Theorem znunithash 16800

Description: The size of the unit group of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
znchr.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znunit.u	|- U = (Unit ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znunithash	|- ( N e. NN -> ( # ` U ) = ( phi ` N ) )

Proof of Theorem znunithash

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfphi2 13118	. 2 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) = ( # ` { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
2		nnnn0 10184	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
3		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- (ℂfld ↾s ZZ ) = (ℂfld ↾s ZZ )
4		znchr.y	. . . . . . . . . 10 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
5		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
6		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) )
7		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
8	3, 4, 5, 6, 7	znf1o 16787	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) )
9	2, 8	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) )
10		nnne0 9988	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
11		ifnefalse 3707	. . . . . . . . 9 |- ( N =/= 0 -> if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) )
12		reseq2 5100	. . . . . . . . . . 11 |- ( if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) -> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) )
13		f1oeq1 5624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) )
14	12, 13	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) )
15		f1oeq2 5625	. . . . . . . . . 10 |- ( if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) )
16	14, 15	bitrd 245	. . . . . . . . 9 |- ( if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) )
17	10, 11, 16	3syl 19	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) )
18	9, 17	mpbid 202	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) )
19		f1ofn 5634	. . . . . . 7 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) -> ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) Fn ( 0..^ N ) )
20		elpreima 5809	. . . . . . 7 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) Fn ( 0..^ N ) -> ( x e. ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) <-> ( x e. ( 0..^ N ) /\ ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) ` x ) e. U ) ) )
21	18, 19, 20	3syl 19	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( x e. ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) <-> ( x e. ( 0..^ N ) /\ ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) ` x ) e. U ) ) )
22		fvres 5704	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0..^ N ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) ` x ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) )
23	22	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) ` x ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) )
24	23	eleq1d 2470	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) ` x ) e. U <-> ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) e. U ) )
25		elfzoelz 11095	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0..^ N ) -> x e. ZZ )
26		znunit.u	. . . . . . . . . 10 |- U = (Unit ` Y )
27		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- ( ZRHom ` Y ) = ( ZRHom ` Y )
28	4, 26, 27	znunit 16799	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) e. U <-> ( x gcd N ) = 1 ) )
29	2, 25, 28	syl2an 464	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) e. U <-> ( x gcd N ) = 1 ) )
30	24, 29	bitrd 245	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) ` x ) e. U <-> ( x gcd N ) = 1 ) )
31	30	pm5.32da 623	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( x e. ( 0..^ N ) /\ ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) ` x ) e. U ) <-> ( x e. ( 0..^ N ) /\ ( x gcd N ) = 1 ) ) )
32	21, 31	bitrd 245	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( x e. ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) <-> ( x e. ( 0..^ N ) /\ ( x gcd N ) = 1 ) ) )
33	32	abbi2dv 2519	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) = { x | ( x e. ( 0..^ N ) /\ ( x gcd N ) = 1 ) } )
34		df-rab 2675	. . . 4 |- { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } = { x | ( x e. ( 0..^ N ) /\ ( x gcd N ) = 1 ) }
35	33, 34	syl6eqr 2454	. . 3 |- ( N e. NN -> ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) = { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
36	35	fveq2d 5691	. 2 |- ( N e. NN -> ( # ` ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) ) = ( # ` { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
37		f1ocnv 5646	. . . . 5 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) -> `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( Base ` Y ) -1-1-onto-> ( 0..^ N ) )
38		f1of1 5632	. . . . 5 |- ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( Base ` Y ) -1-1-onto-> ( 0..^ N ) -> `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( Base ` Y ) -1-1-> ( 0..^ N ) )
39	18, 37, 38	3syl 19	. . . 4 |- ( N e. NN -> `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( Base ` Y ) -1-1-> ( 0..^ N ) )
40		ovex 6065	. . . . 5 |- ( 0..^ N ) e. _V
41	40	a1i 11	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( 0..^ N ) e. _V )
42	5, 26	unitss 15720	. . . . 5 |- U C_ ( Base ` Y )
43	42	a1i 11	. . . 4 |- ( N e. NN -> U C_ ( Base ` Y ) )
44		fvex 5701	. . . . . 6 |- (Unit ` Y ) e. _V
45	26, 44	eqeltri 2474	. . . . 5 |- U e. _V
46	45	a1i 11	. . . 4 |- ( N e. NN -> U e. _V )
47		f1imaen2g 7127	. . . 4 |- ( ( ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( Base ` Y ) -1-1-> ( 0..^ N ) /\ ( 0..^ N ) e. _V ) /\ ( U C_ ( Base ` Y ) /\ U e. _V ) ) -> ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) ~~ U )
48	39, 41, 43, 46, 47	syl22anc 1185	. . 3 |- ( N e. NN -> ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) ~~ U )
49		hasheni 11587	. . 3 |- ( ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) ~~ U -> ( # ` ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) ) = ( # ` U ) )
50	48, 49	syl 16	. 2 |- ( N e. NN -> ( # ` ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) ) = ( # ` U ) )
51	1, 36, 50	3eqtr2rd 2443	1 |- ( N e. NN -> ( # ` U ) = ( phi ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   {cab 2390   =/= wne 2567   {crab 2670   _Vcvv 2916   C_ wss 3280   ifcif 3699   class class class wbr 4172   `'ccnv 4836   |` cres 4839   "cima 4840   Fn wfn 5408   -1-1->wf1 5410   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ~~ cen 7065   0cc0 8946   1c1 8947   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238  ..^cfzo 11090   #chash 11573   gcd cgcd 12961   phicphi 13108   Basecbs 13424   ↾_s cress 13425  Unitcui 15699  ℂ_fldccnfld 16658   ZRHomczrh 16733  ℤ/nℤczn 16736

This theorem is referenced by:  dchrfi  20992  dchrsum2  21005

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-phi 13110  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-0g 13682  df-imas 13689  df-divs 13690  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-nsg 14897  df-eqg 14898  df-ghm 14959  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-rnghom 15774  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-lidl 16201  df-rsp 16202  df-2idl 16258  df-cnfld 16659  df-zrh 16737  df-zn 16740