Theorem zorn2g 8775

Description: Zorn's Lemma of [Monk1] p. 117. This version of zorn2 8778 avoids the Axiom of Choice by assuming that A is well-orderable. (Contributed by NM, 6-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
zorn2g	|- ( ( A e. dom card /\ R Po A /\ A. w ( ( w C_ A /\ R Or w ) -> E. x e. A A. z e. w ( z R x \/ z = x ) ) ) -> E. x e. A A. y e. A -. x R y )

Distinct variable groups:   x, y, z, w, R   x, A, y, z, w

Proof of Theorem zorn2g

Dummy variables v u g h t s r q d k m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4395	. . . . . . . . 9 |- ( g = k -> ( g q n <-> k q n ) )
2	1	notbid 294	. . . . . . . 8 |- ( g = k -> ( -. g q n <-> -. k q n ) )
3	2	cbvralv 3045	. . . . . . 7 |- ( A. g e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. g q n <-> A. k e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. k q n )
4		breq2 4396	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( k q n <-> k q m ) )
5	4	notbid 294	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( -. k q n <-> -. k q m ) )
6	5	ralbidv 2838	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( A. k e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. k q n <-> A. k e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. k q m ) )
7	3, 6	syl5bb 257	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( A. g e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. g q n <-> A. k e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. k q m ) )
8	7	cbvriotav 6164	. . . . 5 |- ( iota_ n e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } A. g e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. g q n ) = ( iota_ m e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } A. k e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. k q m )
9		rneq 5165	. . . . . . . 8 |- ( h = d -> ran h = ran d )
10	9	raleqdv 3021	. . . . . . 7 |- ( h = d -> ( A. q e. ran h q R v <-> A. q e. ran d q R v ) )
11	10	rabbidv 3062	. . . . . 6 |- ( h = d -> { v e. A | A. q e. ran h q R v } = { v e. A | A. q e. ran d q R v } )
12	11	raleqdv 3021	. . . . . 6 |- ( h = d -> ( A. k e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. k q m <-> A. k e. { v e. A | A. q e. ran d q R v } -. k q m ) )
13	11, 12	riotaeqbidv 6156	. . . . 5 |- ( h = d -> ( iota_ m e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } A. k e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. k q m ) = ( iota_ m e. { v e. A | A. q e. ran d q R v } A. k e. { v e. A | A. q e. ran d q R v } -. k q m ) )
14	8, 13	syl5eq 2504	. . . 4 |- ( h = d -> ( iota_ n e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } A. g e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. g q n ) = ( iota_ m e. { v e. A | A. q e. ran d q R v } A. k e. { v e. A | A. q e. ran d q R v } -. k q m ) )
15	14	cbvmptv 4483	. . 3 |- ( h e. _V |-> ( iota_ n e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } A. g e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. g q n ) ) = ( d e. _V |-> ( iota_ m e. { v e. A | A. q e. ran d q R v } A. k e. { v e. A | A. q e. ran d q R v } -. k q m ) )
16		recseq 6935	. . 3 |- ( ( h e. _V |-> ( iota_ n e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } A. g e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. g q n ) ) = ( d e. _V |-> ( iota_ m e. { v e. A | A. q e. ran d q R v } A. k e. { v e. A | A. q e. ran d q R v } -. k q m ) ) -> recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ n e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } A. g e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. g q n ) ) ) = recs ( ( d e. _V |-> ( iota_ m e. { v e. A | A. q e. ran d q R v } A. k e. { v e. A | A. q e. ran d q R v } -. k q m ) ) ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. 2 |- recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ n e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } A. g e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. g q n ) ) ) = recs ( ( d e. _V |-> ( iota_ m e. { v e. A | A. q e. ran d q R v } A. k e. { v e. A | A. q e. ran d q R v } -. k q m ) ) )
18		breq1 4395	. . . . 5 |- ( q = s -> ( q R v <-> s R v ) )
19	18	cbvralv 3045	. . . 4 |- ( A. q e. ran d q R v <-> A. s e. ran d s R v )
20		breq2 4396	. . . . 5 |- ( v = r -> ( s R v <-> s R r ) )
21	20	ralbidv 2838	. . . 4 |- ( v = r -> ( A. s e. ran d s R v <-> A. s e. ran d s R r ) )
22	19, 21	syl5bb 257	. . 3 |- ( v = r -> ( A. q e. ran d q R v <-> A. s e. ran d s R r ) )
23	22	cbvrabv 3069	. 2 |- { v e. A | A. q e. ran d q R v } = { r e. A | A. s e. ran d s R r }
24		eqid 2451	. 2 |- { r e. A | A. s e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ n e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } A. g e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. g q n ) ) ) " u ) s R r } = { r e. A | A. s e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ n e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } A. g e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. g q n ) ) ) " u ) s R r }
25		eqid 2451	. 2 |- { r e. A | A. s e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ n e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } A. g e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. g q n ) ) ) " t ) s R r } = { r e. A | A. s e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ n e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } A. g e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. g q n ) ) ) " t ) s R r }
26	17, 23, 24, 25	zorn2lem7 8774	1 |- ( ( A e. dom card /\ R Po A /\ A. w ( ( w C_ A /\ R Or w ) -> E. x e. A A. z e. w ( z R x \/ z = x ) ) ) -> E. x e. A A. y e. A -. x R y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   A.wal 1368   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   {crab 2799   _Vcvv 3070   C_ wss 3428   class class class wbr 4392   |-> cmpt 4450   Po wpo 4739   Or wor 4740   dom cdm 4940   ran crn 4941   "cima 4943   iota_crio 6152  recscrecs 6933   cardccrd 8208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-recs 6934  df-en 7413  df-card 8212

This theorem is referenced by:  zorng  8776  zorn2  8778