MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znunithash Structured version   Unicode version

Theorem znunithash 18694
Description: The size of the unit group of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
znchr.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
znunit.u  |-  U  =  (Unit `  Y )
Assertion
Ref Expression
znunithash  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 U )  =  ( phi `  N
) )

Proof of Theorem znunithash
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfphi2 14306 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  =  ( # `  {
x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
2 nnnn0 10719 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
3 znchr.y . . . . . . . . . 10  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
4 eqid 2382 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
5 eqid 2382 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ZRHom `  Y )  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) ) )  =  ( ( ZRHom `  Y
)  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) )
6 eqid 2382 . . . . . . . . . 10  |-  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )
73, 4, 5, 6znf1o 18681 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ZRHom `  Y )  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) ) ) : if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base `  Y ) )
82, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ZRHom `  Y
)  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) ) : if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
) )
9 nnne0 10485 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
10 ifnefalse 3869 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =/=  0  ->  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  ( 0..^ N ) )
11 reseq2 5181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  ( 0..^ N )  ->  ( ( ZRHom `  Y )  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) )  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  ( 0..^ N ) ) )
12 f1oeq1 5715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
)  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) )  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y )  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) ) ) : if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base `  Y )  <->  ( ( ZRHom `  Y )  |`  ( 0..^ N ) ) : if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
) ) )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  ( 0..^ N )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
)  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) ) : if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
)  <->  ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) ) : if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
) ) )
14 f1oeq2 5716 . . . . . . . . . 10  |-  ( if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  ( 0..^ N )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
)  |`  ( 0..^ N ) ) : if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base `  Y )  <->  ( ( ZRHom `  Y )  |`  ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
) ) )
1513, 14bitrd 253 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  ( 0..^ N )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
)  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) ) : if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
)  <->  ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
) ) )
169, 10, 153syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ZRHom `  Y )  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) ) : if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
)  <->  ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
) ) )
178, 16mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ZRHom `  Y
)  |`  ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base `  Y ) )
18 f1ofn 5725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
)  |`  ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base `  Y )  ->  (
( ZRHom `  Y
)  |`  ( 0..^ N ) )  Fn  (
0..^ N ) )
19 elpreima 5909 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
)  |`  ( 0..^ N ) )  Fn  (
0..^ N )  -> 
( x  e.  ( `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) )
" U )  <->  ( x  e.  ( 0..^ N )  /\  ( ( ( ZRHom `  Y )  |`  ( 0..^ N ) ) `  x )  e.  U ) ) )
2017, 18, 193syl 20 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  ( `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) )
" U )  <->  ( x  e.  ( 0..^ N )  /\  ( ( ( ZRHom `  Y )  |`  ( 0..^ N ) ) `  x )  e.  U ) ) )
21 fvres 5788 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0..^ N )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
)  |`  ( 0..^ N ) ) `  x
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  x ) )
2221adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) ) `
 x )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) )
2322eleq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( ( ( ZRHom `  Y )  |`  ( 0..^ N ) ) `  x )  e.  U  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  x )  e.  U
) )
24 elfzoelz 11722 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0..^ N )  ->  x  e.  ZZ )
