Theorem znunithash 18694

Description: The size of the unit group of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
znchr.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znunit.u	|- U = (Unit ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znunithash	|- ( N e. NN -> ( # ` U ) = ( phi ` N ) )

Proof of Theorem znunithash

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfphi2 14306	. 2 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) = ( # ` { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
2		nnnn0 10719	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
3		znchr.y	. . . . . . . . . 10 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
4		eqid 2382	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
5		eqid 2382	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) )
6		eqid 2382	. . . . . . . . . 10 |- if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
7	3, 4, 5, 6	znf1o 18681	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) )
8	2, 7	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) )
9		nnne0 10485	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
10		ifnefalse 3869	. . . . . . . . 9 |- ( N =/= 0 -> if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) )
11		reseq2 5181	. . . . . . . . . . 11 |- ( if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) -> ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) )
12		f1oeq1 5715	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) )
14		f1oeq2 5716	. . . . . . . . . 10 |- ( if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) )
15	13, 14	bitrd 253	. . . . . . . . 9 |- ( if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) )
16	9, 10, 15	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) : if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) )
17	8, 16	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) )
18		f1ofn 5725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) -> ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) Fn ( 0..^ N ) )
19		elpreima 5909	. . . . . . 7 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) Fn ( 0..^ N ) -> ( x e. ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) <-> ( x e. ( 0..^ N ) /\ ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) ` x ) e. U ) ) )
20	17, 18, 19	3syl 20	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( x e. ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) <-> ( x e. ( 0..^ N ) /\ ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) ` x ) e. U ) ) )
21		fvres 5788	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0..^ N ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) ` x ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) )
22	21	adantl 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) ` x ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) )
23	22	eleq1d 2451	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) ` x ) e. U <-> ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) e. U ) )
24		elfzoelz 11722	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0..^ N ) -> x e. ZZ )
25		znunit.u	. . . . . . . . . 10 |- U = (Unit ` Y )
26		eqid 2382	. . . . . . . . . 10 |- ( ZRHom ` Y ) = ( ZRHom ` Y )
27	3, 25, 26	znunit 18693	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) e. U <-> ( x gcd N ) = 1 ) )
28	2, 24, 27	syl2an 475	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) e. U <-> ( x gcd N ) = 1 ) )
29	23, 28	bitrd 253	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) ` x ) e. U <-> ( x gcd N ) = 1 ) )
30	29	pm5.32da 639	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( x e. ( 0..^ N ) /\ ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) ` x ) e. U ) <-> ( x e. ( 0..^ N ) /\ ( x gcd N ) = 1 ) ) )
31	20, 30	bitrd 253	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( x e. ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) <-> ( x e. ( 0..^ N ) /\ ( x gcd N ) = 1 ) ) )
32	31	abbi2dv 2519	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) = { x | ( x e. ( 0..^ N ) /\ ( x gcd N ) = 1 ) } )
33		df-rab 2741	. . . 4 |- { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } = { x | ( x e. ( 0..^ N ) /\ ( x gcd N ) = 1 ) }
34	32, 33	syl6eqr 2441	. . 3 |- ( N e. NN -> ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) = { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } )
35	34	fveq2d 5778	. 2 |- ( N e. NN -> ( # ` ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) ) = ( # ` { x e. ( 0..^ N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
36		f1ocnv 5736	. . . . 5 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) -> `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( Base ` Y ) -1-1-onto-> ( 0..^ N ) )
37		f1of1 5723	. . . . 5 |- ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( Base ` Y ) -1-1-onto-> ( 0..^ N ) -> `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( Base ` Y ) -1-1-> ( 0..^ N ) )
38	17, 36, 37	3syl 20	. . . 4 |- ( N e. NN -> `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( Base ` Y ) -1-1-> ( 0..^ N ) )
39		ovex 6224	. . . . 5 |- ( 0..^ N ) e. _V
40	39	a1i 11	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( 0..^ N ) e. _V )
41	4, 25	unitss 17422	. . . . 5 |- U C_ ( Base ` Y )
42	41	a1i 11	. . . 4 |- ( N e. NN -> U C_ ( Base ` Y ) )
43		fvex 5784	. . . . . 6 |- (Unit ` Y ) e. _V
44	25, 43	eqeltri 2466	. . . . 5 |- U e. _V
45	44	a1i 11	. . . 4 |- ( N e. NN -> U e. _V )
46		f1imaen2g 7495	. . . 4 |- ( ( ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) : ( Base ` Y ) -1-1-> ( 0..^ N ) /\ ( 0..^ N ) e. _V ) /\ ( U C_ ( Base ` Y ) /\ U e. _V ) ) -> ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) ~~ U )
47	38, 40, 42, 45, 46	syl22anc 1227	. . 3 |- ( N e. NN -> ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) ~~ U )
48		hasheni 12323	. . 3 |- ( ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) ~~ U -> ( # ` ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) ) = ( # ` U ) )
49	47, 48	syl 16	. 2 |- ( N e. NN -> ( # ` ( `' ( ( ZRHom ` Y ) |` ( 0..^ N ) ) " U ) ) = ( # ` U ) )
50	1, 35, 49	3eqtr2rd 2430	1 |- ( N e. NN -> ( # ` U ) = ( phi ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1399   e. wcel 1826   {cab 2367   =/= wne 2577   {crab 2736   _Vcvv 3034   C_ wss 3389   ifcif 3857   class class class wbr 4367   `'ccnv 4912   |` cres 4915   "cima 4916   Fn wfn 5491   -1-1->wf1 5493   -1-1-onto->wf1o 5495   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   ~~ cen 7432   0cc0 9403   1c1 9404   NNcn 10452   NN0cn0 10712   ZZcz 10781  ..^cfzo 11717   #chash 12307   gcd cgcd 14146   phicphi 14296   Basecbs 14634  Unitcui 17401   ZRHomczrh 18630  ℤ/nℤczn 18633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-tpos 6873  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-ec 7231  df-qs 7235  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-card 8233  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-rp 11140  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-mod 11897  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-dvds 13989  df-gcd 14147  df-phi 14298  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-0g 14849  df-imas 14915  df-qus 14916  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-mhm 16083  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-sbg 16176  df-mulg 16177  df-subg 16315  df-nsg 16316  df-eqg 16317  df-ghm 16382  df-cmn 16917  df-abl 16918  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-cring 17314  df-oppr 17385  df-dvdsr 17403  df-unit 17404  df-rnghom 17477  df-subrg 17540  df-lmod 17627  df-lss 17692  df-lsp 17731  df-sra 17931  df-rgmod 17932  df-lidl 17933  df-rsp 17934  df-2idl 17993  df-cnfld 18534  df-zring 18602  df-zrh 18634  df-zn 18637

This theorem is referenced by:  dchrfi  23647  dchrsum2  23660