Theorem znunithash 19183

Description: The size of the unit group of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
znchr.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znunit.u	|- U = (Unit ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znunithash	|- ( N e. NN -> ( # ` U ) = ( phi ` N ) )

Proof of Theorem znunithash

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfphi2 14770	. 2 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) = ( # ` { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
2		nnnn0 10904	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
3		znchr.y	. . . . . . . . . 10 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
4		eqid 2461	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
5		eqid 2461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) )
6		eqid 2461	. . . . . . . . . 10 |- if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
7	3, 4, 5, 6	znf1o 19170	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) )
8	2, 7	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) )
9		nnne0 10669	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
10		ifnefalse 3904	. . . . . . . . 9 |- ( N =/= 0 -> if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) )
11		reseq2 5118	. . . . . . . . . . 11 |- ( if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) -> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) )
12		f1oeq1 5827	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) )
14		f1oeq2 5828	. . . . . . . . . 10 |- ( if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) )
15	13, 14	bitrd 261	. . . . . . . . 9 |- ( if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) )
16	9, 10, 15	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) )
17	8, 16	mpbid 215	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) )
18		f1ofn 5837	. . . . . . 7 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) -> ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) Fn ( 0..^ N ) )
19		elpreima 6024	. . . . . . 7 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) Fn ( 0..^ N ) -> ( x e. ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) <-> ( x e. ( 0..^ N ) /\ ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) ` x ) e. U ) ) )
20	17, 18, 19	3syl 18	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( x e. ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) <-> ( x e. ( 0..^ N ) /\ ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) ` x ) e. U ) ) )
21		fvres 5901	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0..^ N ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) ` x ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) )
22	21	adantl 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) ` x ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) )
23	22	eleq1d 2523	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) ` x ) e. U <-> ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) e. U ) )
24		elfzoelz 11950	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0..^ N ) -> x e. ZZ )
25		znunit.u	. . . . . . . . . 10 |- U = (Unit ` Y )
26		eqid 2461	. . . . . . . . . 10 |- ( ZRHom ` Y ) = ( ZRHom ` Y )
27	3, 25, 26	znunit 19182	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) e. U <-> ( x gcd N ) = 1 ) )
28	2, 24, 27	syl2an 484	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) e. U <-> ( x gcd N ) = 1 ) )
29	23, 28	bitrd 261	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) ` x ) e. U <-> ( x gcd N ) = 1 ) )
30	29	pm5.32da 651	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( x e. ( 0..^ N ) /\ ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) ` x ) e. U ) <-> ( x e. ( 0..^ N ) /\ ( x gcd N ) = 1 ) ) )
31	20, 30	bitrd 261	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( x e. ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) <-> ( x e. ( 0..^ N ) /\ ( x gcd N ) = 1 ) ) )
32	31	abbi2dv 2580	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) = { x | ( x e. ( 0..^ N ) /\ ( x gcd N ) = 1 ) } )
33		df-rab 2757	. . . 4 |- { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } = { x | ( x e. ( 0..^ N ) /\ ( x gcd N ) = 1 ) }
34	32, 33	syl6eqr 2513	. . 3 |- ( N e. NN -> ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) = { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
35	34	fveq2d 5891	. 2 |- ( N e. NN -> ( # ` ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) ) = ( # ` { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
36		f1ocnv 5848	. . . . 5 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) -> `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( Base ` Y ) -1-1-onto-> ( 0..^ N ) )
37		f1of1 5835	. . . . 5 |- ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( Base ` Y ) -1-1-onto-> ( 0..^ N ) -> `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( Base ` Y ) -1-1-> ( 0..^ N ) )
38	17, 36, 37	3syl 18	. . . 4 |- ( N e. NN -> `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( Base ` Y ) -1-1-> ( 0..^ N ) )
39		ovex 6342	. . . . 5 |- ( 0..^ N ) e. _V
40	39	a1i 11	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( 0..^ N ) e. _V )
41	4, 25	unitss 17936	. . . . 5 |- U C_ ( Base ` Y )
42	41	a1i 11	. . . 4 |- ( N e. NN -> U C_ ( Base ` Y ) )
43		fvex 5897	. . . . . 6 |- (Unit ` Y ) e. _V
44	25, 43	eqeltri 2535	. . . . 5 |- U e. _V
45	44	a1i 11	. . . 4 |- ( N e. NN -> U e. _V )
46		f1imaen2g 7655	. . . 4 |- ( ( ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( Base ` Y ) -1-1-> ( 0..^ N ) /\ ( 0..^ N ) e. _V ) /\ ( U C_ ( Base ` Y ) /\ U e. _V ) ) -> ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) ~~ U )
47	38, 40, 42, 45, 46	syl22anc 1277	. . 3 |- ( N e. NN -> ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) ~~ U )
48		hasheni 12562	. . 3 |- ( ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) ~~ U -> ( # ` ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) ) = ( # ` U ) )
49	47, 48	syl 17	. 2 |- ( N e. NN -> ( # ` ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) ) = ( # ` U ) )
50	1, 35, 49	3eqtr2rd 2502	1 |- ( N e. NN -> ( # ` U ) = ( phi ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1454   e. wcel 1897   {cab 2447   =/= wne 2632   {crab 2752   _Vcvv 3056   C_ wss 3415   ifcif 3892   class class class wbr 4415   `'ccnv 4851   |` cres 4854   "cima 4855   Fn wfn 5595   -1-1->wf1 5597   -1-1-onto->wf1o 5599   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   ~~ cen 7591   0cc0 9564   1c1 9565   NNcn 10636   NN0cn0 10897   ZZcz 10965  ..^cfzo 11945   #chash 12546   gcd cgcd 14516   phicphi 14759   Basecbs 15169  Unitcui 17915   ZRHomczrh 19119  ℤ/nℤczn 19122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642  ax-addf 9643  ax-mulf 9644

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-tpos 6998  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-er 7388  df-ec 7390  df-qs 7394  df-map 7499  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-sup 7981  df-inf 7982  df-card 8398  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-7 10700  df-8 10701  df-9 10702  df-10 10703  df-n0 10898  df-z 10966  df-dec 11080  df-uz 11188  df-rp 11331  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-fl 12059  df-mod 12128  df-seq 12245  df-exp 12304  df-hash 12547  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-dvds 14354  df-gcd 14517  df-phi 14762  df-struct 15171  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-plusg 15251  df-mulr 15252  df-starv 15253  df-sca 15254  df-vsca 15255  df-ip 15256  df-tset 15257  df-ple 15258  df-ds 15260  df-unif 15261  df-0g 15388  df-imas 15455  df-qus 15457  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-mhm 16630  df-grp 16721  df-minusg 16722  df-sbg 16723  df-mulg 16724  df-subg 16862  df-nsg 16863  df-eqg 16864  df-ghm 16929  df-cmn 17480  df-abl 17481  df-mgp 17772  df-ur 17784  df-ring 17830  df-cring 17831  df-oppr 17899  df-dvdsr 17917  df-unit 17918  df-rnghom 17991  df-subrg 18054  df-lmod 18141  df-lss 18204  df-lsp 18243  df-sra 18443  df-rgmod 18444  df-lidl 18445  df-rsp 18446  df-2idl 18504  df-cnfld 19019  df-zring 19088  df-zrh 19123  df-zn 19126

This theorem is referenced by:  dchrfi  24231  dchrsum2  24244