Theorem zornn0 15764

Description: Variant of Zorn's lemma zorn 5959 in which (/), the union of the empty chain, is not required to be an element of A.

Hypothesis

Ref	Expression
zornn0.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
zornn0	|- ((A =/= (/) /\ A.z((z C_ A /\ z =/= (/) /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A)) -> E.x e. A A.y e. A -. x C. y)

Distinct variable group:   x,A,y,z

Proof of Theorem zornn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 350	. . . . 5 |- ((A =/= (/) /\ E.x e. A A.y e. A -. x C. y) -> E.x e. A A.y e. A -. x C. y)
2		simpr 350	. . . . . 6 |- ((A =/= (/) /\ E.x e. {(/)}A.y e. A -. x C. y) -> E.x e. {(/)}A.y e. A -. x C. y)
3		eqsn 3143	. . . . . . . . 9 |- (A =/= (/) -> (A = {(/)} <-> A.y e. A y = (/)))
4	3	biimpar 461	. . . . . . . 8 |- ((A =/= (/) /\ A.y e. A y = (/)) -> A = {(/)})
5		0ex 3446	. . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
6		psseq1 2697	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = (/) -> (x C. y <-> (/) C. y))
7		0pss 2910	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((/) C. y <-> y =/= (/))
8	6, 7	syl6bb 595	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = (/) -> (x C. y <-> y =/= (/)))
9	8	notbid 673	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (/) -> (-. x C. y <-> -. y =/= (/)))
10		nne 2021	. . . . . . . . . . 11 |- (-. y =/= (/) <-> y = (/))
11	9, 10	syl6bb 595	. . . . . . . . . 10 |- (x = (/) -> (-. x C. y <-> y = (/)))
12	11	ralbidv 2123	. . . . . . . . 9 |- (x = (/) -> (A.y e. A -. x C. y <-> A.y e. A y = (/)))
13	5, 12	rexsn 3073	. . . . . . . 8 |- (E.x e. {(/)}A.y e. A -. x C. y <-> A.y e. A y = (/))
14	4, 13	sylan2b 501	. . . . . . 7 |- ((A =/= (/) /\ E.x e. {(/)}A.y e. A -. x C. y) -> A = {(/)})
15	14	rexeqdv 2270	. . . . . 6 |- ((A =/= (/) /\ E.x e. {(/)}A.y e. A -. x C. y) -> (E.x e. A A.y e. A -. x C. y <-> E.x e. {(/)}A.y e. A -. x C. y))
16	2, 15	mpbird 213	. . . . 5 |- ((A =/= (/) /\ E.x e. {(/)}A.y e. A -. x C. y) -> E.x e. A A.y e. A -. x C. y)
17	1, 16	jaodan 471	. . . 4 |- ((A =/= (/) /\ (E.x e. A A.y e. A -. x C. y \/ E.x e. {(/)}A.y e. A -. x C. y)) -> E.x e. A A.y e. A -. x C. y)
18		rexun 2783	. . . 4 |- (E.x e. (A u. {(/)})A.y e. A -. x C. y <-> (E.x e. A A.y e. A -. x C. y \/ E.x e. {(/)}A.y e. A -. x C. y))
19	17, 18	sylan2b 501	. . 3 |- ((A =/= (/) /\ E.x e. (A u. {(/)})A.y e. A -. x C. y) -> E.x e. A A.y e. A -. x C. y)
20		ssun1 2767	. . . . 5 |- A C_ (A u. {(/)})
21		ssralv 2672	. . . . 5 |- (A C_ (A u. {(/)}) -> (A.y e. (A u. {(/)}) -. x C. y -> A.y e. A -. x C. y))
22	20, 21	ax-mp 7	. . . 4 |- (A.y e. (A u. {(/)}) -. x C. y -> A.y e. A -. x C. y)
23	22	reximi 2198	. . 3 |- (E.x e. (A u. {(/)})A.y e. (A u. {(/)}) -. x C. y -> E.x e. (A u. {(/)})A.y e. A -. x C. y)
24	19, 23	sylan2 500	. 2 |- ((A =/= (/) /\ E.x e. (A u. {(/)})A.y e. (A u. {(/)}) -. x C. y) -> E.x e. A A.y e. A -. x C. y)
25		ssdif0 2934	. . . . . . . . . 10 |- (w C_ {(/)} <-> (w \ {(/)}) = (/))
26		uni0b 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- (U.w = (/) <-> w C_ {(/)})
27	26	biimpri 169	. . . . . . . . . . 11 |- (w C_ {(/)} -> U.w = (/))
28	27	eleq1d 1963	. . . . . . . . . 10 |- (w C_ {(/)} -> (U.w e. (A u. {(/)}) <-> (/) e. (A u. {(/)})))
29	25, 28	sylbir 218	. . . . . . . . 9 |- ((w \ {(/)}) = (/) -> (U.w e. (A u. {(/)}) <-> (/) e. (A u. {(/)})))
30	29	imbi2d 674	. . . . . . . 8 |- ((w \ {(/)}) = (/) -> ((A.z((z C_ A /\ z =/= (/) /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> U.w e. (A u. {(/)})) <-> (A.z((z C_ A /\ z =/= (/) /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> (/) e. (A u. {(/)}))))
