MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znunithash Structured version   Unicode version

Theorem znunithash 17977
Description: The size of the unit group of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
znchr.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
znunit.u  |-  U  =  (Unit `  Y )
Assertion
Ref Expression
znunithash  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 U )  =  ( phi `  N
) )

Proof of Theorem znunithash
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfphi2 13841 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  =  ( # `  {
x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
2 nnnn0 10578 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
3 znchr.y . . . . . . . . . 10  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
4 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
5 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ZRHom `  Y )  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) ) )  =  ( ( ZRHom `  Y
)  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) )
6 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )
73, 4, 5, 6znf1o 17964 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ZRHom `  Y )  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) ) ) : if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base `  Y ) )
82, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ZRHom `  Y
)  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) ) : if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
) )
9 nnne0 10346 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
10 ifnefalse 3796 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =/=  0  ->  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  ( 0..^ N ) )
11 reseq2 5100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  ( 0..^ N )  ->  ( ( ZRHom `  Y )  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) )  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  ( 0..^ N ) ) )
12 f1oeq1 5627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
)  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) )  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y )  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) ) ) : if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base `  Y )  <->  ( ( ZRHom `  Y )  |`  ( 0..^ N ) ) : if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
) ) )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  ( 0..^ N )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
)  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) ) : if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
)  <->  ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) ) : if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
) ) )
14 f1oeq2 5628 . . . . . . . . . 10  |-  ( if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  ( 0..^ N )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
)  |`  ( 0..^ N ) ) : if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base `  Y )  <->  ( ( ZRHom `  Y )  |`  ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
) ) )
1513, 14bitrd 253 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  ( 0..^ N )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
)  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) ) : if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
)  <->  ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
) ) )
169, 10, 153syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ZRHom `  Y )  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) ) : if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
)  <->  ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
) ) )
178, 16mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ZRHom `  Y
)  |`  ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base `  Y ) )
18 f1ofn 5637 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
)  |`  ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base `  Y )  ->  (
( ZRHom `  Y
)  |`  ( 0..^ N ) )  Fn  (
0..^ N ) )
19 elpreima 5818 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
)  |`  ( 0..^ N ) )  Fn  (
0..^ N )  -> 
( x  e.  ( `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) )
" U )  <->  ( x  e.  ( 0..^ N )  /\  ( ( ( ZRHom `  Y )  |`  ( 0..^ N ) ) `  x )  e.  U ) ) )
2017, 18, 193syl 20 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  ( `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) )
" U )  <->  ( x  e.  ( 0..^ N )  /\  ( ( ( ZRHom `  Y )  |`  ( 0..^ N ) ) `  x )  e.  U ) ) )
21 fvres 5699 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0..^ N )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
)  |`  ( 0..^ N ) ) `  x
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  x ) )
2221adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) ) `
 x )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) )
2322eleq1d 2504 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( ( ( ZRHom `  Y )  |`  ( 0..^ N ) ) `  x )  e.  U  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  x )  e.  U
