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Theorem zorn2lem6 8666
Description: Lemma for zorn2 8671. (Contributed by NM, 4-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zorn2lem.3  |-  F  = recs ( ( f  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e.  C  A. u  e.  C  -.  u w v ) ) )
zorn2lem.4  |-  C  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ran  f  g R z }
zorn2lem.5  |-  D  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x ) g R z }
zorn2lem.7  |-  H  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " y ) g R z }
Assertion
Ref Expression
zorn2lem6  |-  ( R  Po  A  ->  (
( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  R  Or  ( F " x
) ) )
Distinct variable groups:    f, g, u, v, w, x, y, z, A    D, f, u, v, y    f, F, g, u, v, x, y, z    R, f, g, u, v, w, x, y, z    v, C    x, H, u, v, f
Allowed substitution hints:    C( x, y, z, w, u, f, g)    D( x, z, w, g)    F( w)    H( y,
z, w, g)

Proof of Theorem zorn2lem6
Dummy variables  a 
b  r  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zorn2lem.3 . . . . . 6  |-  F  = recs ( ( f  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e.  C  A. u  e.  C  -.  u w v ) ) )
2 zorn2lem.4 . . . . . 6  |-  C  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ran  f  g R z }
3 zorn2lem.5 . . . . . 6  |-  D  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x ) g R z }
4 zorn2lem.7 . . . . . 6  |-  H  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " y ) g R z }
51, 2, 3, 4zorn2lem5 8665 . . . . 5  |-  ( ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  -> 
( F " x
)  C_  A )
6 poss 4639 . . . . 5  |-  ( ( F " x ) 
C_  A  ->  ( R  Po  A  ->  R  Po  ( F "
x ) ) )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  -> 
( R  Po  A  ->  R  Po  ( F
" x ) ) )
87com12 31 . . 3  |-  ( R  Po  A  ->  (
( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  R  Po  ( F " x
) ) )
91tfr1 6852 . . . . . . . 8  |-  F  Fn  On
10 fnfun 5505 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  On  ->  Fun  F )
11 fvelima 5740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  F  /\  s  e.  ( F " x
) )  ->  E. b  e.  x  ( F `  b )  =  s )
12 df-rex 2719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. b  e.  x  ( F `  b )  =  s  <->  E. b
( b  e.  x  /\  ( F `  b
)  =  s ) )
1311, 12sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  s  e.  ( F " x
) )  ->  E. b
( b  e.  x  /\  ( F `  b
)  =  s ) )
1413ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  ->  ( s  e.  ( F " x
)  ->  E. b
( b  e.  x  /\  ( F `  b
)  =  s ) ) )
15 fvelima 5740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  F  /\  r  e.  ( F " x
) )  ->  E. a  e.  x  ( F `  a )  =  r )
16 df-rex 2719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. a  e.  x  ( F `  a )  =  r  <->  E. a
( a  e.  x  /\  ( F `  a
)  =  r ) )
1715, 16sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  r  e.  ( F " x
) )  ->  E. a
( a  e.  x  /\  ( F `  a
)  =  r ) )
1817ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  ->  ( r  e.  ( F " x
)  ->  E. a
( a  e.  x  /\  ( F `  a
)  =  r ) ) )
1914, 18anim12d 560 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
F  ->  ( (
s  e.  ( F
" x )  /\  r  e.  ( F " x ) )  -> 
( E. b ( b  e.  x  /\  ( F `  b )  =  s )  /\  E. a ( a  e.  x  /\  ( F `
 a )  =  r ) ) ) )
209, 10, 19mp2b 10 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  ( F
" x )  /\  r  e.  ( F " x ) )  -> 
( E. b ( b  e.  x  /\  ( F `  b )  =  s )  /\  E. a ( a  e.  x  /\  ( F `
 a )  =  r ) ) )
21 an4 815 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  x  /\  a  e.  x
)  /\  ( ( F `  b )  =  s  /\  ( F `  a )  =  r ) )  <-> 
( ( b  e.  x  /\  ( F `
 b )  =  s )  /\  (
a  e.  x  /\  ( F `  a )  =  r ) ) )
22212exbii 1640 . . . . . . . 8  |-  ( E. b E. a ( ( b  e.  x  /\  a  e.  x
)  /\  ( ( F `  b )  =  s  /\  ( F `  a )  =  r ) )  <->  E. b E. a ( ( b  e.  x  /\  ( F `  b
)  =  s )  /\  ( a  e.  x  /\  ( F `
 a )  =  r ) ) )
23 eeanv 1936 . . . . . . . 8  |-  ( E. b E. a ( ( b  e.  x  /\  ( F `  b
)  =  s )  /\  ( a  e.  x  /\  ( F `
 a )  =  r ) )  <->  ( E. b ( b  e.  x  /\  ( F `
 b )  =  s )  /\  E. a ( a  e.  x  /\  ( F `
 a )  =  r ) ) )
2422, 23bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( E. b E. a ( ( b  e.  x  /\  a  e.  x
)  /\  ( ( F `  b )  =  s  /\  ( F `  a )  =  r ) )  <-> 
( E. b ( b  e.  x  /\  ( F `  b )  =  s )  /\  E. a ( a  e.  x  /\  ( F `
 a )  =  r ) ) )
2520, 24sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  ( F
" x )  /\  r  e.  ( F " x ) )  ->  E. b E. a ( ( b  e.  x  /\  a  e.  x
)  /\  ( ( F `  b )  =  s  /\  ( F `  a )  =  r ) ) )
