Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znunit Structured version   Unicode version

Theorem znunit 19076
 Description: The units of ℤ/nℤ are the integers coprime to the base. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
znchr.y ℤ/n
znunit.u Unit
znunit.l RHom
Assertion
Ref Expression
znunit

Proof of Theorem znunit
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znchr.y . . . . 5 ℤ/n
21zncrng 19057 . . . 4
4 znunit.u . . . 4 Unit
5 eqid 2428 . . . 4
6 eqid 2428 . . . 4 r r
74, 5, 6crngunit 17833 . . 3 r
83, 7syl 17 . 2 r
9 eqid 2428 . . . . . . 7
10 znunit.l . . . . . . 7 RHom
111, 9, 10znzrhfo 19060 . . . . . 6
1211adantr 466 . . . . 5
13 fof 5753 . . . . 5
1412, 13syl 17 . . . 4
15 ffvelrn 5979 . . . 4
1614, 15sylancom 671 . . 3
17 eqid 2428 . . . 4
189, 6, 17dvdsr2 17818 . . 3 r
1916, 18syl 17 . 2 r
20 forn 5756 . . . . . 6
2112, 20syl 17 . . . . 5
2221rexeqdv 2971 . . . 4
23 ffn 5689 . . . . 5
24 oveq1 6256 . . . . . . 7
2524eqeq1d 2430 . . . . . 6
2625rexrn 5983 . . . . 5
2714, 23, 263syl 18 . . . 4
2822, 27bitr3d 258 . . 3
29 crngring 17734 . . . . . . . . . 10
303, 29syl 17 . . . . . . . . 9
3110zrhrhm 19025 . . . . . . . . 9 ring RingHom
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 ring RingHom
3332adantr 466 . . . . . . 7 ring RingHom
34 simpr 462 . . . . . . 7
35 simplr 760 . . . . . . 7
36 zringbas 18987 . . . . . . . 8 ring
37 zringmulr 18990 . . . . . . . 8 ring
3836, 37, 17rhmmul 17898 . . . . . . 7 ring RingHom
3933, 34, 35, 38syl3anc 1264 . . . . . 6
4030adantr 466 . . . . . . 7
4110, 5zrh1 19026 . . . . . . 7
4240, 41syl 17 . . . . . 6
4339, 42eqeq12d 2443 . . . . 5
44 simpll 758 . . . . . 6
4534, 35zmulcld 10997 . . . . . 6
46 1zzd 10919 . . . . . 6
471, 10zndvds 19062 . . . . . 6
4844, 45, 46, 47syl3anc 1264 . . . . 5
4943, 48bitr3d 258 . . . 4
5049rexbidva 2875 . . 3
51 simplr 760 . . . . . . . . . 10
52 nn0z 10911 . . . . . . . . . . 11
5352ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10
54 gcddvds 14420 . . . . . . . . . 10
5551, 53, 54syl2anc 665 . . . . . . . . 9
5655simpld 460 . . . . . . . 8
5751, 53gcdcld 14425 . . . . . . . . . 10
5857nn0zd 10989 . . . . . . . . 9
5934adantrr 721 . . . . . . . . 9
60 dvdsmultr2 14283 . . . . . . . . 9
6158, 59, 51, 60syl3anc 1264 . . . . . . . 8
6256, 61mpd 15 . . . . . . 7
6345adantrr 721 . . . . . . . 8
64 1zzd 10919 . . . . . . . 8
6555simprd 464 . . . . . . . . 9
66 simprr 764 . . . . . . . . 9
67 peano2zm 10931 . . . . . . . . . . 11
6863, 67syl 17 . . . . . . . . . 10
69 dvdstr 14280 . . . . . . . . . 10
7058, 53, 68, 69syl3anc 1264 . . . . . . . . 9
7165, 66, 70mp2and 683 . . . . . . . 8
72 dvdssub2 14285 . . . . . . . 8
7358, 63, 64, 71, 72syl31anc 1267 . . . . . . 7
7462, 73mpbid 213 . . . . . 6
75 dvds1 14296 . . . . . . 7
7657, 75syl 17 . . . . . 6
7774, 76mpbid 213 . . . . 5
7877rexlimdvaa 2857 . . . 4
79 simpr 462 . . . . . . 7
8052adantr 466 . . . . . . 7
81 bezout 14453 . . . . . . 7
8279, 80, 81syl2anc 665 . . . . . 6
83 eqeq1 2432 . . . . . . 7
84832rexbidv 2885 . . . . . 6
8582, 84syl5ibcom 223 . . . . 5