25 znunit.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  (Unit `  Y )
26 eqid 2382 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZRHom `  Y )  =  ( ZRHom `  Y )
273, 25, 26znunit 18693 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  x
)  e.  U  <->  ( x  gcd  N )  =  1 ) )
282, 24, 27syl2an 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( ( ZRHom `  Y ) `  x
)  e.  U  <->  ( x  gcd  N )  =  1 ) )
2923, 28bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( ( ( ZRHom `  Y )  |`  ( 0..^ N ) ) `  x )  e.  U  <->  ( x  gcd  N )  =  1 ) )
3029pm5.32da 639 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( x  e.  ( 0..^ N )  /\  ( ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) ) `
 x )  e.  U )  <->  ( x  e.  ( 0..^ N )  /\  ( x  gcd  N )  =  1 ) ) )
3120, 30bitrd 253 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  ( `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) )
" U )  <->  ( x  e.  ( 0..^ N )  /\  ( x  gcd  N )  =  1 ) ) )
3231abbi2dv 2519 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) )
" U )  =  { x  |  ( x  e.  ( 0..^ N )  /\  (
x  gcd  N )  =  1 ) } )
33 df-rab 2741 . . . 4  |-  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  =  { x  |  ( x  e.  ( 0..^ N )  /\  ( x  gcd  N )  =  1 ) }
3432, 33syl6eqr 2441 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) )
" U )  =  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } )
3534fveq2d 5778 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 ( `' ( ( ZRHom `  Y
)  |`  ( 0..^ N ) ) " U
) )  =  (
# `  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
36 f1ocnv 5736 . . . . 5  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
)  |`  ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base `  Y )  ->  `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) ) : ( Base `  Y
)
-1-1-onto-> ( 0..^ N ) )
37 f1of1 5723 . . . . 5  |-  ( `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) ) : ( Base `  Y
)
-1-1-onto-> ( 0..^ N )  ->  `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) ) : ( Base `  Y
) -1-1-> ( 0..^ N ) )
3817, 36, 373syl 20 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) ) : ( Base `  Y
) -1-1-> ( 0..^ N ) )
39 ovex 6224 . . . . 5  |-  ( 0..^ N )  e.  _V
4039a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0..^ N )  e. 
_V )
414, 25unitss 17422 . . . . 5  |-  U  C_  ( Base `  Y )
4241a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  U  C_  ( Base `  Y
) )
43 fvex 5784 . . . . . 6  |-  (Unit `  Y )  e.  _V
4425, 43eqeltri 2466 . . . . 5  |-  U  e. 
_V
4544a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  U  e.  _V )
46 f1imaen2g 7495 . . . 4  |-  ( ( ( `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  ( 0..^ N ) ) : ( Base `  Y ) -1-1-> ( 0..^ N )  /\  (
0..^ N )  e. 
_V )  /\  ( U  C_  ( Base `  Y
)  /\  U  e.  _V ) )  ->  ( `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) )
" U )  ~~  U )
4738, 40, 42, 45, 46syl22anc 1227 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) )
" U )  ~~  U )
48 hasheni 12323 . . 3  |-  ( ( `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) )
" U )  ~~  U  ->  ( # `  ( `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) )
" U ) )  =  ( # `  U
) )
4947, 48syl 16 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 ( `' ( ( ZRHom `  Y
)  |`  ( 0..^ N ) ) " U
) )  =  (
# `  U )
)
501, 35, 493eqtr2rd 2430 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 U )  =  ( phi `  N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   {cab 2367    =/= wne 2577   {crab 2736   _Vcvv 3034    C_ wss 3389   ifcif 3857   class class class wbr 4367   `'ccnv 4912    |` cres 4915   "cima 4916    Fn wfn 5491   -1-1->wf1 5493   -1-1-onto->wf1o 5495   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    ~~ cen 7432   0cc0 9403   1c1 9404   NNcn 10452   NN0cn0 10712   ZZcz 10781  ..^cfzo 11717   #chash 12307    gcd cgcd 14146   phicphi 14296   Basecbs 14634  Unitcui 17401   ZRHomczrh 18630  ℤ/nczn 18633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-tpos 6873  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-ec 7231  df-qs 7235  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-card 8233  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-rp 11140  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-mod 11897  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-dvds 13989  df-gcd 14147  df-phi 14298  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-0g 14849  df-imas 14915  df-qus 14916  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-mhm 16083  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-sbg 16176  df-mulg 16177  df-subg 16315  df-nsg 16316  df-eqg 16317  df-ghm 16382  df-cmn 16917  df-abl 16918  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-cring 17314  df-oppr 17385  df-dvdsr 17403  df-unit 17404  df-rnghom 17477  df-subrg 17540  df-lmod 17627  df-lss 17692  df-lsp 17731  df-sra 17931  df-rgmod 17932  df-lidl 17933  df-rsp 17934  df-2idl 17993  df-cnfld 18534  df-zring 18602  df-zrh 18634  df-zn 18637
This theorem is referenced by:  dchrfi  23647  dchrsum2  23660
  Copyright terms: Public domain W3C validator