264neeq1i 2616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  =/=  (/)  <->  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " y ) g R z }  =/=  (/) )
2726ralbii 2737 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  x  H  =/=  (/)  <->  A. y  e.  x  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " y ) g R z }  =/=  (/) )
28 imaeq2 5162 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  b  ->  ( F " y )  =  ( F " b
) )
2928raleqdv 2921 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  b  ->  ( A. g  e.  ( F " y ) g R z  <->  A. g  e.  ( F " b
) g R z ) )
3029rabbidv 2962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  b  ->  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " y ) g R z }  =  {
z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z } )
3130neeq1d 2619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  b  ->  ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " y ) g R z }  =/=  (/)  <->  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/) ) )
3231rspccv 3067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  x  {
z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " y ) g R z }  =/=  (/) 
->  ( b  e.  x  ->  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/) ) )
33 imaeq2 5162 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  a  ->  ( F " y )  =  ( F " a
) )
3433raleqdv 2921 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  a  ->  ( A. g  e.  ( F " y ) g R z  <->  A. g  e.  ( F " a
) g R z ) )
3534rabbidv 2962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  a  ->  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " y ) g R z }  =  {
z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z } )
3635neeq1d 2619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  a  ->  ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " y ) g R z }  =/=  (/)  <->  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) ) )
3736rspccv 3067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  x  {
z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " y ) g R z }  =/=  (/) 
->  ( a  e.  x  ->  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) ) )
3832, 37anim12d 560 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  x  {
z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " y ) g R z }  =/=  (/) 
->  ( ( b  e.  x  /\  a  e.  x )  ->  ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/)  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) ) ) )
3927, 38sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  x  H  =/=  (/)  ->  ( (
b  e.  x  /\  a  e.  x )  ->  ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b
) g R z }  =/=  (/)  /\  {
z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) ) ) )
40 onelon 4740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  On  /\  b  e.  x )  ->  b  e.  On )
41 onelon 4740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  On  /\  a  e.  x )  ->  a  e.  On )
4240, 41anim12dan 828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( b  e.  x  /\  a  e.  x
) )  ->  (
b  e.  On  /\  a  e.  On )
)
4342ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  On  ->  (
( b  e.  x  /\  a  e.  x
)  ->  ( b  e.  On  /\  a  e.  On ) ) )
44 eloni 4725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  e.  On  ->  Ord  b )
45 eloni 4725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  On  ->  Ord  a )
46 ordtri3or 4747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Ord  b  /\  Ord  a )  ->  (
b  e.  a  \/  b  =  a  \/  a  e.  b ) )
4744, 45, 46syl2an 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  ->  ( b  e.  a  \/  b  =  a  \/  a  e.  b ) )
48 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =  {
z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }
491, 2, 48zorn2lem2 8662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( a  e.  On  /\  ( w  We  A  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) ) )  -> 
( b  e.  a  ->  ( F `  b ) R ( F `  a ) ) )
5049adantll 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  /\  ( w  We  A  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) ) )  ->  ( b  e.  a  ->  ( F `  b ) R ( F `  a ) ) )
51 breq12 4294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F `  b
)  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  -> 
( ( F `  b ) R ( F `  a )  <-> 
s R r ) )
5251biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F `  b ) R ( F `  a )  ->  (
( ( F `  b )  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  ->  s R
r ) )
5350, 52syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  /\  ( w  We  A  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) ) )  ->  ( b  e.  a  ->  ( (
