MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znzrhfo Structured version   Unicode version

Theorem znzrhfo 17980
Description: The  ZZ ring homomorphism is a surjection onto  ZZ  /  n ZZ. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
znzrhfo.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
znzrhfo.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
znzrhfo.2  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
Assertion
Ref Expression
znzrhfo  |-  ( N  e.  NN0  ->  L : ZZ -onto-> B )

Proof of Theorem znzrhfo
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2444 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  (ring  /.s  (ring ~QG  ( (RSpan ` ring ) `  { N } ) ) )  =  (ring 
/.s  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )
2 zringbas 17889 . . . . 5  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
32a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ZZ  =  ( Base ` ring ) )
4 eqid 2443 . . . 4  |-  ( x  e.  ZZ  |->  [ x ] (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) )  =  ( x  e.  ZZ  |->  [ x ]
(ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) )
5 ovex 6116 . . . . 5  |-  (ring ~QG  ( (RSpan ` ring ) `  { N } ) )  e. 
_V
65a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  (ring ~QG  ( (RSpan ` ring ) `  { N } ) )  e. 
_V )
7 zringrng 17886 . . . . 5  |-ring  e.  Ring
87a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->ring  e.  Ring )
91, 3, 4, 6, 8divslem 14481 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( x  e.  ZZ  |->  [ x ] (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) : ZZ -onto-> ( ZZ
/. (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )
10 eqid 2443 . . . . . 6  |-  (RSpan ` ring )  =  (RSpan ` ring )
11 znzrhfo.y . . . . . 6  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
12 eqid 2443 . . . . . 6  |-  (ring ~QG  ( (RSpan ` ring ) `  { N } ) )  =  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) )
1310, 11, 12znbas 17976 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ZZ
/. (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) )  =  ( Base `  Y
) )
14 znzrhfo.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
1513, 14syl6eqr 2493 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ZZ
/. (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) )  =  B )
16 foeq3 5618 . . . 4  |-  ( ( ZZ /. (ring ~QG  ( (RSpan ` ring ) `  { N } ) ) )  =  B  ->  (
( x  e.  ZZ  |->  [ x ] (ring ~QG  ( (RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) : ZZ -onto-> ( ZZ
/. (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) )  <-> 
( x  e.  ZZ  |->  [ x ] (ring ~QG  ( (RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) : ZZ -onto-> B ) )
1715, 16syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  [ x ] (ring ~QG  ( (RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) : ZZ -onto-> ( ZZ
/. (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) )  <-> 
( x  e.  ZZ  |->  [ x ] (ring ~QG  ( (RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) : ZZ -onto-> B ) )
189, 17mpbid 210 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( x  e.  ZZ  |->  [ x ] (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) : ZZ -onto-> B )
19 znzrhfo.2 . . . 4  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
2010, 12, 11, 19znzrh2 17978 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  L  =  ( x  e.  ZZ  |->  [ x ] (ring ~QG  ( (RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )
21 foeq1 5616 . . 3  |-  ( L  =  ( x  e.  ZZ  |->  [ x ]
(ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) )  ->  ( L : ZZ -onto-> B  <->  ( x  e.  ZZ  |->  [ x ]
(ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) : ZZ -onto-> B ) )
2220, 21syl 16 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( L : ZZ -onto-> B  <->  ( x  e.  ZZ  |->  [ x ]
(ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) : ZZ -onto-> B ) )
2318, 22mpbird 232 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  L : ZZ -onto-> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2972   {csn 3877    e. cmpt 4350   -onto->wfo 5416   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   [cec 7099   /.cqs 7100   NN0cn0 10579   ZZcz 10646   Basecbs 14174    /.s cqus 14443   ~QG cqg 15677   Ringcrg 16645  RSpancrsp 17252  ℤringzring 17883   ZRHomczrh 17931  ℤ/nczn 17934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-tpos 6745  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-ec 7103  df-qs 7107  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-fz 11438  df-seq 11807  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-0g 14380  df-imas 14446  df-divs 14447  df-mnd 15415  df-mhm 15464  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-mulg 15548  df-subg 15678  df-nsg 15679  df-eqg 15680  df-ghm 15745  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-cring 16648  df-oppr 16715  df-rnghom 16806  df-subrg 16863  df-lmod 16950  df-lss 17014  df-lsp 17053  df-sra 17253  df-rgmod 17254  df-lidl 17255  df-rsp 17256  df-2idl 17314  df-cnfld 17819  df-zring 17884  df-zrh 17935  df-zn 17938
This theorem is referenced by:  zncyg  17981  znf1o  17984  zzngim  17985  znfld  17993  znunit  17996  znrrg  17998  cygznlem2a  18000  cygznlem3  18002  dchrelbas4  22582  dchrzrhcl  22584  lgsdchrval  22686  lgsdchr  22687  rpvmasumlem  22736  dchrmusum2  22743  dchrvmasumlem3  22748  dchrisum0ff  22756  dchrisum0flblem1  22757  rpvmasum2  22761  dchrisum0re  22762  dchrisum0lem2a  22766  dirith  22778
  Copyright terms: Public domain W3C validator