Theorem zorn 5959

Description: Zorn's Lemma. If the union of every chain (with respect to inclusion) in a set belongs to the set, then the set contains a maximal element. This theorem is equivalent to the Axiom of Choice. Theorem 6M of [Enderton] p. 151. See zorn2 5958 for a version with general partial orderings.

Hypothesis

Ref	Expression
zorn2.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
zorn	|- (A.z((z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> E.x e. A A.y e. A -. x C. y)

Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem zorn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zorn2.1	. . . 4 |- A e. _V
2	1	zorn2 5958	. . 3 |- (({<.w, v>. | w C. v} Po A /\ A.z((z C_ A /\ {<.w, v>. | w C. v} Or z) -> E.x e. A A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x))) -> E.x e. A A.y e. A -. x{<.w, v>. | w C. v}y)
3		pssirr 2708	. . . . . . . 8 |- -. u C. u
4		zornlem 5957	. . . . . . . 8 |- (u{<.w, v>. | w C. v}u <-> u C. u)
5	3, 4	mtbir 209	. . . . . . 7 |- -. u{<.w, v>. | w C. v}u
6		psstr 2714	. . . . . . . . 9 |- ((u C. y /\ y C. x) -> u C. x)
7		zornlem 5957	. . . . . . . . 9 |- (u{<.w, v>. | w C. v}x <-> u C. x)
8	6, 7	sylibr 217	. . . . . . . 8 |- ((u C. y /\ y C. x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x)
9		zornlem 5957	. . . . . . . 8 |- (u{<.w, v>. | w C. v}y <-> u C. y)
10		zornlem 5957	. . . . . . . 8 |- (y{<.w, v>. | w C. v}x <-> y C. x)
11	8, 9, 10	syl2anb 504	. . . . . . 7 |- ((u{<.w, v>. | w C. v}y /\ y{<.w, v>. | w C. v}x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x)
12	5, 11	pm3.2i 307	. . . . . 6 |- (-. u{<.w, v>. | w C. v}u /\ ((u{<.w, v>. | w C. v}y /\ y{<.w, v>. | w C. v}x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x))
13	12	a1i 8	. . . . 5 |- ((u e. A /\ y e. A /\ x e. A) -> (-. u{<.w, v>. | w C. v}u /\ ((u{<.w, v>. | w C. v}y /\ y{<.w, v>. | w C. v}x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x)))
14	13	rgen3 2187	. . . 4 |- A.u e. A A.y e. A A.x e. A (-. u{<.w, v>. | w C. v}u /\ ((u{<.w, v>. | w C. v}y /\ y{<.w, v>. | w C. v}x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x))
15		df-po 3591	. . . 4 |- ({<.w, v>. | w C. v} Po A <-> A.u e. A A.y e. A A.x e. A (-. u{<.w, v>. | w C. v}u /\ ((u{<.w, v>. | w C. v}y /\ y{<.w, v>. | w C. v}x) -> u{<.w, v>. | w C. v}x)))
16	14, 15	mpbir 207	. . 3 |- {<.w, v>. | w C. v} Po A
17		df-so 3604	. . . . . . . 8 |- ({<.w, v>. | w C. v} Or z <-> ({<.w, v>. | w C. v} Po z /\ A.x e. z A.y e. z (x{<.w, v>. | w C. v}y \/ x = y \/ y{<.w, v>. | w C. v}x)))
18	17	simprbi 353	. . . . . . 7 |- ({<.w, v>. | w C. v} Or z -> A.x e. z A.y e. z (x{<.w, v>. | w C. v}y \/ x = y \/ y{<.w, v>. | w C. v}x))
19		zornlem 5957	. . . . . . . . . 10 |- (x{<.w, v>. | w C. v}y <-> x C. y)
20		biid 187	. . . . . . . . . 10 |- (x = y <-> x = y)
21	19, 20, 10	3orbi123i 1057	. . . . . . . . 9 |- ((x{<.w, v>. | w C. v}y \/ x = y \/ y{<.w, v>. | w C. v}x) <-> (x C. y \/ x = y \/ y C. x))
