MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zornn0g Structured version   Unicode version

Theorem zornn0g 8941
Description: Variant of Zorn's lemma zorng 8940 in which  (/), the union of the empty chain, is not required to be an element of  A. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jan-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
zornn0g  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A ) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem zornn0g
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1007 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A ) )  ->  A  =/=  (/) )
2 simp1 1006 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A ) )  ->  A  e.  dom  card )
3 snfi 7659 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  Fin
4 finnum 8389 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  e.  Fin  ->  { (/) }  e.  dom  card )
53, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  { (/) }  e.  dom  card
6 unnum 8636 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
{ (/) }  e.  dom  card )  ->  ( A  u.  { (/) } )  e. 
dom  card )
72, 5, 6sylancl 667 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A ) )  -> 
( A  u.  { (/)
} )  e.  dom  card )
8 uncom 3612 . . . . . . . . 9  |-  ( A  u.  { (/) } )  =  ( { (/) }  u.  A )
98sseq2i 3491 . . . . . . . 8  |-  ( w 
C_  ( A  u.  {
(/) } )  <->  w  C_  ( { (/) }  u.  A
) )
10 ssundif 3881 . . . . . . . 8  |-  ( w 
C_  ( { (/) }  u.  A )  <->  ( w  \  { (/) } )  C_  A )
119, 10bitri 253 . . . . . . 7  |-  ( w 
C_  ( A  u.  {
(/) } )  <->  ( w  \  { (/) } )  C_  A )
12 difss 3594 . . . . . . . . 9  |-  ( w 
\  { (/) } ) 
C_  w
13 soss 4791 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  \  { (/) } )  C_  w  ->  ( [ C.]  Or  w  -> [ C.]  Or  (
w  \  { (/) } ) ) )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( [ C.]  Or  w  -> [ C.]  Or  (
w  \  { (/) } ) )
15 ssdif0 3853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w 
C_  { (/) }  <->  ( w  \  { (/) } )  =  (/) )
16 uni0b 4243 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. w  =  (/)  <->  w  C_  { (/) } )
1716biimpri 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w 
C_  { (/) }  ->  U. w  =  (/) )
1817eleq1d 2492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w 
C_  { (/) }  ->  ( U. w  e.  ( A  u.  { (/) } )  <->  (/)  e.  ( A  u.  { (/) } ) ) )
1915, 18sylbir 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  \  { (/) } )  =  (/)  ->  ( U. w  e.  ( A  u.  { (/) } )  <->  (/) 
e.  ( A  u.  {
(/) } ) ) )
2019imbi2d 318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  \  { (/) } )  =  (/)  ->  (
( A. z ( ( z  C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/)
} ) )  <->  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  (/)  e.  ( A  u.  { (/) } ) ) ) )
21 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  w  e. 
_V
22 difexg 4571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  _V  ->  (
w  \  { (/) } )  e.  _V )
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w 
\  { (/) } )  e.  _V
24 sseq1 3487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( w  \  { (/) } )  -> 
( z  C_  A  <->  ( w  \  { (/) } )  C_  A )
)
25 neeq1 2706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( w  \  { (/) } )  -> 
( z  =/=  (/)  <->  ( w  \  { (/) } )  =/=  (/) ) )
26 soeq2 4793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( w  \  { (/) } )  -> 
( [ C.]  Or  z  <-> [ C.]  Or  (
w  \  { (/) } ) ) )
2724, 25, 263anbi123d 1336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( w  \  { (/) } )  -> 
( ( z  C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  <->  ( ( w 
\  { (/) } ) 
C_  A  /\  (
w  \  { (/) } )  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  (
w  \  { (/) } ) ) ) )
28 unieq 4226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( w  \  { (/) } )  ->  U. z  =  U. ( w  \  { (/) } ) )
2928eleq1d 2492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( w  \  { (/) } )  -> 
