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Theorem zornn0g 8341
Description: Variant of Zorn's lemma zorng 8340 in which  (/), the union of the empty chain, is not required to be an element of  A. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jan-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
zornn0g  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A ) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem zornn0g
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 958 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A ) )  ->  A  =/=  (/) )
2 simp1 957 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A ) )  ->  A  e.  dom  card )
3 snfi 7146 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  Fin
4 finnum 7791 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  e.  Fin  ->  { (/) }  e.  dom  card )
53, 4ax-mp 8 . . . 4  |-  { (/) }  e.  dom  card
6 unnum 8036 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
{ (/) }  e.  dom  card )  ->  ( A  u.  { (/) } )  e. 
dom  card )
72, 5, 6sylancl 644 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A ) )  -> 
( A  u.  { (/)
} )  e.  dom  card )
8 uncom 3451 . . . . . . . . 9  |-  ( A  u.  { (/) } )  =  ( { (/) }  u.  A )
98sseq2i 3333 . . . . . . . 8  |-  ( w 
C_  ( A  u.  {
(/) } )  <->  w  C_  ( { (/) }  u.  A
) )
10 ssundif 3671 . . . . . . . 8  |-  ( w 
C_  ( { (/) }  u.  A )  <->  ( w  \  { (/) } )  C_  A )
119, 10bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( w 
C_  ( A  u.  {
(/) } )  <->  ( w  \  { (/) } )  C_  A )
12 difss 3434 . . . . . . . . 9  |-  ( w 
\  { (/) } ) 
C_  w
13 soss 4481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  \  { (/) } )  C_  w  ->  ( [
C.]  Or  w  -> [ C.] 
Or  ( w  \  { (/) } ) ) )
1412, 13ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( [ C.]  Or  w  -> [ C.]  Or  ( w  \  { (/) } ) )
15 ssdif0 3646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w 
C_  { (/) }  <->  ( w  \  { (/) } )  =  (/) )
16 uni0b 4000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. w  =  (/)  <->  w  C_  { (/) } )
1716biimpri 198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w 
C_  { (/) }  ->  U. w  =  (/) )
1817eleq1d 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w 
C_  { (/) }  ->  ( U. w  e.  ( A  u.  { (/) } )  <->  (/)  e.  ( A  u.  { (/) } ) ) )
1915, 18sylbir 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  \  { (/) } )  =  (/)  ->  ( U. w  e.  ( A  u.  { (/) } )  <->  (/) 
e.  ( A  u.  {
(/) } ) ) )
2019imbi2d 308 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  \  { (/) } )  =  (/)  ->  (
( A. z ( ( z  C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z )  ->  U. z  e.  A )  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/)
} ) )  <->  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  (/)  e.  ( A  u.  { (/) } ) ) ) )
21 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  w  e. 
_V
22 difexg 4311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  _V  ->  (
w  \  { (/) } )  e.  _V )
2321, 22ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w 
\  { (/) } )  e.  _V
24 sseq1 3329 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( w  \  { (/) } )  -> 
( z  C_  A  <->  ( w  \  { (/) } )  C_  A )
)
25 neeq1 2575 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( w  \  { (/) } )  -> 
( z  =/=  (/)  <->  ( w  \  { (/) } )  =/=  (/) ) )
26 soeq2 4483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( w  \  { (/) } )  -> 
( [ C.]  Or  z  <-> [ C.] 
Or  ( w  \  { (/) } ) ) )
2724, 25, 263anbi123d 1254 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( w  \  { (/) } )  -> 
( ( z  C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z )  <->  ( (
w  \  { (/) } ) 
C_  A  /\  (
w  \  { (/) } )  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  (
w  \  { (/) } ) ) ) )
28 unieq 3984 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( w  \  { (/) } )  ->  U. z  =  U. ( w  \  { (/) } ) )
2928eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( w  \  { (/) } )  -> 
( U. z  e.  A  <->  U. ( w  \  { (/) } )  e.  A ) )
3027, 29imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( w  \  { (/) } )  -> 
( ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  <->  ( (
( w  \  { (/)
} )  C_  A  /\  ( w  \  { (/)
} )  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  ( w  \  { (/)
} ) )  ->  U. ( w  \  { (/)
} )  e.  A
) ) )
3123, 30spcv 3002 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  (
( ( w  \  { (/) } )  C_  A  /\  ( w  \  { (/) } )  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  (
w  \  { (/) } ) )  ->  U. (
w  \  { (/) } )  e.  A ) )
3231com12 29 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w  \  { (/)
} )  C_  A  /\  ( w  \  { (/)
} )  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  ( w  \  { (/)
} ) )  -> 
( A. z ( ( z  C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z )  ->  U. z  e.  A )  ->  U. (
w  \  { (/) } )  e.  A ) )
33323expa 1153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( w  \  { (/) } )  C_  A  /\  ( w  \  { (/) } )  =/=  (/) )  /\ [ C.]  Or  ( w  \  { (/) } ) )  ->  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  U. (
w  \  { (/) } )  e.  A ) )
3433an32s 780 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( w  \  { (/) } )  C_  A  /\ [ C.]  Or  (
w  \  { (/) } ) )  /\  ( w 
\  { (/) } )  =/=  (/) )  ->  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  U. (
w  \  { (/) } )  e.  A ) )
35 unidif0 4332 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. (
w  \  { (/) } )  =  U. w
3635eleq1i 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ( w  \  { (/) } )  e.  A  <->  U. w  e.  A )
37 elun1 3474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. w  e.  A  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/) } ) )
3836, 37sylbi 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. ( w  \  { (/) } )  e.  A  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/) } ) )
3934, 38syl6 31 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( w  \  { (/) } )  C_  A  /\ [ C.]  Or  (
w  \  { (/) } ) )  /\  ( w 
\  { (/) } )  =/=  (/) )  ->  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/)
} ) ) )
40 0ex 4299 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
4140snid 3801 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  { (/)
}
42 elun2 3475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e.  { (/) }  ->  (/)  e.  ( A  u.  { (/) } ) )
4341, 42ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  ( A  u.  { (/) } )
4443a1ii 25 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( w  \  { (/)
} )  C_  A  /\ [ C.]  Or  ( w 
\  { (/) } ) )  ->  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  (/)  e.  ( A  u.  { (/) } ) ) )
4520, 39, 44pm2.61ne 2642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( w  \  { (/)
} )  C_  A  /\ [ C.]  Or  ( w 
\  { (/) } ) )  ->  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/)
} ) ) )
4614, 45sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w  \  { (/)
} )  C_  A  /\ [ C.]  Or  w )  ->  ( A. z
( ( z  C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z )  ->  U. z  e.  A )  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/)
} ) ) )
4711, 46sylanb 459 . . . . . 6  |-  ( ( w  C_  ( A  u.  { (/) } )  /\ [ C.] 
