Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znunit Unicode version

Theorem znunit 16799
 Description: The units of ℤ/nℤ are the integers coprime to the base. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
znchr.y ℤ/n
znunit.u Unit
znunit.l RHom
Assertion
Ref Expression
znunit

Proof of Theorem znunit
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znchr.y . . . . 5 ℤ/n
21zncrng 16780 . . . 4
4 znunit.u . . . 4 Unit
5 eqid 2404 . . . 4
6 eqid 2404 . . . 4 r r
74, 5, 6crngunit 15722 . . 3 r
83, 7syl 16 . 2 r
9 eqid 2404 . . . . . . 7
10 znunit.l . . . . . . 7 RHom
111, 9, 10znzrhfo 16783 . . . . . 6
1211adantr 452 . . . . 5
13 fof 5612 . . . . 5
1412, 13syl 16 . . . 4
15 ffvelrn 5827 . . . 4
1614, 15sylancom 649 . . 3
17 eqid 2404 . . . 4
189, 6, 17dvdsr2 15707 . . 3 r
1916, 18syl 16 . 2 r
20 forn 5615 . . . . . 6
2112, 20syl 16 . . . . 5
2221rexeqdv 2871 . . . 4
23 ffn 5550 . . . . 5
24 oveq1 6047 . . . . . . 7
2524eqeq1d 2412 . . . . . 6
2625rexrn 5831 . . . . 5
2714, 23, 263syl 19 . . . 4
2822, 27bitr3d 247 . . 3
29 crngrng 15629 . . . . . . . . . 10
303, 29syl 16 . . . . . . . . 9
31 eqid 2404 . . . . . . . . . 10 flds flds
3231, 10zrhrhm 16748 . . . . . . . . 9 flds RingHom
3330, 32syl 16 . . . . . . . 8 flds RingHom
3433adantr 452 . . . . . . 7 flds RingHom
35 simpr 448 . . . . . . 7
36 simplr 732 . . . . . . 7
37 zsubrg 16707 . . . . . . . . 9 SubRingfld
3831subrgbas 15832 . . . . . . . . 9 SubRingfld flds
3937, 38ax-mp 8 . . . . . . . 8 flds
40 zex 10247 . . . . . . . . 9
41 cnfldmul 16664 . . . . . . . . . 10 fld
4231, 41ressmulr 13537 . . . . . . . . 9 flds
4340, 42ax-mp 8 . . . . . . . 8 flds
4439, 43, 17rhmmul 15783 . . . . . . 7 flds RingHom
4534, 35, 36, 44syl3anc 1184 . . . . . 6
4630adantr 452 . . . . . . 7
4710, 5zrh1 16749 . . . . . . 7
4846, 47syl 16 . . . . . 6
4945, 48eqeq12d 2418 . . . . 5
50 simpll 731 . . . . . 6
5135, 36zmulcld 10337 . . . . . 6
52 1z 10267 . . . . . . 7
5352a1i 11 . . . . . 6
541, 10zndvds 16785 . . . . . 6
5550, 51, 53, 54syl3anc 1184 . . . . 5
5649, 55bitr3d 247 . . . 4
5756rexbidva 2683 . . 3
58 simplr 732 . . . . . . . . . 10
59 nn0z 10260 . . . . . . . . . . 11
6059ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
61 gcddvds 12970 . . . . . . . . . 10
6258, 60, 61syl2anc 643 . . . . . . . . 9
6362simpld 446 . . . . . . . 8
6458, 60gcdcld 12973 . . . . . . . . . 10
6564nn0zd 10329 . . . . . . . . 9
6635adantrr 698 . . . . . . . . 9
67 dvdsmultr2 12840 . . . . . . . . 9
6865, 66, 58, 67syl3anc 1184 . . . . . . . 8
6963, 68mpd 15 . . . . . . 7
7051adantrr 698 . . . . . . . 8
7152a1i 11 . . . . . . . 8
7262simprd 450 . . . . . . . . 9
73 simprr 734 . . . . . . . . 9
74 peano2zm 10276 . . . . . . . . . . 11
7570, 74syl 16 . . . . . . . . . 10
76 dvdstr 12838 . . . . . . . . . 10
7765, 60, 75, 76syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
7872, 73, 77mp2and 661 . . . . . . . 8
79 dvdssub2 12842 . . . . . . . 8
8065, 70, 71, 78, 79syl31anc 1187 . . . . . . 7
8169, 80mpbid 202 . . . . . 6
82 dvds1 12853 . . . . . . 7
8364, 82syl 16 . . . . . 6
8481, 83mpbid 202 . . . . 5
8584rexlimdvaa 2791 . . . 4
86 simpr 448 . . . . . . 7
8759adantr 452 . . . . . . 7
88 bezout 12997 . . . . . . 7
8986, 87, 88syl2anc 643 . . . . . 6
90 eqeq1 2410 . . . . . . 7
91902rexbidv 2709 . . . . . 6
9289, 91syl5ibcom 212 . . . . 5
9359ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . 11
94 dvdsmul1 12826 . . . . . . . . . . 11
9593, 94sylancom 649 . . . . . . . . . 10
96 zmulcl 10280 . . . . . . . . . . . 12
9793, 96sylancom 649 . . . . . . . . . . 11
98 dvdsnegb 12822 . . . . . . . . . . 11
9993, 97, 98syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
10095, 99mpbid 202 . . . . . . . . 9
10136adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
102101zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . 14
103 zcn 10243 . . . . . . . . . . . . . . 15
104103ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14
105102, 104mulcomd 9065 . . . . . . . . . . . . 13
106105oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12
107104, 102mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . 13
10897zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . 13
109107, 108subnegd 9374 . . . . . . . . . . . 12
110106, 109eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . 11
111110oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10
112108negcld 9354 . . . . . . . . . . 11
113107, 112nncand 9372 . . . . . . . . . 10
114111, 113eqtrd 2436 . . . . . . . . 9
115100, 114breqtrrd 4198 . . . . . . . 8
116 oveq2 6048 . . . . . . . . 9
117116breq2d 4184 . . . . . . . 8
118115, 117syl5ibrcom 214 . . . . . . 7
119118rexlimdva 2790 . . . . . 6
120119reximdva 2778 . . . . 5
12192, 120syld 42 . . . 4
12285, 121impbid 184 . . 3
12328, 57, 1223bitrd 271 . 2
1248, 19, 1233bitrd 271 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1649   wcel 1721  wrex 2667  cvv 2916   class class class wbr 4172   crn 4838   wfn 5408  wf 5409  wfo 5411  cfv 5413  (class class class)co 6040  cc 8944  c1 8947   caddc 8949   cmul 8951   cmin 9247  cneg 9248  cn0 10177  cz 10238   cdivides 12807   cgcd 12961  cbs 13424   ↾s cress 13425  cmulr 13485  crg 15615  ccrg 15616  cur 15617  rcdsr 15698  Unitcui 15699   RingHom crh 15772  SubRingcsubrg 15819  ℂfldccnfld 16658  RHomczrh 16733  ℤ/nℤczn 16736 This theorem is referenced by:  znunithash  16800  znrrg  16801  dchrelbas4  20980  lgsdchr  21085  rpvmasumlem  21134  dirith  21176 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-0g 13682  df-imas 13689  df-divs 13690  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-nsg 14897  df-eqg 14898  df-ghm 14959  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-rnghom 15774  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-lidl 16201  df-rsp 16202  df-2idl 16258  df-cnfld 16659  df-zrh 16737  df-zn 16740
 Copyright terms: Public domain W3C validator