( U. z  e.  A  <->  U. ( w  \  { (/) } )  e.  A ) )
3027, 29imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( w  \  { (/) } )  -> 
( ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  <->  ( (
( w  \  { (/)
} )  C_  A  /\  ( w  \  { (/)
} )  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  (
w  \  { (/) } ) )  ->  U. (
w  \  { (/) } )  e.  A ) ) )
3123, 30spcv 3173 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  (
( ( w  \  { (/) } )  C_  A  /\  ( w  \  { (/) } )  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  (
w  \  { (/) } ) )  ->  U. (
w  \  { (/) } )  e.  A ) )
3231com12 33 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w  \  { (/)
} )  C_  A  /\  ( w  \  { (/)
} )  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  (
w  \  { (/) } ) )  ->  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  U. (
w  \  { (/) } )  e.  A ) )
33323expa 1206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( w  \  { (/) } )  C_  A  /\  ( w  \  { (/) } )  =/=  (/) )  /\ [ C.]  Or  (
w  \  { (/) } ) )  ->  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  U. (
w  \  { (/) } )  e.  A ) )
3433an32s 812 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( w  \  { (/) } )  C_  A  /\ [ C.]  Or  (
w  \  { (/) } ) )  /\  ( w 
\  { (/) } )  =/=  (/) )  ->  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  U. (
w  \  { (/) } )  e.  A ) )
35 unidif0 4596 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. (
w  \  { (/) } )  =  U. w
3635eleq1i 2500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ( w  \  { (/) } )  e.  A  <->  U. w  e.  A )
37 elun1 3635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. w  e.  A  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/) } ) )
3836, 37sylbi 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. ( w  \  { (/) } )  e.  A  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/) } ) )
3934, 38syl6 35 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( w  \  { (/) } )  C_  A  /\ [ C.]  Or  (
w  \  { (/) } ) )  /\  ( w 
\  { (/) } )  =/=  (/) )  ->  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/)
} ) ) )
40 0ex 4555 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
4140snid 4026 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  { (/)
}
42 elun2 3636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e.  { (/) }  ->  (/)  e.  ( A  u.  { (/) } ) )
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  ( A  u.  { (/) } )
44432a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( w  \  { (/)
} )  C_  A  /\ [ C.]  Or  ( w 
\  { (/) } ) )  ->  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  (/)  e.  ( A  u.  { (/) } ) ) )
4520, 39, 44pm2.61ne 2740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( w  \  { (/)
} )  C_  A  /\ [ C.]  Or  ( w 
\  { (/) } ) )  ->  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/)
} ) ) )
4614, 45sylan2 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w  \  { (/)
} )  C_  A  /\ [ C.]  Or  w )  ->  ( A. z
( ( z  C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/)
} ) ) )
4711, 46sylanb 475 . . . . . 6  |-  ( ( w  C_  ( A  u.  { (/) } )  /\ [ C.] 
Or  w )  -> 
( A. z ( ( z  C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/)
} ) ) )
4847com12 33 . . . . 5  |-  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  (
( w  C_  ( A  u.  { (/) } )  /\ [ C.]  Or  w
)  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/)
} ) ) )
4948alrimiv 1764 . . . 4  |-  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  A. w
( ( w  C_  ( A  u.  { (/) } )  /\ [ C.]  Or  w
)  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/)
} ) ) )
50493ad2ant3 1029 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A ) )  ->  A. w ( ( w 
C_  ( A  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  w
)  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/)
} ) ) )
51 zorng 8940 . . 3  |-  ( ( ( A  u.  { (/)
} )  e.  dom  card  /\  A. w ( ( w  C_  ( A  u.  { (/) } )  /\ [ C.] 