( F `  b
)  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  -> 
s R r ) ) )
5453com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  /\  ( w  We  A  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) ) )  ->  ( ( ( F `  b )  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  -> 
( b  e.  a  ->  s R r ) ) )
5554adantrrl 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  /\  ( w  We  A  /\  ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/) 
/\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a
) g R z }  =/=  (/) ) ) )  ->  ( (
( F `  b
)  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  -> 
( b  e.  a  ->  s R r ) ) )
5655imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  /\  (
w  We  A  /\  ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/)  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) ) ) )  /\  ( ( F `  b )  =  s  /\  ( F `  a )  =  r ) )  ->  ( b  e.  a  ->  s R
r ) )
57 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( b  =  a  ->  ( F `  b )  =  ( F `  a ) )
58 eqeq12 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F `  b
)  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  -> 
( ( F `  b )  =  ( F `  a )  <-> 
s  =  r ) )
5957, 58syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F `  b
)  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  -> 
( b  =  a  ->  s  =  r ) )
6059adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  /\  (
w  We  A  /\  ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/)  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) ) ) )  /\  ( ( F `  b )  =  s  /\  ( F `  a )  =  r ) )  ->  ( b  =  a  ->  s  =  r ) )
61 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =  {
z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }
621, 2, 61zorn2lem2 8662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( b  e.  On  /\  ( w  We  A  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/) ) )  -> 
( a  e.  b  ->  ( F `  a ) R ( F `  b ) ) )
6362adantlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  /\  ( w  We  A  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/) ) )  ->  ( a  e.  b  ->  ( F `  a ) R ( F `  b ) ) )
64 breq12 4294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( F `  a
)  =  r  /\  ( F `  b )  =  s )  -> 
( ( F `  a ) R ( F `  b )  <-> 
r R s ) )
6564ancoms 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F `  b
)  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  -> 
( ( F `  a ) R ( F `  b )  <-> 
r R s ) )
6665biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F `  a ) R ( F `  b )  ->  (
( ( F `  b )  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  ->  r R
s ) )
6763, 66syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  /\  ( w  We  A  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/) ) )  ->  ( a  e.  b  ->  ( (
( F `  b
)  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  -> 
r R s ) ) )
6867com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  /\  ( w  We  A  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/) ) )  ->  ( ( ( F `  b )  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  -> 
( a  e.  b  ->  r R s ) ) )
6968adantrrr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  /\  ( w  We  A  /\  ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/) 
/\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a
) g R z }  =/=  (/) ) ) )  ->  ( (
( F `  b
)  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  -> 
( a  e.  b  ->  r R s ) ) )
7069imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  /\  (
w  We  A  /\  ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/)  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) ) ) )  /\  ( ( F `  b )  =  s  /\  ( F `  a )  =  r ) )  ->  ( a  e.  b  ->  r R
s ) )
7156, 60, 703orim123d 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  /\  (
w  We  A  /\  ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/)  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) ) ) )  /\  ( ( F `  b )  =  s  /\  ( F `  a )  =  r ) )  ->  ( ( b  e.  a  \/  b  =  a  \/  a  e.  b )  ->  (
s R r  \/  s  =  r  \/  r R s ) ) )
7247, 71syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  /\  (
w  We  A  /\  ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/)  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) ) ) )  /\  ( ( F `  b )  =  s  /\  ( F `  a )  =  r ) )  ->  ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  ->  (
s R r  \/  s  =  r  \/  r R s ) ) )
7372exp31 601 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  ->  ( ( w  We  A  /\  ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/) 
