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Theorem znunit 16799
Description: The units of ℤ/nℤ are the integers coprime to the base. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
znchr.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
znunit.u  |-  U  =  (Unit `  Y )
znunit.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
Assertion
Ref Expression
znunit  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( L `  A )  e.  U  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )

Proof of Theorem znunit
Dummy variables  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znchr.y . . . . 5  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
21zncrng 16780 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
CRing )
32adantr 452 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  Y  e.  CRing )
4 znunit.u . . . 4  |-  U  =  (Unit `  Y )
5 eqid 2404 . . . 4  |-  ( 1r
`  Y )  =  ( 1r `  Y
)
6 eqid 2404 . . . 4  |-  ( ||r `  Y
)  =  ( ||r `  Y
)
74, 5, 6crngunit 15722 . . 3  |-  ( Y  e.  CRing  ->  ( ( L `  A )  e.  U  <->  ( L `  A ) ( ||r `  Y
) ( 1r `  Y ) ) )
83, 7syl 16 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( L `  A )  e.  U  <->  ( L `  A ) ( ||r `
 Y ) ( 1r `  Y ) ) )
9 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
10 znunit.l . . . . . . 7  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
111, 9, 10znzrhfo 16783 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Y
) )
1211adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Y ) )
13 fof 5612 . . . . 5  |-  ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Y )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y
) )
1412, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y ) )
15 ffvelrn 5827 . . . 4  |-  ( ( L : ZZ --> ( Base `  Y )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( L `  A )  e.  ( Base `  Y
) )
1614, 15sylancom 649 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( L `  A
)  e.  ( Base `  Y ) )
17 eqid 2404 . . . 4  |-  ( .r
`  Y )  =  ( .r `  Y
)
189, 6, 17dvdsr2 15707 . . 3  |-  ( ( L `  A )  e.  ( Base `  Y
)  ->  ( ( L `  A )
( ||r `
 Y ) ( 1r `  Y )  <->  E. x  e.  ( Base `  Y ) ( x ( .r `  Y ) ( L `
 A ) )  =  ( 1r `  Y ) ) )
1916, 18syl 16 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( L `  A ) ( ||r `  Y
) ( 1r `  Y )  <->  E. x  e.  ( Base `  Y
) ( x ( .r `  Y ) ( L `  A
) )  =  ( 1r `  Y ) ) )
20 forn 5615 . . . . . 6  |-  ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Y )  ->  ran  L  =  ( Base `  Y
) )
2112, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ran  L  =  (
Base `  Y )
)
2221rexeqdv 2871 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( E. x  e. 
ran  L ( x ( .r `  Y
) ( L `  A ) )  =  ( 1r `  Y
)  <->  E. x  e.  (
Base `  Y )
( x ( .r
`  Y ) ( L `  A ) )  =  ( 1r
`  Y ) ) )
23 ffn 5550 . . . . 5  |-  ( L : ZZ --> ( Base `  Y )  ->  L  Fn  ZZ )
24 oveq1 6047 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( L `  n )  ->  (
x ( .r `  Y ) ( L `
 A ) )  =  ( ( L `
 n ) ( .r `  Y ) ( L `  A
) ) )
2524eqeq1d 2412 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( L `  n )  ->  (
( x ( .r
`  Y ) ( L `  A ) )  =  ( 1r
`  Y )  <->  ( ( L `  n )
( .r `  Y
) ( L `  A ) )  =  ( 1r `  Y
) ) )
2625rexrn 5831 . . . . 5  |-  ( L  Fn  ZZ  ->  ( E. x  e.  ran  L ( x ( .r
`  Y ) ( L `  A ) )  =  ( 1r
`  Y )  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( L `
 n ) ( .r `  Y ) ( L `  A
) )  =  ( 1r `  Y ) ) )
2714, 23, 263syl 19 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( E. x  e. 