8652ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . 11
87 dvdsmul1 14267 . . . . . . . . . . 11
8886, 87sylancom 671 . . . . . . . . . 10
89 zmulcl 10936 . . . . . . . . . . . 12
9086, 89sylancom 671 . . . . . . . . . . 11
91 dvdsnegb 14263 . . . . . . . . . . 11
9286, 90, 91syl2anc 665 . . . . . . . . . 10
9388, 92mpbid 213 . . . . . . . . 9
9435adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
9594zcnd 10992 . . . . . . . . . . . . . 14
96 zcn 10893 . . . . . . . . . . . . . . 15
9796ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . 14
9895, 97mulcomd 9615 . . . . . . . . . . . . 13
9998oveq1d 6264 . . . . . . . . . . . 12
10097, 95mulcld 9614 . . . . . . . . . . . . 13
10190zcnd 10992 . . . . . . . . . . . . 13
102100, 101subnegd 9944 . . . . . . . . . . . 12
10399, 102eqtr4d 2465 . . . . . . . . . . 11
104103oveq2d 6265 . . . . . . . . . 10
105101negcld 9924 . . . . . . . . . . 11
106100, 105nncand 9942 . . . . . . . . . 10
107104, 106eqtrd 2462 . . . . . . . . 9
10893, 107breqtrrd 4393 . . . . . . . 8
109 oveq2 6257 . . . . . . . . 9
110109breq2d 4378 . . . . . . . 8
111108, 110syl5ibrcom 225 . . . . . . 7
112111rexlimdva 2856 . . . . . 6
113112reximdva 2839 . . . . 5
11485, 113syld 45 . . . 4
11578, 114impbid 193 . . 3
11628, 50, 1153bitrd 282 . 2
1178, 19, 1163bitrd 282 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1872  wrex 2715   class class class wbr 4366   crn 4797   wfn 5539  wf 5540  wfo 5542  cfv 5544  (class class class)co 6249  cc 9488  c1 9491   caddc 9493   cmul 9495   cmin 9811  cneg 9812  cn0 10820  cz 10888   cdvds 14248   cgcd 14411  cbs 15064  cmulr 15134  cur 17678  crg 17723  ccrg 17724  rcdsr 17809  Unitcui 17810   RingHom crh 17883  ℤringzring 18981  RHomczrh 19013  ℤ/nℤczn 19016 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-tpos 6928  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-ec 7320  df-qs 7324  df-map 7429  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-sup 7909  df-inf 7910  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-rp 11254  df-fz 11736  df-fl 11978  df-mod 12047  df-seq 12164  df-exp 12223  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-dvds 14249  df-gcd 14412  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-starv 15148  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-ip 15151  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-unif 15156  df-0g 15283  df-imas 15350  df-qus 15352  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-mhm 16525  df-grp 16616  df-minusg 16617  df-sbg 16618  df-mulg 16619  df-subg 16757  df-nsg 16758  df-eqg 16759  df-ghm 16824  df-cmn 17375  df-abl 17376  df-mgp 17667  df-ur 17679  df-ring 17725  df-cring 17726  df-oppr 17794  df-dvdsr 17812  df-unit 17813  df-rnghom 17886  df-subrg 17949  df-lmod 18036  df-lss 18099  df-lsp 18138  df-sra 18338  df-rgmod 18339  df-lidl 18340  df-rsp 18341  df-2idl 18399  df-cnfld 18914  df-zring 18982  df-zrh 19017  df-zn 19020 This theorem is referenced by:  znunithash  19077  znrrg  19078  dchrelbas4  24113  lgsdchr  24218  rpvmasumlem  24267  dirith  24309
 Copyright terms: Public domain W3C validator