )
121119rexeqdv 3065 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
122 seqeq1 12078 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) ) )
123122breq1d 4457 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  (  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
124120, 121, 1233anbi123d 1299 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  M  ->  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( A  C_  Z  /\  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) ) )
125124rspcev 3214 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( A  C_  Z  /\  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )  ->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
12674, 75, 116, 117, 125syl13anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
127126orcd 392 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
128127ex 434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  -> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) ) )
12973, 128impbid 191 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  <->  seq M (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
13096, 83eqtr4d 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k )  =  ( F `  k ) )
13182, 130sylan2br 476 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k )  =  ( F `  k ) )
132131ralrimiva 2878 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k )  =  ( F `  k ) )
133100nfeq1 2644 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `
 z )  =  ( F `  z
)
134103, 102eqeq12d 2489 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  z  ->  (
( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `
 k )  =  ( F `  k
)  <->  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z )  =  ( F `  z ) ) )
135133, 134rspc 3208 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  k )  =  ( F `  k )  ->  (
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z )  =  ( F `  z ) ) )
136132, 135mpan9 469 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  z )  =  ( F `  z ) )
13721, 136seqfeq 12100 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  seq M
(  x.  ,  F
) )
138137breq1d 4457 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )
139129, 138bitrd 253 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  <->  seq M (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )
140139iotabidv 5572 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )  =  ( iota
x  seq M (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )
141 df-prod 28643 . 2  |-  prod_ k  e.  A  B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
142 df-fv 5596 . 2  |-  (  ~~>  `  seq M (  x.  ,  F ) )  =  ( iota x  seq M (  x.  ,  F )  ~~>  x )
143140, 141, 1423eqtr4g 2533 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  =  (  ~~>  `  seq M (  x.  ,  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   [_csb 3435    C_ wss 3476   ifcif 3939   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    Or wor 4799   iotacio 5549   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588    Isom wiso 5589  (class class class)co 6284    ~~ cen 7513   Fincfn 7516   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    x. cmul 9497    < clt 9628   NNcn 10536   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11672    seqcseq 12075   #chash 12373    ~~> cli 13270   prod_cprod 28642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-prod 28643
This theorem is referenced by:  iprod  28675  zprodn0  28676  prodss  28684
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