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Theorem zornn0g 8884
Description: Variant of Zorn's lemma zorng 8883 in which  (/), the union of the empty chain, is not required to be an element of  A. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jan-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
zornn0g  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A ) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem zornn0g
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 997 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A ) )  ->  A  =/=  (/) )
2 simp1 996 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A ) )  ->  A  e.  dom  card )
3 snfi 7596 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  Fin
4 finnum 8328 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  e.  Fin  ->  { (/) }  e.  dom  card )
53, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  { (/) }  e.  dom  card
6 unnum 8579 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
{ (/) }  e.  dom  card )  ->  ( A  u.  { (/) } )  e. 
dom  card )
72, 5, 6sylancl 662 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A ) )  -> 
( A  u.  { (/)
} )  e.  dom  card )
8 uncom 3648 . . . . . . . . 9  |-  ( A  u.  { (/) } )  =  ( { (/) }  u.  A )
98sseq2i 3529 . . . . . . . 8  |-  ( w 
C_  ( A  u.  {
(/) } )  <->  w  C_  ( { (/) }  u.  A
) )
10 ssundif 3910 . . . . . . . 8  |-  ( w 
C_  ( { (/) }  u.  A )  <->  ( w  \  { (/) } )  C_  A )
119, 10bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( w 
C_  ( A  u.  {
(/) } )  <->  ( w  \  { (/) } )  C_  A )
12 difss 3631 . . . . . . . . 9  |-  ( w 
\  { (/) } ) 
C_  w
13 soss 4818 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  \  { (/) } )  C_  w  ->  ( [
C.]  Or  w  -> [ C.] 
Or  ( w  \  { (/) } ) ) )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( [ C.]  Or  w  -> [ C.]  Or  ( w  \  { (/) } ) )
15 ssdif0 3885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w 
C_  { (/) }  <->  ( w  \  { (/) } )  =  (/) )
16 uni0b 4270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. w  =  (/)  <->  w  C_  { (/) } )
1716biimpri 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w 
C_  { (/) }  ->  U. w  =  (/) )
1817eleq1d 2536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w 
C_  { (/) }  ->  ( U. w  e.  ( A  u.  { (/) } )  <->  (/)  e.  ( A  u.  { (/) } ) ) )
1915, 18sylbir 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  \  { (/) } )  =  (/)  ->  ( U. w  e.  ( A  u.  { (/) } )  <->  (/) 
e.  ( A  u.  {
(/) } ) ) )
2019imbi2d 316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  \  { (/) } )  =  (/)  ->  (
( A. z ( ( z  C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z )  ->  U. z  e.  A )  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/)
} ) )  <->  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  (/)  e.  ( A  u.  { (/) } ) ) ) )
21 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  w  e. 
_V
22 difexg 4595 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  _V  ->  (
w  \  { (/) } )  e.  _V )
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w 
\  { (/) } )  e.  _V
24 sseq1 3525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( w  \  { (/) } )  -> 
( z  C_  A  <->  ( w  \  { (/) } )  C_  A )
)
25 neeq1 2748 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( w  \  { (/) } )  -> 
( z  =/=  (/)  <->  ( w  \  { (/) } )  =/=  (/) ) )
26 soeq2 4820 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( w  \  { (/) } )  -> 
( [ C.]  Or  z  <-> [ C.] 
Or  ( w  \  { (/) } ) ) )
2724, 25, 263anbi123d 1299 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( w  \  { (/) } )  -> 
( ( z  C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z )  <->  ( (
w  \  { (/) } ) 
C_  A  /\  (
w  \  { (/) } )  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  (
w  \  { (/) } ) ) ) )
28 unieq 4253 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( w  \  { (/) } )  ->  U. z  =  U. ( w  \  { (/) } ) )
2928eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( w  \  { (/) } )  -> 
( U. z  e.  A  <->  U. ( w  \  { (/) } )  e.  A ) )
3027, 29imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( w  \  { (/) } )  -> 
( ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  <->  ( (
( w  \  { (/)
} )  C_  A  /\  ( w  \  { (/)
} )  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  ( w  \  { (/)
} ) )  ->  U. ( w  \  { (/)
} )  e.  A
) ) )
3123, 30spcv 3204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  (
( ( w  \  { (/) } )  C_  A  /\  ( w  \  { (/) } )  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  (
w  \  { (/) } ) )  ->  U. (
w  \  { (/) } )  e.  A ) )
3231com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w  \  { (/)
} )  C_  A  /\  ( w  \  { (/)
} )  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  ( w  \  { (/)
} ) )  -> 
( A. z ( ( z  C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z )  ->  U. z  e.  A )  ->  U. (
w  \  { (/) } )  e.  A ) )
33323expa 1196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( w  \  { (/) } )  C_  A  /\  ( w  \  { (/) } )  =/=  (/) )  /\ [ C.]  Or  ( w  \  { (/) } ) )  ->  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  U. (
w  \  { (/) } )  e.  A ) )
3433an32s 802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( w  \  { (/) } )  C_  A  /\ [ C.]  Or  (
w  \  { (/) } ) )  /\  ( w 
\  { (/) } )  =/=  (/) )  ->  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  U. (
w  \  { (/) } )  e.  A ) )
35 unidif0 4620 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. (
w  \  { (/) } )  =  U. w
3635eleq1i 2544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ( w  \  { (/) } )  e.  A  <->  U. w  e.  A )
37 elun1 3671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. w  e.  A  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/) } ) )
3836, 37sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. ( w  \  { (/) } )  e.  A  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/) } ) )
3934, 38syl6 33 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( w  \  { (/) } )  C_  A  /\ [ C.]  Or  (
w  \  { (/) } ) )  /\  ( w 
\  { (/) } )  =/=  (/) )  ->  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/)
} ) ) )
40 0ex 4577 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
4140snid 4055 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  { (/)
}
42 elun2 3672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e.  { (/) }  ->  (/)  e.  ( A  u.  { (/) } ) )
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  ( A  u.  { (/) } )
4443a1ii 27 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( w  \  { (/)
} )  C_  A  /\ [ C.]  Or  ( w 
\  { (/) } ) )  ->  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  (/)  e.  ( A  u.  { (/) } ) ) )
4520, 39, 44pm2.61ne 2782 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( w  \  { (/)
} )  C_  A  /\ [ C.]  Or  ( w 
\  { (/) } ) )  ->  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/)
} ) ) )
4614, 45sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w  \  { (/)
} )  C_  A  /\ [ C.]  Or  w )  ->  ( A. z
( ( z  C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z )  ->  U. z  e.  A )  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/)
} ) ) )
4711, 46sylanb 472 . . . . . 6  |-  ( ( w  C_  ( A  u.  { (/) } )  /\ [ C.] 