ran  L ( x ( .r `  Y
) ( L `  A ) )  =  ( 1r `  Y
)  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( L `  n ) ( .r
`  Y ) ( L `  A ) )  =  ( 1r
`  Y ) ) )
2822, 27bitr3d 247 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( E. x  e.  ( Base `  Y
) ( x ( .r `  Y ) ( L `  A
) )  =  ( 1r `  Y )  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( L `  n ) ( .r
`  Y ) ( L `  A ) )  =  ( 1r
`  Y ) ) )
29 crngrng 15629 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
303, 29syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  Y  e.  Ring )
31 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  (flds  ZZ )  =  (flds  ZZ )
3231, 10zrhrhm 16748 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  Ring  ->  L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y ) )
3330, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y ) )
3433adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y ) )
35 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  n  e.  ZZ )
36 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
37 zsubrg 16707 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
3831subrgbas 15832 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ  =  ( Base `  (flds  ZZ ) ) )
3937, 38ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ZZ  =  ( Base `  (flds  ZZ ) )
40 zex 10247 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  e.  _V
41 cnfldmul 16664 . . . . . . . . . 10  |-  x.  =  ( .r ` fld )
4231, 41ressmulr 13537 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  x.  =  ( .r `  (flds  ZZ ) ) )
4340, 42ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  x.  =  ( .r `  (flds  ZZ ) )
4439, 43, 17rhmmul 15783 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y )  /\  n  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( L `  ( n  x.  A ) )  =  ( ( L `  n ) ( .r
`  Y ) ( L `  A ) ) )
4534, 35, 36, 44syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( L `  ( n  x.  A
) )  =  ( ( L `  n
) ( .r `  Y ) ( L `
 A ) ) )
4630adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  Y  e.  Ring )
4710, 5zrh1 16749 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( L `
 1 )  =  ( 1r `  Y
) )
4846, 47syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( L ` 
1 )  =  ( 1r `  Y ) )
4945, 48eqeq12d 2418 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( L `
 ( n  x.  A ) )  =  ( L `  1
)  <->  ( ( L `
 n ) ( .r `  Y ) ( L `  A
) )  =  ( 1r `  Y ) ) )
50 simpll 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN0 )
5135, 36zmulcld 10337 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  x.  A )  e.  ZZ )
52 1z 10267 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
5352a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  1  e.  ZZ )
541, 10zndvds 16785 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( n  x.  A
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ( L `  ( n  x.  A
) )  =  ( L `  1 )  <-> 
N  ||  ( (
n  x.  A )  -  1 ) ) )
5550, 51, 53, 54syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( L `
 ( n  x.  A ) )  =  ( L `  1
)  <->  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )
5649, 55bitr3d 247 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( ( L `  n ) ( .r `  Y
) ( L `  A ) )  =  ( 1r `  Y
)  <->  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )
5756rexbidva 2683 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( L `
 n ) ( .r `  Y ) ( L `  A
) )  =  ( 1r `  Y )  <->  E. n  e.  ZZ  N  ||  ( ( n  x.  A )  - 
1 ) ) )
58 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
59 nn0z 10260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
6059ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
61 gcddvds 12970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  N )  ||  A  /\  ( A  gcd  N ) 
||  N ) )
6258, 60, 61syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  -> 
( ( A  gcd  N )  ||  A  /\  ( A  gcd  N ) 
||  N ) )
6362simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  -> 
( A  gcd  N
)  ||  A )
6458, 60gcdcld 12973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  -> 
( A  gcd  N
)  e.  NN0 )
6564nn0zd 10329 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  -> 
( A  gcd  N
)  e.  ZZ )
6635adantrr 698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