) )
24 elfzoelz 11545 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0..^ N )  ->  x  e.  ZZ )
25 znunit.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  (Unit `  Y )
26 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZRHom `  Y )  =  ( ZRHom `  Y )
273, 25, 26znunit 17976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  x
)  e.  U  <->  ( x  gcd  N )  =  1 ) )
282, 24, 27syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( ( ZRHom `  Y ) `  x
)  e.  U  <->  ( x  gcd  N )  =  1 ) )
2923, 28bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( ( ( ZRHom `  Y )  |`  ( 0..^ N ) ) `  x )  e.  U  <->  ( x  gcd  N )  =  1 ) )
3029pm5.32da 641 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( x  e.  ( 0..^ N )  /\  ( ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) ) `
 x )  e.  U )  <->  ( x  e.  ( 0..^ N )  /\  ( x  gcd  N )  =  1 ) ) )
3120, 30bitrd 253 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  ( `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) )
" U )  <->  ( x  e.  ( 0..^ N )  /\  ( x  gcd  N )  =  1 ) ) )
3231abbi2dv 2553 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) )
" U )  =  { x  |  ( x  e.  ( 0..^ N )  /\  (
x  gcd  N )  =  1 ) } )
33 df-rab 2719 . . . 4  |-  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  =  { x  |  ( x  e.  ( 0..^ N )  /\  ( x  gcd  N )  =  1 ) }
3432, 33syl6eqr 2488 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) )
" U )  =  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } )
3534fveq2d 5690 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 ( `' ( ( ZRHom `  Y
)  |`  ( 0..^ N ) ) " U
) )  =  (
# `  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
36 f1ocnv 5648 . . . . 5  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
)  |`  ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base `  Y )  ->  `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) ) : ( Base `  Y
)
-1-1-onto-> ( 0..^ N ) )
37 f1of1 5635 . . . . 5  |-  ( `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) ) : ( Base `  Y
)
-1-1-onto-> ( 0..^ N )  ->  `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) ) : ( Base `  Y
) -1-1-> ( 0..^ N ) )
3817, 36, 373syl 20 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) ) : ( Base `  Y
) -1-1-> ( 0..^ N ) )
39 ovex 6111 . . . . 5  |-  ( 0..^ N )  e.  _V
4039a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0..^ N )  e. 
_V )
414, 25unitss 16742 . . . . 5  |-  U  C_  ( Base `  Y )
4241a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  U  C_  ( Base `  Y
) )
43 fvex 5696 . . . . . 6  |-  (Unit `  Y )  e.  _V
4425, 43eqeltri 2508 . . . . 5  |-  U  e. 
_V
4544a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  U  e.  _V )
46 f1imaen2g 7362 . . . 4  |-  ( ( ( `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  ( 0..^ N ) ) : ( Base `  Y ) -1-1-> ( 0..^ N )  /\  (
0..^ N )  e. 
_V )  /\  ( U  C_  ( Base `  Y
)  /\  U  e.  _V ) )  ->  ( `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) )
" U )  ~~  U )
4738, 40, 42, 45, 46syl22anc 1219 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) )
" U )  ~~  U )
48 hasheni 12111 . . 3  |-  ( ( `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) )
" U )  ~~  U  ->  ( # `  ( `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) )
" U ) )  =  ( # `  U
) )
4947, 48syl 16 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 ( `' ( ( ZRHom `  Y
)  |`  ( 0..^ N ) ) " U
) )  =  (
# `  U )
)
501, 35, 493eqtr2rd 2477 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 U )  =  ( phi `  N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2424    =/= wne 2601   {crab 2714   _Vcvv 2967    C_ wss 3323   ifcif 3786   class class class wbr 4287   `'ccnv 4834    |` cres 4837   "cima 4838    Fn wfn 5408   -1-1->wf1 5410   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    ~~ cen 7299   0cc0 9274   1c1 9275   NNcn 10314   NN0cn0 10571   ZZcz 10638  ..^cfzo 11540   #chash 12095    gcd cgcd 13682   phicphi 13831   Basecbs 14166  Unitcui 16721   ZRHomczrh 17911  ℤ/nczn 17914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-tpos 6740  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-ec 7095  df-qs 7099  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-phi 13833  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-0g 14372  df-imas 14438  df-divs 14439  df-mnd 15407  df-mhm 15456  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-mulg 15539  df-subg 15669  df-nsg 15670  df-eqg 15671  df-ghm 15736  df-cmn 16270  df-abl 16271  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-rnghom 16796  df-subrg 16843  df-lmod 16930  df-lss 16994  df-lsp 17033  df-sra 17233  df-rgmod 17234  df-lidl 17235  df-rsp 17236  df-2idl 17294  df-cnfld 17799  df-zring 17864  df-zrh 17915  df-zn 17918
This theorem is referenced by:  dchrfi  22574  dchrsum2  22587
  Copyright terms: Public domain W3C validator