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Theorem zornn0g 8798
Description: Variant of Zorn's lemma zorng 8797 in which  (/), the union of the empty chain, is not required to be an element of  A. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jan-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
zornn0g  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A ) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem zornn0g
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 995 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A ) )  ->  A  =/=  (/) )
2 simp1 994 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A ) )  ->  A  e.  dom  card )
3 snfi 7515 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  Fin
4 finnum 8242 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  e.  Fin  ->  { (/) }  e.  dom  card )
53, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  { (/) }  e.  dom  card
6 unnum 8493 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
{ (/) }  e.  dom  card )  ->  ( A  u.  { (/) } )  e. 
dom  card )
72, 5, 6sylancl 660 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A ) )  -> 
( A  u.  { (/)
} )  e.  dom  card )
8 uncom 3562 . . . . . . . . 9  |-  ( A  u.  { (/) } )  =  ( { (/) }  u.  A )
98sseq2i 3442 . . . . . . . 8  |-  ( w 
C_  ( A  u.  {
(/) } )  <->  w  C_  ( { (/) }  u.  A
) )
10 ssundif 3827 . . . . . . . 8  |-  ( w 
C_  ( { (/) }  u.  A )  <->  ( w  \  { (/) } )  C_  A )
119, 10bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( w 
C_  ( A  u.  {
(/) } )  <->  ( w  \  { (/) } )  C_  A )
12 difss 3545 . . . . . . . . 9  |-  ( w 
\  { (/) } ) 
C_  w
13 soss 4732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  \  { (/) } )  C_  w  ->  ( [ C.]  Or  w  -> [ C.]  Or  (
w  \  { (/) } ) ) )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( [ C.]  Or  w  -> [ C.]  Or  (
w  \  { (/) } ) )
15 ssdif0 3801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w 
C_  { (/) }  <->  ( w  \  { (/) } )  =  (/) )
16 uni0b 4188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. w  =  (/)  <->  w  C_  { (/) } )
1716biimpri 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w 
C_  { (/) }  ->  U. w  =  (/) )
1817eleq1d 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w 
C_  { (/) }  ->  ( U. w  e.  ( A  u.  { (/) } )  <->  (/)  e.  ( A  u.  { (/) } ) ) )
1915, 18sylbir 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  \  { (/) } )  =  (/)  ->  ( U. w  e.  ( A  u.  { (/) } )  <->  (/) 
e.  ( A  u.  {
(/) } ) ) )
2019imbi2d 314 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  \  { (/) } )  =  (/)  ->  (
( A. z ( ( z  C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/)
} ) )  <->  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  (/)  e.  ( A  u.  { (/) } ) ) ) )
21 vex 3037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  w  e. 
_V
22 difexg 4513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  _V  ->  (
w  \  { (/) } )  e.  _V )
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w 
\  { (/) } )  e.  _V
24 sseq1 3438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( w  \  { (/) } )  -> 
( z  C_  A  <->  ( w  \  { (/) } )  C_  A )
)
25 neeq1 2663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( w  \  { (/) } )  -> 
( z  =/=  (/)  <->  ( w  \  { (/) } )  =/=  (/) ) )
26 soeq2 4734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( w  \  { (/) } )  -> 
( [ C.]  Or  z  <-> [ C.]  Or  (
w  \  { (/) } ) ) )
2724, 25, 263anbi123d 1297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( w  \  { (/) } )  -> 
( ( z  C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  <->  ( ( w 
\  { (/) } ) 
C_  A  /\  (
w  \  { (/) } )  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  (
w  \  { (/) } ) ) ) )
28 unieq 4171 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( w  \  { (/) } )  ->  U. z  =  U. ( w  \  { (/) } ) )
2928eleq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( w  \  { (/) } )  -> 
( U. z  e.  A  <->  U. ( w  \  { (/) } )  e.  A ) )
3027, 29imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( w  \  { (/) } )  -> 
( ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  <->  ( (
( w  \  { (/)
} )  C_  A  /\  ( w  \  { (/)
} )  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  (
w  \  { (/) } ) )  ->  U. (
w  \  { (/) } )  e.  A ) ) )
3123, 30spcv 3125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  (
( ( w  \  { (/) } )  C_  A  /\  ( w  \  { (/) } )  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  (
w  \  { (/) } ) )  ->  U. (
w  \  { (/) } )  e.  A ) )
3231com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w  \  { (/)
} )  C_  A  /\  ( w  \  { (/)
} )  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  (
w  \  { (/) } ) )  ->  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  U. (
w  \  { (/) } )  e.  A ) )
33323expa 1194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( w  \  { (/) } )  C_  A  /\  ( w  \  { (/) } )  =/=  (/) )  /\ [ C.]  Or  (
w  \  { (/) } ) )  ->  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  U. (
w  \  { (/) } )  e.  A ) )
3433an32s 802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( w  \  { (/) } )  C_  A  /\ [ C.]  Or  (
w  \  { (/) } ) )  /\  ( w 
\  { (/) } )  =/=  (/) )  ->  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  U. (
w  \  { (/) } )  e.  A ) )
35 unidif0 4538 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. (
w  \  { (/) } )  =  U. w
3635eleq1i 2459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ( w  \  { (/) } )  e.  A  <->  U. w  e.  A )
37 elun1 3585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. w  e.  A  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/) } ) )
3836, 37sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. ( w  \  { (/) } )  e.  A  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/) } ) )
3934, 38syl6 33 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( w  \  { (/) } )  C_  A  /\ [ C.]  Or  (
w  \  { (/) } ) )  /\  ( w 
\  { (/) } )  =/=  (/) )  ->  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/)
} ) ) )
40 0ex 4497 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
4140snid 3972 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  { (/)
}
42 elun2 3586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e.  { (/) }  ->  (/)  e.  ( A  u.  { (/) } ) )
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  ( A  u.  { (/) } )
4443a1ii 27 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( w  \  { (/)
} )  C_  A  /\ [ C.]  Or  ( w 
\  { (/) } ) )  ->  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  (/)  e.  ( A  u.  { (/) } ) ) )
4520, 39, 44pm2.61ne 2697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( w  \  { (/)
} )  C_  A  /\ [ C.]  Or  ( w 
\  { (/) } ) )  ->  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/)
} ) ) )
4614, 45sylan2 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w  \  { (/)
} )  C_  A  /\ [ C.]  Or  w )  ->  ( A. z
( ( z  C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/)
} ) ) )
4711, 46sylanb 470 . . . . . 6  |-  ( ( w  C_  ( A  u.  { (/) } )  /\ [ C.] 
