Theorem znunithash 17977

Description: The size of the unit group of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
znchr.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znunit.u	|- U = (Unit ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znunithash	|- ( N e. NN -> ( # ` U ) = ( phi ` N ) )

Proof of Theorem znunithash

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfphi2 13841	. 2 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) = ( # ` { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
2		nnnn0 10578	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
3		znchr.y	. . . . . . . . . 10 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
4		eqid 2438	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
5		eqid 2438	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) )
6		eqid 2438	. . . . . . . . . 10 |- if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
7	3, 4, 5, 6	znf1o 17964	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) )
8	2, 7	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) )
9		nnne0 10346	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
10		ifnefalse 3796	. . . . . . . . 9 |- ( N =/= 0 -> if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) )
11		reseq2 5100	. . . . . . . . . . 11 |- ( if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) -> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) )
12		f1oeq1 5627	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) )
14		f1oeq2 5628	. . . . . . . . . 10 |- ( if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) )
15	13, 14	bitrd 253	. . . . . . . . 9 |- ( if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) )
16	9, 10, 15	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) )
17	8, 16	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) )
18		f1ofn 5637	. . . . . . 7 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) -> ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) Fn ( 0..^ N ) )
19		elpreima 5818	. . . . . . 7 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) Fn ( 0..^ N ) -> ( x e. ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) <-> ( x e. ( 0..^ N ) /\ ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) ` x ) e. U ) ) )
20	17, 18, 19	3syl 20	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( x e. ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) <-> ( x e. ( 0..^ N ) /\ ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) ` x ) e. U ) ) )
21		fvres 5699	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0..^ N ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) ` x ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) )
22	21	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) ` x ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) )
23	22	eleq1d 2504	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) ` x ) e. U <-> ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) e. U ) )
24		elfzoelz 11545	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0..^ N ) -> x e. ZZ )
25		znunit.u	. . . . . . . . . 10 |- U = (Unit ` Y )
26		eqid 2438	. . . . . . . . . 10 |- ( ZRHom ` Y ) = ( ZRHom ` Y )
27	3, 25, 26	znunit 17976	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) e. U <-> ( x gcd N ) = 1 ) )
28	2, 24, 27	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) e. U <-> ( x gcd N ) = 1 ) )
29	23, 28	bitrd 253	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) ` x ) e. U <-> ( x gcd N ) = 1 ) )
30	29	pm5.32da 641	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( x e. ( 0..^ N ) /\ ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) ` x ) e. U ) <-> ( x e. ( 0..^ N ) /\ ( x gcd N ) = 1 ) ) )
31	20, 30	bitrd 253	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( x e. ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) <-> ( x e. ( 0..^ N ) /\ ( x gcd N ) = 1 ) ) )
32	31	abbi2dv 2553	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) = { x | ( x e. ( 0..^ N ) /\ ( x gcd N ) = 1 ) } )
33		df-rab 2719	. . . 4 |- { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } = { x | ( x e. ( 0..^ N ) /\ ( x gcd N ) = 1 ) }
34	32, 33	syl6eqr 2488	. . 3 |- ( N e. NN -> ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) = { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
35	34	fveq2d 5690	. 2 |- ( N e. NN -> ( # ` ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) ) = ( # ` { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
36		f1ocnv 5648	. . . . 5 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) -> `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( Base ` Y ) -1-1-onto-> ( 0..^ N ) )
37		f1of1 5635	. . . . 5 |- ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( Base ` Y ) -1-1-onto-> ( 0..^ N ) -> `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( Base ` Y ) -1-1-> ( 0..^ N ) )
38	17, 36, 37	3syl 20	. . . 4 |- ( N e. NN -> `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( Base ` Y ) -1-1-> ( 0..^ N ) )
39		ovex 6111	. . . . 5 |- ( 0..^ N ) e. _V
40	39	a1i 11	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( 0..^ N ) e. _V )
41	4, 25	unitss 16742	. . . . 5 |- U C_ ( Base ` Y )
42	41	a1i 11	. . . 4 |- ( N e. NN -> U C_ ( Base ` Y ) )
43		fvex 5696	. . . . . 6 |- (Unit ` Y ) e. _V
44	25, 43	eqeltri 2508	. . . . 5 |- U e. _V
45	44	a1i 11	. . . 4 |- ( N e. NN -> U e. _V )
46		f1imaen2g 7362	. . . 4 |- ( ( ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( Base ` Y ) -1-1-> ( 0..^ N ) /\ ( 0..^ N ) e. _V ) /\ ( U C_ ( Base ` Y ) /\ U e. _V ) ) -> ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) ~~ U )
47	38, 40, 42, 45, 46	syl22anc 1219	. . 3 |- ( N e. NN -> ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) ~~ U )
48		hasheni 12111	. . 3 |- ( ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) ~~ U -> ( # ` ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) ) = ( # ` U ) )
49	47, 48	syl 16	. 2 |- ( N e. NN -> ( # ` ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) ) = ( # ` U ) )
50	1, 35, 49	3eqtr2rd 2477	1 |- ( N e. NN -> ( # ` U ) = ( phi ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   {cab 2424   =/= wne 2601   {crab 2714   _Vcvv 2967   C_ wss 3323   ifcif 3786   class class class wbr 4287   `'ccnv 4834   |` cres 4837   "cima 4838   Fn wfn 5408   -1-1->wf1 5410   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   ~~ cen 7299   0cc0 9274   1c1 9275   NNcn 10314   NN0cn0 10571   ZZcz 10638  ..^cfzo 11540   #chash 12095   gcd cgcd 13682   phicphi 13831   Basecbs 14166  Unitcui 16721   ZRHomczrh 17911  ℤ/nℤczn 17914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-tpos 6740  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-ec 7095  df-qs 7099  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-phi 13833  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-0g 14372  df-imas 14438  df-divs 14439  df-mnd 15407  df-mhm 15456  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-mulg 15539  df-subg 15669  df-nsg 15670  df-eqg 15671  df-ghm 15736  df-cmn 16270  df-abl 16271  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-rnghom 16796  df-subrg 16843  df-lmod 16930  df-lss 16994  df-lsp 17033  df-sra 17233  df-rgmod 17234  df-lidl 17235  df-rsp 17236  df-2idl 17294  df-cnfld 17799  df-zring 17864  df-zrh 17915  df-zn 17918

This theorem is referenced by:  dchrfi  22574  dchrsum2  22587