Or  w )  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/) } ) ) )  ->  E. x  e.  ( A  u.  { (/)
} ) A. y  e.  ( A  u.  { (/)
} )  -.  x  C.  y )
527, 50, 51syl2anc 666 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A ) )  ->  E. x  e.  ( A  u.  { (/) } ) A. y  e.  ( A  u.  { (/) } )  -.  x  C.  y )
53 ssun1 3631 . . . . 5  |-  A  C_  ( A  u.  { (/) } )
54 ssralv 3527 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ( A  u.  {
(/) } )  ->  ( A. y  e.  ( A  u.  { (/) } )  -.  x  C.  y  ->  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
5553, 54ax-mp 5 . . . 4  |-  ( A. y  e.  ( A  u.  { (/) } )  -.  x  C.  y  ->  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
5655reximi 2894 . . 3  |-  ( E. x  e.  ( A  u.  { (/) } ) A. y  e.  ( A  u.  { (/) } )  -.  x  C.  y  ->  E. x  e.  ( A  u.  { (/) } ) A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
57 rexun 3648 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ( A  u.  { (/) } ) A. y  e.  A  -.  x  C.  y  <->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y  \/  E. x  e.  { (/) } A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
58 simpr 463 . . . . 5  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
59 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  { (/) } A. y  e.  A  -.  x  C.  y )  ->  E. x  e.  { (/) } A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
60 psseq1 3554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C.  y  <->  (/)  C.  y
) )
61 0pss 3832 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  C.  y  <->  y  =/=  (/) )
6260, 61syl6bb 265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C.  y  <->  y  =/=  (/) ) )
6362notbid 296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( -.  x  C.  y  <->  -.  y  =/=  (/) ) )
64 nne 2625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  y  =/=  (/)  <->  y  =  (/) )
6563, 64syl6bb 265 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( -.  x  C.  y  <->  y  =  (/) ) )
6665ralbidv 2865 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  C.  y  <->  A. y  e.  A  y  =  (/) ) )
6740, 66rexsn 4038 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  { (/) } A. y  e.  A  -.  x  C.  y  <->  A. y  e.  A  y  =  (/) )
68 eqsn 4160 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A  =  { (/) }  <->  A. y  e.  A  y  =  (/) ) )
6968biimpar 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  y  =  (/) )  ->  A  =  { (/) } )
7067, 69sylan2b 478 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  { (/) } A. y  e.  A  -.  x  C.  y )  ->  A  =  { (/) } )
7170rexeqdv 3033 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  { (/) } A. y  e.  A  -.  x  C.  y )  -> 
( E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y 
<->  E. x  e.  { (/)
} A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
7259, 71mpbird 236 . . . . 5  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  { (/) } A. y  e.  A  -.  x  C.  y )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
7358, 72jaodan 793 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y  \/ 
E. x  e.  { (/)
} A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
7457, 73sylan2b 478 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ( A  u.  { (/) } ) A. y  e.  A  -.  x  C.  y )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
7556, 74sylan2 477 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ( A  u.  { (/) } ) A. y  e.  ( A  u.  { (/) } )  -.  x  C.  y )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
761, 52, 75syl2anc 666 1  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A ) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 983   A.wal 1436    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619   A.wral 2776   E.wrex 2777   _Vcvv 3082    \ cdif 3435    u. cun 3436    C_ wss 3438    C. wpss 3439   (/)c0 3763   {csn 3998   U.cuni 4218    Or wor 4772   dom cdm 4852   [ C.] crpss 6583   Fincfn 7579   cardccrd 8376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4535  ax-sep 4545  ax-nul 4554  ax-pow 4601  ax-pr 4659  ax-un 6596
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3302  df-csb 3398  df-dif 3441  df-un 3443  df-in 3445  df-ss 3452  df-pss 3454  df-nul 3764  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4219  df-int 4255  df-iun 4300  df-br 4423  df-opab 4482  df-mpt 4483  df-tr 4518  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6266  df-ov 6307  df-oprab 6308  df-mpt2 6309  df-rpss 6584  df-om 6706  df-wrecs 7038  df-recs 7100  df-rdg 7138  df-1o 7192  df-oadd 7196  df-er 7373  df-en 7580  df-dom 7581  df-fin 7583  df-card 8380  df-cda 8604
This theorem is referenced by:  zornn0  8944  pgpfac1lem5  17709  lbsextlem4  18381  filssufilg  20922
  Copyright terms: Public domain W3C validator