/\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a
) g R z }  =/=  (/) ) )  ->  ( ( ( F `  b )  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  -> 
( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  ->  (
s R r  \/  s  =  r  \/  r R s ) ) ) ) )
7473com4r 86 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  ->  ( ( b  e.  On  /\  a  e.  On )  ->  (
( w  We  A  /\  ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b
) g R z }  =/=  (/)  /\  {
z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) ) )  ->  (
( ( F `  b )  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  ->  ( s R r  \/  s  =  r  \/  r R s ) ) ) ) )
7543, 43, 74syl6c 64 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  On  ->  (
( b  e.  x  /\  a  e.  x
)  ->  ( (
w  We  A  /\  ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/)  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) ) )  ->  ( ( ( F `  b )  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  -> 
( s R r  \/  s  =  r  \/  r R s ) ) ) ) )
7675exp4a 603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  On  ->  (
( b  e.  x  /\  a  e.  x
)  ->  ( w  We  A  ->  ( ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/)  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) )  -> 
( ( ( F `
 b )  =  s  /\  ( F `
 a )  =  r )  ->  (
s R r  \/  s  =  r  \/  r R s ) ) ) ) ) )
7776com3r 79 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  We  A  ->  (
x  e.  On  ->  ( ( b  e.  x  /\  a  e.  x
)  ->  ( ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/)  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) )  -> 
( ( ( F `
 b )  =  s  /\  ( F `
 a )  =  r )  ->  (
s R r  \/  s  =  r  \/  r R s ) ) ) ) ) )
7877imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  ->  ( ( b  e.  x  /\  a  e.  x )  ->  (
( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b
) g R z }  =/=  (/)  /\  {
z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) )  ->  ( (
( F `  b
)  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  -> 
( s R r  \/  s  =  r  \/  r R s ) ) ) ) )
7978a2d 26 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  ->  ( ( ( b  e.  x  /\  a  e.  x )  ->  ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " b ) g R z }  =/=  (/)  /\  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " a ) g R z }  =/=  (/) ) )  ->  ( ( b  e.  x  /\  a  e.  x )  ->  (
( ( F `  b )  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  ->  ( s R r  \/  s  =  r  \/  r R s ) ) ) ) )
8039, 79syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  ->  ( A. y  e.  x  H  =/=  (/)  ->  (
( b  e.  x  /\  a  e.  x
)  ->  ( (
( F `  b
)  =  s  /\  ( F `  a )  =  r )  -> 
( s R r  \/  s  =  r  \/  r R s ) ) ) ) )
8180imp4b 587 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  -> 
( ( ( b  e.  x  /\  a  e.  x )  /\  (
( F `  b
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8281exlimdvv 1696 . . . . . 6  |-  ( ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  -> 
( E. b E. a ( ( b  e.  x  /\  a  e.  x )  /\  (
( F `  b
)  =  s  /\  ( F `  a )  =  r ) )  ->  ( s R r  \/  s  =  r  \/  r R s ) ) )
8325, 82syl5 32 . . . . 5  |-  ( ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  -> 
( ( s  e.  ( F " x
)  /\  r  e.  ( F " x ) )  ->  ( s R r  \/  s  =  r  \/  r R s ) ) )
8483ralrimivv 2805 . . . 4  |-  ( ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  A. s  e.  ( F " x ) A. r  e.  ( F " x ) ( s R r  \/  s  =  r  \/  r R s ) )
8584a1i 11 . . 3  |-  ( R  Po  A  ->  (
( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  A. s  e.  ( F " x
) A. r  e.  ( F " x
) ( s R r  \/  s  =  r  \/  r R s ) ) )
868, 85jcad 530 . 2  |-  ( R  Po  A  ->  (
( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  ( R  Po  ( F " x )  /\  A. s  e.  ( F " x ) A. r  e.  ( F " x
) ( s R r  \/  s  =  r  \/  r R s ) ) ) )
87 df-so 4638 . 2  |-  ( R  Or  ( F "
x )  <->  ( R  Po  ( F " x
)  /\  A. s  e.  ( F " x
) A. r  e.  ( F " x
) ( s R r  \/  s  =  r  \/  r R s ) ) )
8886, 87syl6ibr 227 1  |-  ( R  Po  A  ->  (
( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  R  Or  ( F " x
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 959    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   _Vcvv 2970    C_ wss 3325   (/)c0 3634   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347    Po wpo 4635    Or wor 4636    We wwe 4674   Ord word 4714   Oncon0 4715   ran crn 4837   "cima 4839   Fun wfun 5409    Fn wfn 5410   ` cfv 5415   iota_crio 6048  recscrecs 6827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-recs 6828
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