Or  w )  -> 
( A. z ( ( z  C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/)
} ) ) )
4847com12 31 . . . . 5  |-  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  (
( w  C_  ( A  u.  { (/) } )  /\ [ C.]  Or  w
)  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/)
} ) ) )
4948alrimiv 1727 . . . 4  |-  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  A. w
( ( w  C_  ( A  u.  { (/) } )  /\ [ C.]  Or  w
)  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/)
} ) ) )
50493ad2ant3 1017 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A ) )  ->  A. w ( ( w 
C_  ( A  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  w
)  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/)
} ) ) )
51 zorng 8797 . . 3  |-  ( ( ( A  u.  { (/)
} )  e.  dom  card  /\  A. w ( ( w  C_  ( A  u.  { (/) } )  /\ [ C.] 
Or  w )  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/) } ) ) )  ->  E. x  e.  ( A  u.  { (/)
} ) A. y  e.  ( A  u.  { (/)
} )  -.  x  C.  y )
527, 50, 51syl2anc 659 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A ) )  ->  E. x  e.  ( A  u.  { (/) } ) A. y  e.  ( A  u.  { (/) } )  -.  x  C.  y )
53 ssun1 3581 . . . . 5  |-  A  C_  ( A  u.  { (/) } )
54 ssralv 3478 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ( A  u.  {
(/) } )  ->  ( A. y  e.  ( A  u.  { (/) } )  -.  x  C.  y  ->  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
5553, 54ax-mp 5 . . . 4  |-  ( A. y  e.  ( A  u.  { (/) } )  -.  x  C.  y  ->  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
5655reximi 2850 . . 3  |-  ( E. x  e.  ( A  u.  { (/) } ) A. y  e.  ( A  u.  { (/) } )  -.  x  C.  y  ->  E. x  e.  ( A  u.  { (/) } ) A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
57 rexun 3598 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ( A  u.  { (/) } ) A. y  e.  A  -.  x  C.  y  <->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y  \/  E. x  e.  { (/) } A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
58 simpr 459 . . . . 5  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
59 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  { (/) } A. y  e.  A  -.  x  C.  y )  ->  E. x  e.  { (/) } A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
60 psseq1 3505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C.  y  <->  (/)  C.  y
) )
61 0pss 3780 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  C.  y  <->  y  =/=  (/) )
6260, 61syl6bb 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C.  y  <->  y  =/=  (/) ) )
6362notbid 292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( -.  x  C.  y  <->  -.  y  =/=  (/) ) )
64 nne 2583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  y  =/=  (/)  <->  y  =  (/) )
6563, 64syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( -.  x  C.  y  <->  y  =  (/) ) )
6665ralbidv 2821 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  C.  y  <->  A. y  e.  A  y  =  (/) ) )
6740, 66rexsn 3984 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  { (/) } A. y  e.  A  -.  x  C.  y  <->  A. y  e.  A  y  =  (/) )
68 eqsn 4105 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A  =  { (/) }  <->  A. y  e.  A  y  =  (/) ) )
6968biimpar 483 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  y  =  (/) )  ->  A  =  { (/) } )
7067, 69sylan2b 473 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  { (/) } A. y  e.  A  -.  x  C.  y )  ->  A  =  { (/) } )
7170rexeqdv 2986 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  { (/) } A. y  e.  A  -.  x  C.  y )  -> 
( E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y 
<->  E. x  e.  { (/)
} A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
7259, 71mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  { (/) } A. y  e.  A  -.  x  C.  y )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
7358, 72jaodan 783 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y  \/ 
E. x  e.  { (/)
} A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
7457, 73sylan2b 473 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ( A  u.  { (/) } ) A. y  e.  A  -.  x  C.  y )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
7556, 74sylan2 472 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ( A  u.  { (/) } ) A. y  e.  ( A  u.  { (/) } )  -.  x  C.  y )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
761, 52, 75syl2anc 659 1  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A ) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971   A.wal 1397    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   _Vcvv 3034    \ cdif 3386    u. cun 3387    C_ wss 3389    C. wpss 3390   (/)c0 3711   {csn 3944   U.cuni 4163    Or wor 4713   dom cdm 4913   [ C.] crpss 6478   Fincfn 7435   cardccrd 8229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-rpss 6479  df-om 6600  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-fin 7439  df-card 8233  df-cda 8461
This theorem is referenced by:  zornn0  8801  pgpfac1lem5  17243  lbsextlem4  17920  filssufilg  20497
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