Theorem znunithash 18106

Description: The size of the unit group of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
znchr.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znunit.u	|- U = (Unit ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znunithash	|- ( N e. NN -> ( # ` U ) = ( phi ` N ) )

Proof of Theorem znunithash

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfphi2 13951	. 2 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) = ( # ` { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
2		nnnn0 10687	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
3		znchr.y	. . . . . . . . . 10 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
4		eqid 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
5		eqid 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) )
6		eqid 2451	. . . . . . . . . 10 |- if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
7	3, 4, 5, 6	znf1o 18093	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) )
8	2, 7	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) )
9		nnne0 10455	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
10		ifnefalse 3899	. . . . . . . . 9 |- ( N =/= 0 -> if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) )
11		reseq2 5203	. . . . . . . . . . 11 |- ( if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) -> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) )
12		f1oeq1 5730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) )
14		f1oeq2 5731	. . . . . . . . . 10 |- ( if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) )
15	13, 14	bitrd 253	. . . . . . . . 9 |- ( if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) )
16	9, 10, 15	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) )
17	8, 16	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) )
18		f1ofn 5740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) -> ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) Fn ( 0..^ N ) )
19		elpreima 5922	. . . . . . 7 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) Fn ( 0..^ N ) -> ( x e. ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) <-> ( x e. ( 0..^ N ) /\ ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) ` x ) e. U ) ) )
20	17, 18, 19	3syl 20	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( x e. ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) <-> ( x e. ( 0..^ N ) /\ ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) ` x ) e. U ) ) )
21		fvres 5803	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0..^ N ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) ` x ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) )
22	21	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) ` x ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) )
23	22	eleq1d 2520	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) ` x ) e. U <-> ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) e. U ) )
24		elfzoelz 11654	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0..^ N ) -> x e. ZZ )
25		znunit.u	. . . . . . . . . 10 |- U = (Unit ` Y )
26		eqid 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( ZRHom ` Y ) = ( ZRHom ` Y )
27	3, 25, 26	znunit 18105	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) e. U <-> ( x gcd N ) = 1 ) )
28	2, 24, 27	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) e. U <-> ( x gcd N ) = 1 ) )
29	23, 28	bitrd 253	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) ` x ) e. U <-> ( x gcd N ) = 1 ) )
30	29	pm5.32da 641	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( x e. ( 0..^ N ) /\ ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) ` x ) e. U ) <-> ( x e. ( 0..^ N ) /\ ( x gcd N ) = 1 ) ) )
31	20, 30	bitrd 253	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( x e. ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) <-> ( x e. ( 0..^ N ) /\ ( x gcd N ) = 1 ) ) )
32	31	abbi2dv 2588	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) = { x | ( x e. ( 0..^ N ) /\ ( x gcd N ) = 1 ) } )
33		df-rab 2804	. . . 4 |- { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } = { x | ( x e. ( 0..^ N ) /\ ( x gcd N ) = 1 ) }
34	32, 33	syl6eqr 2510	. . 3 |- ( N e. NN -> ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) = { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
35	34	fveq2d 5793	. 2 |- ( N e. NN -> ( # ` ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) ) = ( # ` { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
36		f1ocnv 5751	. . . . 5 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) -> `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( Base ` Y ) -1-1-onto-> ( 0..^ N ) )
37		f1of1 5738	. . . . 5 |- ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( Base ` Y ) -1-1-onto-> ( 0..^ N ) -> `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( Base ` Y ) -1-1-> ( 0..^ N ) )
38	17, 36, 37	3syl 20	. . . 4 |- ( N e. NN -> `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( Base ` Y ) -1-1-> ( 0..^ N ) )
39		ovex 6215	. . . . 5 |- ( 0..^ N ) e. _V
40	39	a1i 11	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( 0..^ N ) e. _V )
41	4, 25	unitss 16858	. . . . 5 |- U C_ ( Base ` Y )
42	41	a1i 11	. . . 4 |- ( N e. NN -> U C_ ( Base ` Y ) )
43		fvex 5799	. . . . . 6 |- (Unit ` Y ) e. _V
44	25, 43	eqeltri 2535	. . . . 5 |- U e. _V
45	44	a1i 11	. . . 4 |- ( N e. NN -> U e. _V )
46		f1imaen2g 7470	. . . 4 |- ( ( ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( Base ` Y ) -1-1-> ( 0..^ N ) /\ ( 0..^ N ) e. _V ) /\ ( U C_ ( Base ` Y ) /\ U e. _V ) ) -> ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) ~~ U )
47	38, 40, 42, 45, 46	syl22anc 1220	. . 3 |- ( N e. NN -> ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) ~~ U )
48		hasheni 12220	. . 3 |- ( ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) ~~ U -> ( # ` ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) ) = ( # ` U ) )
49	47, 48	syl 16	. 2 |- ( N e. NN -> ( # ` ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) ) = ( # ` U ) )
50	1, 35, 49	3eqtr2rd 2499	1 |- ( N e. NN -> ( # ` U ) = ( phi ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   {cab 2436   =/= wne 2644   {crab 2799   _Vcvv 3068   C_ wss 3426   ifcif 3889   class class class wbr 4390   `'ccnv 4937   |` cres 4940   "cima 4941   Fn wfn 5511   -1-1->wf1 5513   -1-1-onto->wf1o 5515   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   ~~ cen 7407   0cc0 9383   1c1 9384   NNcn 10423   NN0cn0 10680   ZZcz 10747  ..^cfzo 11649   #chash 12204   gcd cgcd 13792   phicphi 13941   Basecbs 14276  Unitcui 16837   ZRHomczrh 18040  ℤ/nℤczn 18043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461  ax-addf 9462  ax-mulf 9463

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-tpos 6845  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-er 7201  df-ec 7203  df-qs 7207  df-map 7316  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-sup 7792  df-card 8210  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-uz 10963  df-rp 11093  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-fl 11743  df-mod 11810  df-seq 11908  df-exp 11967  df-hash 12205  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-dvds 13638  df-gcd 13793  df-phi 13943  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-ress 14283  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-starv 14355  df-sca 14356  df-vsca 14357  df-ip 14358  df-tset 14359  df-ple 14360  df-ds 14362  df-unif 14363  df-0g 14482  df-imas 14548  df-divs 14549  df-mnd 15517  df-mhm 15566  df-grp 15647  df-minusg 15648  df-sbg 15649  df-mulg 15650  df-subg 15780  df-nsg 15781  df-eqg 15782  df-ghm 15847  df-cmn 16383  df-abl 16384  df-mgp 16697  df-ur 16709  df-rng 16753  df-cring 16754  df-oppr 16821  df-dvdsr 16839  df-unit 16840  df-rnghom 16912  df-subrg 16969  df-lmod 17056  df-lss 17120  df-lsp 17159  df-sra 17359  df-rgmod 17360  df-lidl 17361  df-rsp 17362  df-2idl 17420  df-cnfld 17928  df-zring 17993  df-zrh 18044  df-zn 18047

This theorem is referenced by:  dchrfi  22710  dchrsum2  22723