Or  w )  -> 
( A. z ( ( z  C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z )  ->  U. z  e.  A )  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/)
} ) ) )
4847com12 31 . . . . 5  |-  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  (
( w  C_  ( A  u.  { (/) } )  /\ [ C.]  Or  w
)  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/)
} ) ) )
4948alrimiv 1695 . . . 4  |-  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  A. w
( ( w  C_  ( A  u.  { (/) } )  /\ [ C.]  Or  w )  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/)
} ) ) )
50493ad2ant3 1019 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A ) )  ->  A. w ( ( w 
C_  ( A  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  w )  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/)
} ) ) )
51 zorng 8883 . . 3  |-  ( ( ( A  u.  { (/)
} )  e.  dom  card  /\  A. w ( ( w  C_  ( A  u.  { (/) } )  /\ [ C.] 
Or  w )  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/) } ) ) )  ->  E. x  e.  ( A  u.  { (/)
} ) A. y  e.  ( A  u.  { (/)
} )  -.  x  C.  y )
527, 50, 51syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A ) )  ->  E. x  e.  ( A  u.  { (/) } ) A. y  e.  ( A  u.  { (/) } )  -.  x  C.  y )
53 ssun1 3667 . . . . 5  |-  A  C_  ( A  u.  { (/) } )
54 ssralv 3564 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ( A  u.  {
(/) } )  ->  ( A. y  e.  ( A  u.  { (/) } )  -.  x  C.  y  ->  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
5553, 54ax-mp 5 . . . 4  |-  ( A. y  e.  ( A  u.  { (/) } )  -.  x  C.  y  ->  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
5655reximi 2932 . . 3  |-  ( E. x  e.  ( A  u.  { (/) } ) A. y  e.  ( A  u.  { (/) } )  -.  x  C.  y  ->  E. x  e.  ( A  u.  { (/) } ) A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
57 rexun 3684 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ( A  u.  { (/) } ) A. y  e.  A  -.  x  C.  y  <->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y  \/  E. x  e.  { (/) } A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
58 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
59 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  { (/) } A. y  e.  A  -.  x  C.  y )  ->  E. x  e.  { (/) } A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
60 psseq1 3591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C.  y  <->  (/)  C.  y
) )
61 0pss 3864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  C.  y  <->  y  =/=  (/) )
6260, 61syl6bb 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C.  y  <->  y  =/=  (/) ) )
6362notbid 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( -.  x  C.  y  <->  -.  y  =/=  (/) ) )
64 nne 2668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  y  =/=  (/)  <->  y  =  (/) )
6563, 64syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( -.  x  C.  y  <->  y  =  (/) ) )
6665ralbidv 2903 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  C.  y  <->  A. y  e.  A  y  =  (/) ) )
6740, 66rexsn 4067 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  { (/) } A. y  e.  A  -.  x  C.  y  <->  A. y  e.  A  y  =  (/) )
68 eqsn 4188 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A  =  { (/) }  <->  A. y  e.  A  y  =  (/) ) )
6968biimpar 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  y  =  (/) )  ->  A  =  { (/) } )
7067, 69sylan2b 475 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  { (/) } A. y  e.  A  -.  x  C.  y )  ->  A  =  { (/) } )
7170rexeqdv 3065 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  { (/) } A. y  e.  A  -.  x  C.  y )  -> 
( E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y 
<->  E. x  e.  { (/)
} A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
7259, 71mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  { (/) } A. y  e.  A  -.  x  C.  y )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
7358, 72jaodan 783 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y  \/ 
E. x  e.  { (/)
} A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
7457, 73sylan2b 475 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ( A  u.  { (/) } ) A. y  e.  A  -.  x  C.  y )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
7556, 74sylan2 474 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ( A  u.  { (/) } ) A. y  e.  ( A  u.  { (/) } )  -.  x  C.  y )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
761, 52, 75syl2anc 661 1  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A ) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474    C_ wss 3476    C. wpss 3477   (/)c0 3785   {csn 4027   U.cuni 4245    Or wor 4799   dom cdm 4999   [ C.] crpss 6562   Fincfn 7516   cardccrd 8315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-rpss 6563  df-om 6680  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-fin 7520  df-card 8319  df-cda 8547
This theorem is referenced by:  zornn0  8887  pgpfac1lem5  16929  lbsextlem4  17602  filssufilg  20163
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