Or  w )  -> 
( A. z ( ( z  C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z )  ->  U. z  e.  A )  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/)
} ) ) )
4847com12 29 . . . . 5  |-  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  (
( w  C_  ( A  u.  { (/) } )  /\ [ C.]  Or  w
)  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/)
} ) ) )
4948alrimiv 1638 . . . 4  |-  ( A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A )  ->  A. w
( ( w  C_  ( A  u.  { (/) } )  /\ [ C.]  Or  w )  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/)
} ) ) )
50493ad2ant3 980 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A ) )  ->  A. w ( ( w 
C_  ( A  u.  {
(/) } )  /\ [ C.]  Or  w )  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/)
} ) ) )
51 zorng 8340 . . 3  |-  ( ( ( A  u.  { (/)
} )  e.  dom  card  /\  A. w ( ( w  C_  ( A  u.  { (/) } )  /\ [ C.] 
Or  w )  ->  U. w  e.  ( A  u.  { (/) } ) ) )  ->  E. x  e.  ( A  u.  { (/)
} ) A. y  e.  ( A  u.  { (/)
} )  -.  x  C.  y )
527, 50, 51syl2anc 643 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A ) )  ->  E. x  e.  ( A  u.  { (/) } ) A. y  e.  ( A  u.  { (/) } )  -.  x  C.  y )
53 ssun1 3470 . . . . 5  |-  A  C_  ( A  u.  { (/) } )
54 ssralv 3367 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ( A  u.  {
(/) } )  ->  ( A. y  e.  ( A  u.  { (/) } )  -.  x  C.  y  ->  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
5553, 54ax-mp 8 . . . 4  |-  ( A. y  e.  ( A  u.  { (/) } )  -.  x  C.  y  ->  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
5655reximi 2773 . . 3  |-  ( E. x  e.  ( A  u.  { (/) } ) A. y  e.  ( A  u.  { (/) } )  -.  x  C.  y  ->  E. x  e.  ( A  u.  { (/) } ) A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
57 rexun 3487 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ( A  u.  { (/) } ) A. y  e.  A  -.  x  C.  y  <->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y  \/  E. x  e.  { (/) } A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
58 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
59 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  { (/) } A. y  e.  A  -.  x  C.  y )  ->  E. x  e.  { (/) } A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
60 psseq1 3394 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C.  y  <->  (/)  C.  y
) )
61 0pss 3625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  C.  y  <->  y  =/=  (/) )
6260, 61syl6bb 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C.  y  <->  y  =/=  (/) ) )
6362notbid 286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( -.  x  C.  y  <->  -.  y  =/=  (/) ) )
64 nne 2571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  y  =/=  (/)  <->  y  =  (/) )
6563, 64syl6bb 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( -.  x  C.  y  <->  y  =  (/) ) )
6665ralbidv 2686 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  C.  y  <->  A. y  e.  A  y  =  (/) ) )
6740, 66rexsn 3810 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  { (/) } A. y  e.  A  -.  x  C.  y  <->  A. y  e.  A  y  =  (/) )
68 eqsn 3920 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A  =  { (/) }  <->  A. y  e.  A  y  =  (/) ) )
6968biimpar 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. y  e.  A  y  =  (/) )  ->  A  =  { (/) } )
7067, 69sylan2b 462 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  { (/) } A. y  e.  A  -.  x  C.  y )  ->  A  =  { (/) } )
7170rexeqdv 2871 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  { (/) } A. y  e.  A  -.  x  C.  y )  -> 
( E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y 
<->  E. x  e.  { (/)
} A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
7259, 71mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  { (/) } A. y  e.  A  -.  x  C.  y )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
7358, 72jaodan 761 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y  \/ 
E. x  e.  { (/)
} A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
7457, 73sylan2b 462 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ( A  u.  { (/) } ) A. y  e.  A  -.  x  C.  y )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
7556, 74sylan2 461 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ( A  u.  { (/) } ) A. y  e.  ( A  u.  { (/) } )  -.  x  C.  y )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
761, 52, 75syl2anc 643 1  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. z ( ( z 
C_  A  /\  z  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  z
)  ->  U. z  e.  A ) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    C_ wss 3280    C. wpss 3281   (/)c0 3588   {csn 3774   U.cuni 3975    Or wor 4462   dom cdm 4837   [ C.] crpss 6480   Fincfn 7068   cardccrd 7778
This theorem is referenced by:  zornn0  8344  pgpfac1lem5  15592  lbsextlem4  16188  filssufilg  17896
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-rpss 6481  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-fin 7072  df-card 7782  df-cda 8004
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