22		sspsstri 2711	. . . . . . . . 9 |- ((x C_ y \/ y C_ x) <-> (x C. y \/ x = y \/ y C. x))
23	21, 22	bitr4i 193	. . . . . . . 8 |- ((x{<.w, v>. | w C. v}y \/ x = y \/ y{<.w, v>. | w C. v}x) <-> (x C_ y \/ y C_ x))
24	23	2ralbii 2129	. . . . . . 7 |- (A.x e. z A.y e. z (x{<.w, v>. | w C. v}y \/ x = y \/ y{<.w, v>. | w C. v}x) <-> A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x))
25	18, 24	sylib 215	. . . . . 6 |- ({<.w, v>. | w C. v} Or z -> A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x))
26	25	anim2i 362	. . . . 5 |- ((z C_ A /\ {<.w, v>. | w C. v} Or z) -> (z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)))
27		risset 2145	. . . . . 6 |- (U.z e. A <-> E.x e. A x = U.z)
28		eqimss2 2667	. . . . . . . . 9 |- (x = U.z -> U.z C_ x)
29		unissb 3208	. . . . . . . . 9 |- (U.z C_ x <-> A.u e. z u C_ x)
30	28, 29	sylib 215	. . . . . . . 8 |- (x = U.z -> A.u e. z u C_ x)
31	7	orbi1i 276	. . . . . . . . . 10 |- ((u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x) <-> (u C. x \/ u = x))
32		sspss 2707	. . . . . . . . . 10 |- (u C_ x <-> (u C. x \/ u = x))
33	31, 32	bitr4i 193	. . . . . . . . 9 |- ((u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x) <-> u C_ x)
34	33	ralbii 2127	. . . . . . . 8 |- (A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x) <-> A.u e. z u C_ x)
35	30, 34	sylibr 217	. . . . . . 7 |- (x = U.z -> A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x))
36	35	reximi 2198	. . . . . 6 |- (E.x e. A x = U.z -> E.x e. A A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x))
37	27, 36	sylbi 216	. . . . 5 |- (U.z e. A -> E.x e. A A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x))
38	26, 37	imim12i 21	. . . 4 |- (((z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> ((z C_ A /\ {<.w, v>. | w C. v} Or z) -> E.x e. A A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x)))
39	38	alimi 1338	. . 3 |- (A.z((z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> A.z((z C_ A /\ {<.w, v>. | w C. v} Or z) -> E.x e. A A.u e. z (u{<.w, v>. | w C. v}x \/ u = x)))
40	2, 16, 39	sylancr 526	. 2 |- (A.z((z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> E.x e. A A.y e. A -. x{<.w, v>. | w C. v}y)
41	19	notbii 204	. . . 4 |- (-. x{<.w, v>. | w C. v}y <-> -. x C. y)
42	41	ralbii 2127	. . 3 |- (A.y e. A -. x{<.w, v>. | w C. v}y <-> A.y e. A -. x C. y)
43	42	rexbii 2128	. 2 |- (E.x e. A A.y e. A -. x{<.w, v>. | w C. v}y <-> E.x e. A A.y e. A -. x C. y)
44	40, 43	sylib 215	1 |- (A.z((z C_ A /\ A.x e. z A.y e. z (x C_ y \/ y C_ x)) -> U.z e. A) -> E.x e. A A.y e. A -. x C. y)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   \/ wo 239   /\ wa 240   \/ w3o 857   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   C_ wss 2593   C. wpss 2594  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  {copab 3395   Po wpo 3589   Or wor 3590

This theorem is referenced by:  infxpidmlem9 8829  alexsublem2 15438  filssufil 15571  zornn0 15764

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-iso 4015

Copyright terms: Public domain