31		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . 14 |- w e. _V
32		difexg 3458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (w e. _V -> (w \ {(/)}) e. _V)
33	31, 32	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w \ {(/)}) e. _V
34		sseq1 2637	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z = (w \ {(/)}) -> (z C_ A <-> (w \ {(/)}) C_ A))
35		neeq1 2024	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z = (w \ {(/)}) -> (z =/= (/) <-> (w \ {(/)}) =/= (/)))
36		raleq 2266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z = (w \ {(/)}) -> (A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x) <-> A.y e. (w \ {(/)})(x C_ y \/ y C_ x)))
37	36	raleqbi1dv 2271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z = (w \ {(/)}) -> (A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x) <-> A.x e. (w \ {(/)})A.y e. (w \ {(/)})(x C_ y \/ y C_ x)))
38	34, 35, 37	3anbi123d 1168	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z = (w \ {(/)}) -> ((z C_ A /\ z =/= (/) /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) <-> ((w \ {(/)}) C_ A /\ (w \ {(/)}) =/= (/) /\ A.x e. (w \ {(/)})A.y e. (w \ {(/)})(x C_ y \/ y C_ x))))
39		unieq 3185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z = (w \ {(/)}) -> U.z = U.(w \ {(/)}))
40	39	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z = (w \ {(/)}) -> (U.z e. A <-> U.(w \ {(/)}) e. A))
41	38, 40	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = (w \ {(/)}) -> (((z C_ A /\ z =/= (/) /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) <-> (((w \ {(/)}) C_ A /\ (w \ {(/)}) =/= (/) /\ A.x e. (w \ {(/)})A.y e. (w \ {(/)})(x C_ y \/ y C_ x)) -> U.(w \ {(/)}) e. A)))
42	33, 41	cla4v 2370	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.z((z C_ A /\ z =/= (/) /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> (((w \ {(/)}) C_ A /\ (w \ {(/)}) =/= (/) /\ A.x e. (w \ {(/)})A.y e. (w \ {(/)})(x C_ y \/ y C_ x)) -> U.(w \ {(/)}) e. A))
43	42	com12 14	. . . . . . . . . . 11 |- (((w \ {(/)}) C_ A /\ (w \ {(/)}) =/= (/) /\ A.x e. (w \ {(/)})A.y e. (w \ {(/)})(x C_ y \/ y C_ x)) -> (A.z((z C_ A /\ z =/= (/) /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> U.(w \ {(/)}) e. A))
44	43	3expa 1067	. . . . . . . . . 10 |- ((((w \ {(/)}) C_ A /\ (w \ {(/)}) =/= (/)) /\ A.x e. (w \ {(/)})A.y e. (w \ {(/)})(x C_ y \/ y C_ x)) -> (A.z((z C_ A /\ z =/= (/) /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> U.(w \ {(/)}) e. A))
45	44	an1rs 547	. . . . . . . . 9 |- ((((w \ {(/)}) C_ A /\ A.x e. (w \ {(/)})A.y e. (w \ {(/)})(x C_ y \/ y C_ x)) /\ (w \ {(/)}) =/= (/)) -> (A.z((z C_ A /\ z =/= (/) /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> U.(w \ {(/)}) e. A))
46		unidif0 3476	. . . . . . . . . . 11 |- U.(w \ {(/)}) = U.w
47	46	eleq1i 1960	. . . . . . . . . 10 |- (U.(w \ {(/)}) e. A <-> U.w e. A)
48		elun1 2771	. . . . . . . . . 10 |- (U.w e. A -> U.w e. (A u. {(/)}))
49	47, 48	sylbi 216	. . . . . . . . 9 |- (U.(w \ {(/)}) e. A -> U.w e. (A u. {(/)}))
50	45, 49	syl6 25	. . . . . . . 8 |- ((((w \ {(/)}) C_ A /\ A.x e. (w \ {(/)})A.y e. (w \ {(/)})(x C_ y \/ y C_ x)) /\ (w \ {(/)}) =/= (/)) -> (A.z((z C_ A /\ z =/= (/) /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> U.w e. (A u. {(/)})))
51	5	snid 3069	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. {(/)}