67 dvdsmultr2 12840 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
( A  gcd  N
)  ||  A  ->  ( A  gcd  N ) 
||  ( n  x.  A ) ) )
6865, 66, 58, 67syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  -> 
( ( A  gcd  N )  ||  A  -> 
( A  gcd  N
)  ||  ( n  x.  A ) ) )
6963, 68mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  -> 
( A  gcd  N
)  ||  ( n  x.  A ) )
7051adantrr 698 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  -> 
( n  x.  A
)  e.  ZZ )
7152a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  -> 
1  e.  ZZ )
7262simprd 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  -> 
( A  gcd  N
)  ||  N )
73 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  ->  N  ||  ( ( n  x.  A )  - 
1 ) )
74 peano2zm 10276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  x.  A )  e.  ZZ  ->  (
( n  x.  A
)  -  1 )  e.  ZZ )
7570, 74syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  -> 
( ( n  x.  A )  -  1 )  e.  ZZ )
76 dvdstr 12838 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  (
( n  x.  A
)  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( A  gcd  N )  ||  N  /\  N  ||  (
( n  x.  A
)  -  1 ) )  ->  ( A  gcd  N )  ||  (
( n  x.  A
)  -  1 ) ) )
7765, 60, 75, 76syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  -> 
( ( ( A  gcd  N )  ||  N  /\  N  ||  (
( n  x.  A
)  -  1 ) )  ->  ( A  gcd  N )  ||  (
( n  x.  A
)  -  1 ) ) )
7872, 73, 77mp2and 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  -> 
( A  gcd  N
)  ||  ( (
n  x.  A )  -  1 ) )
79 dvdssub2 12842 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  gcd  N )  e.  ZZ  /\  ( n  x.  A
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( A  gcd  N
)  ||  ( (
n  x.  A )  -  1 ) )  ->  ( ( A  gcd  N )  ||  ( n  x.  A
)  <->  ( A  gcd  N )  ||  1 ) )
8065, 70, 71, 78, 79syl31anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  -> 
( ( A  gcd  N )  ||  ( n  x.  A )  <->  ( A  gcd  N )  ||  1
) )
8169, 80mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  -> 
( A  gcd  N
)  ||  1 )
82 dvds1 12853 . . . . . . 7  |-  ( ( A  gcd  N )  e.  NN0  ->  ( ( A  gcd  N ) 
||  1  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
8364, 82syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  -> 
( ( A  gcd  N )  ||  1  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
8481, 83mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  -> 
( A  gcd  N
)  =  1 )
8584rexlimdvaa 2791 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( E. n  e.  ZZ  N  ||  (
( n  x.  A
)  -  1 )  ->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
86 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
8759adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
88 bezout 12997 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  E. n  e.  ZZ  E. m  e.  ZZ  ( A  gcd  N )  =  ( ( A  x.  n )  +  ( N  x.  m ) ) )
8986, 87, 88syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  E. n  e.  ZZ  E. m  e.  ZZ  ( A  gcd  N )  =  ( ( A  x.  n )  +  ( N  x.  m ) ) )
90 eqeq1 2410 . . . . . . 7  |-  ( ( A  gcd  N )  =  1  ->  (
( A  gcd  N
)  =  ( ( A  x.  n )  +  ( N  x.  m ) )  <->  1  =  ( ( A  x.  n )  +  ( N  x.  m ) ) ) )
91902rexbidv 2709 . . . . . 6  |-  ( ( A  gcd  N )  =  1  ->  ( E. n  e.  ZZ  E. m  e.  ZZ  ( A  gcd  N )  =  ( ( A  x.  n )  +  ( N  x.  m ) )  <->  E. n  e.  ZZ  E. m  e.  ZZ  1  =  ( ( A  x.  n )  +  ( N  x.  m
) ) ) )
9289, 91syl5ibcom 212 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  N )  =  1  ->  E. n  e.  ZZ  E. m  e.  ZZ  1  =  ( ( A  x.  n )  +  ( N  x.  m
) ) ) )
9359ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
94 dvdsmul1 12826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( N  x.  m ) )
9593, 94sylancom 649 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( N  x.  m
) )
96 zmulcl 10280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  m
)  e.  ZZ )
9793, 96sylancom 649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  m )  e.  ZZ )
98 dvdsnegb 12822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  x.  m
)  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  ( N  x.  m
)  <->  N  ||  -u ( N  x.  m )
) )
9993, 97, 98syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  ( N  x.  m )  <->  N  ||  -u ( N  x.  m )
) )
