Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znval Structured version   Unicode version

Theorem znval 19104
 Description: The value of the ℤ/nℤ structure. It is defined as the quotient ring , with an "artificial" ordering added to make it a Toset. (In other words, ℤ/nℤ is a ring with an order , but it is not an ordered ring , which as a term implies that the order is compatible with the ring operations in some way.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znval.s RSpanring
znval.u ring s ring ~QG
znval.y ℤ/n
znval.f RHom
znval.w ..^
znval.l
Assertion
Ref Expression
znval sSet

Proof of Theorem znval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znval.y . 2 ℤ/n
2 zringring 19040 . . . . 5 ring
32a1i 11 . . . 4 ring
4 ovex 6333 . . . . . 6 s ~QG RSpan
54a1i 11 . . . . 5 ring s ~QG RSpan
6 id 22 . . . . . . 7 s ~QG RSpan s ~QG RSpan
7 simpr 462 . . . . . . . . 9 ring ring
87fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . 12 ring RSpan RSpanring
9 znval.s . . . . . . . . . . . 12 RSpanring
108, 9syl6eqr 2481 . . . . . . . . . . 11 ring RSpan
11 simpl 458 . . . . . . . . . . . 12 ring
1211sneqd 4010 . . . . . . . . . . 11 ring
1310, 12fveq12d 5887 . . . . . . . . . 10 ring RSpan
147, 13oveq12d 6323 . . . . . . . . 9 ring ~QG RSpan ring ~QG
157, 14oveq12d 6323 . . . . . . . 8 ring s ~QG RSpan ring s ring ~QG
16 znval.u . . . . . . . 8 ring s ring ~QG
1715, 16syl6eqr 2481 . . . . . . 7 ring s ~QG RSpan
186, 17sylan9eqr 2485 . . . . . 6 ring s ~QG RSpan
19 fvex 5891 . . . . . . . . . 10 RHom
2019resex 5167 . . . . . . . . 9 RHom ..^
2120a1i 11 . . . . . . . 8 ring s ~QG RSpan RHom ..^
22 id 22 . . . . . . . . . . . 12 RHom ..^ RHom ..^
2318fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . 14 ring s ~QG RSpan RHom RHom
24 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ring s ~QG RSpan
2524eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ring s ~QG RSpan
2624oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ring s ~QG RSpan ..^ ..^
2725, 26ifbieq2d 3936 . . . . . . . . . . . . . . 15 ring s ~QG RSpan ..^ ..^
28 znval.w . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
2927, 28syl6eqr 2481 . . . . . . . . . . . . . 14 ring s ~QG RSpan ..^
3023, 29reseq12d 5125 . . . . . . . . . . . . 13 ring s ~QG RSpan RHom ..^ RHom
31 znval.f . . . . . . . . . . . . 13 RHom
3230, 31syl6eqr 2481 . . . . . . . . . . . 12 ring s ~QG RSpan RHom ..^
3322, 32sylan9eqr 2485 . . . . . . . . . . 11 ring s ~QG RSpan RHom ..^
3433coeq1d 5015 . . . . . . . . . 10 ring s ~QG RSpan RHom ..^
3533cnveqd 5029 . . . . . . . . . 10 ring s ~QG RSpan RHom ..^
3634, 35coeq12d 5018 . . . . . . . . 9 ring s ~QG RSpan RHom ..^
37 znval.l . . . . . . . . 9
3836, 37syl6eqr 2481 . . . . . . . 8 ring s ~QG RSpan RHom ..^
3921, 38csbied 3422 . . . . . . 7 ring s ~QG RSpan RHom ..^
4039opeq2d 4194 . . . . . 6 ring s ~QG RSpan RHom ..^
4118, 40oveq12d 6323 . . . . 5 ring s ~QG RSpan sSet RHom ..^ sSet
425, 41csbied 3422 . . . 4 ring s ~QG RSpan sSet RHom ..^ sSet
433, 42csbied 3422 . . 3 ring s ~QG RSpan sSet RHom ..^ sSet
44 df-zn 19076 . . 3 ℤ/n ring s ~QG RSpan sSet RHom ..^
45 ovex 6333 . . 3 sSet
4643, 44, 45fvmpt 5964 . 2 ℤ/n sSet
471, 46syl5eq 2475 1 sSet
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1872  cvv 3080  csb 3395  cif 3911  csn 3998  cop 4004  ccnv 4852   cres 4855   ccom 4857  cfv 5601  (class class class)co 6305  cc0 9546   cle 9683  cn0 10876  cz 10944  ..^cfzo 11922  cnx 15117   sSet csts 15118  cple 15196   s cqus 15403   ~QG cqg 16812  crg 17779  RSpancrsp 18393  ℤringzring 19037  RHomczrh 19069  ℤ/nℤczn 19072 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-addf 9625  ax-mulf 9626 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-fz 11792  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-0g 15339  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-grp 16672  df-minusg 16673  df-subg 16813  df-cmn 17431  df-mgp 17723  df-ur 17735  df-ring 17781  df-cring 17782  df-subrg 18005  df-cnfld 18970  df-zring 19038  df-zn 19076 This theorem is referenced by:  znle  19105  znval2  19106
 Copyright terms: Public domain W3C validator