52		elun2 2772	. . . . . . . . . 10 |- ((/) e. {(/)} -> (/) e. (A u. {(/)}))
53	51, 52	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (/) e. (A u. {(/)})
54	53	a1i12 9	. . . . . . . 8 |- (((w \ {(/)}) C_ A /\ A.x e. (w \ {(/)})A.y e. (w \ {(/)})(x C_ y \/ y C_ x)) -> (A.z((z C_ A /\ z =/= (/) /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> (/) e. (A u. {(/)})))
55	30, 50, 54	pm2.61ne 2087	. . . . . . 7 |- (((w \ {(/)}) C_ A /\ A.x e. (w \ {(/)})A.y e. (w \ {(/)})(x C_ y \/ y C_ x)) -> (A.z((z C_ A /\ z =/= (/) /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> U.w e. (A u. {(/)})))
56		difss 2735	. . . . . . . . 9 |- (w \ {(/)}) C_ w
57		ssralv 2672	. . . . . . . . 9 |- ((w \ {(/)}) C_ w -> (A.x e. w A.y e. w (x C_ y \/ y C_ x) -> A.x e. (w \ {(/)})A.y e. w (x C_ y \/ y C_ x)))
58	56, 57	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (A.x e. w A.y e. w (x C_ y \/ y C_ x) -> A.x e. (w \ {(/)})A.y e. w (x C_ y \/ y C_ x))
59		ssralv 2672	. . . . . . . . . 10 |- ((w \ {(/)}) C_ w -> (A.y e. w (x C_ y \/ y C_ x) -> A.y e. (w \ {(/)})(x C_ y \/ y C_ x)))
60	56, 59	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (A.y e. w (x C_ y \/ y C_ x) -> A.y e. (w \ {(/)})(x C_ y \/ y C_ x))
61	60	ralimi 2168	. . . . . . . 8 |- (A.x e. (w \ {(/)})A.y e. w (x C_ y \/ y C_ x) -> A.x e. (w \ {(/)})A.y e. (w \ {(/)})(x C_ y \/ y C_ x))
62	58, 61	syl 12	. . . . . . 7 |- (A.x e. w A.y e. w (x C_ y \/ y C_ x) -> A.x e. (w \ {(/)})A.y e. (w \ {(/)})(x C_ y \/ y C_ x))
63	55, 62	sylan2 500	. . . . . 6 |- (((w \ {(/)}) C_ A /\ A.x e. w A.y e. w (x C_ y \/ y C_ x)) -> (A.z((z C_ A /\ z =/= (/) /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> U.w e. (A u. {(/)})))
64		uncom 2744	. . . . . . . 8 |- (A u. {(/)}) = ({(/)} u. A)
65	64	sseq2i 2642	. . . . . . 7 |- (w C_ (A u. {(/)}) <-> w C_ ({(/)} u. A))
66		ssundif 2955	. . . . . . 7 |- (w C_ ({(/)} u. A) <-> (w \ {(/)}) C_ A)
67	65, 66	bitri 190	. . . . . 6 |- (w C_ (A u. {(/)}) <-> (w \ {(/)}) C_ A)
68	63, 67	sylanb 498	. . . . 5 |- ((w C_ (A u. {(/)}) /\ A.x e. w A.y e. w (x C_ y \/ y C_ x)) -> (A.z((z C_ A /\ z =/= (/) /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> U.w e. (A u. {(/)})))
69	68	com12 14	. . . 4 |- (A.z((z C_ A /\ z =/= (/) /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> ((w C_ (A u. {(/)}) /\ A.x e. w A.y e. w (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.w e. (A u. {(/)})))
70	69	19.21aiv 1664	. . 3 |- (A.z((z C_ A /\ z =/= (/) /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> A.w((w C_ (A u. {(/)}) /\ A.x e. w A.y e. w (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.w e. (A u. {(/)})))
71		zornn0.1	. . . . 5 |- A e. _V
72		p0ex 3495	. . . . 5 |- {(/)} e. _V
73	71, 72	unex 3796	. . . 4 |- (A u. {(/)}) e. _V
74	73	zorn 5959	. . 3 |- (A.w((w C_ (A u. {(/)}) /\ A.x e. w A.y e. w (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.w e. (A u. {(/)})) -> E.x e. (A u. {(/)})A.y e. (A u. {(/)}) -. x C. y)
75	70, 74	syl 12	. 2 |- (A.z((z C_ A /\ z =/= (/) /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> E.x e. (A u. {(/)})A.y e. (A u. {(/)}) -. x C. y)
76	24, 75	sylan2 500	1 |- ((A =/= (/) /\ A.z((z C_ A /\ z =/= (/) /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A)) -> E.x e. A A.y e. A -. x C. y)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   \ cdif 2590   u. cun 2591   C_ wss 2593   C. wpss 2594  (/)c0 2875  {csn 3044  U.cuni 3177

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-iso 4015

Copyright terms: Public domain