10095, 99mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  N  ||  -u ( N  x.  m
) )
10136adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
102101zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  A  e.  CC )
103 zcn 10243 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  CC )
104103ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  n  e.  CC )
105102, 104mulcomd 9065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  n )  =  ( n  x.  A ) )
106105oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( A  x.  n
)  +  ( N  x.  m ) )  =  ( ( n  x.  A )  +  ( N  x.  m
) ) )
107104, 102mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
n  x.  A )  e.  CC )
10897zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  m )  e.  CC )
109107, 108subnegd 9374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( n  x.  A
)  -  -u ( N  x.  m )
)  =  ( ( n  x.  A )  +  ( N  x.  m ) ) )
110106, 109eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( A  x.  n
)  +  ( N  x.  m ) )  =  ( ( n  x.  A )  -  -u ( N  x.  m
) ) )
111110oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( n  x.  A
)  -  ( ( A  x.  n )  +  ( N  x.  m ) ) )  =  ( ( n  x.  A )  -  ( ( n  x.  A )  -  -u ( N  x.  m )
) ) )
112108negcld 9354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  -u ( N  x.  m )  e.  CC )
113107, 112nncand 9372 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( n  x.  A
)  -  ( ( n  x.  A )  -  -u ( N  x.  m ) ) )  =  -u ( N  x.  m ) )
114111, 113eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( n  x.  A
)  -  ( ( A  x.  n )  +  ( N  x.  m ) ) )  =  -u ( N  x.  m ) )
115100, 114breqtrrd 4198 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  (
( A  x.  n
)  +  ( N  x.  m ) ) ) )
116 oveq2 6048 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  =  ( ( A  x.  n )  +  ( N  x.  m
) )  ->  (
( n  x.  A
)  -  1 )  =  ( ( n  x.  A )  -  ( ( A  x.  n )  +  ( N  x.  m ) ) ) )
117116breq2d 4184 . . . . . . . 8  |-  ( 1  =  ( ( A  x.  n )  +  ( N  x.  m
) )  ->  ( N  ||  ( ( n  x.  A )  - 
1 )  <->  N  ||  (
( n  x.  A
)  -  ( ( A  x.  n )  +  ( N  x.  m ) ) ) ) )
118115, 117syl5ibrcom 214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
1  =  ( ( A  x.  n )  +  ( N  x.  m ) )  ->  N  ||  ( ( n  x.  A )  - 
1 ) ) )
119118rexlimdva 2790 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( E. m  e.  ZZ  1  =  ( ( A  x.  n
)  +  ( N  x.  m ) )  ->  N  ||  (
( n  x.  A
)  -  1 ) ) )
120119reximdva 2778 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( E. n  e.  ZZ  E. m  e.  ZZ  1  =  ( ( A  x.  n
)  +  ( N  x.  m ) )  ->  E. n  e.  ZZ  N  ||  ( ( n  x.  A )  - 
1 ) ) )
12192, 120syld 42 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  N )  =  1  ->  E. n  e.  ZZ  N  ||  ( ( n  x.  A )  - 
1 ) ) )
12285, 121impbid 184 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( E. n  e.  ZZ  N  ||  (
( n  x.  A
)  -  1 )  <-> 
( A  gcd  N
)  =  1 ) )
12328, 57, 1223bitrd 271 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( E. x  e.  ( Base `  Y
) ( x ( .r `  Y ) ( L `  A
) )  =  ( 1r `  Y )  <-> 
( A  gcd  N
)  =  1 ) )
1248, 19, 1233bitrd 271 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( L `  A )  e.  U  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667   _Vcvv 2916   class class class wbr 4172   ran crn 4838    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    - cmin 9247   -ucneg 9248   NN0cn0 10177   ZZcz 10238    || cdivides 12807    gcd cgcd 12961   Basecbs 13424   ↾s cress 13425   .rcmulr 13485   Ringcrg 15615   CRingccrg 15616   1rcur 15617   ||rcdsr 15698  Unitcui 15699   RingHom crh 15772  SubRingcsubrg 15819  ℂfldccnfld 16658   ZRHomczrh 16733  ℤ/nczn 16736
This theorem is referenced by:  znunithash  16800  znrrg  16801  dchrelbas4  20980  lgsdchr  21085  rpvmasumlem  21134  dirith  21176
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-0g 13682  df-imas 13689  df-divs 13690  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-nsg 14897  df-eqg 14898  df-ghm 14959  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-rnghom 15774  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-lidl 16201  df-rsp 16202  df-2idl 16258  df-cnfld 16659  df-zrh 16737  df-zn 16740
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