MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zntoslem Structured version   Unicode version

Theorem zntoslem 18115
Description: Lemma for zntos 18116. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znle2.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
znle2.f  |-  F  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W )
znle2.w  |-  W  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )
znle2.l  |-  .<_  =  ( le `  Y )
znleval.x  |-  X  =  ( Base `  Y
)
Assertion
Ref Expression
zntoslem  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. Toset
)

Proof of Theorem zntoslem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znle2.y . . . . 5  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
2 fvex 5810 . . . . 5  |-  (ℤ/n `  N
)  e.  _V
31, 2eqeltri 2538 . . . 4  |-  Y  e. 
_V
43a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
_V )
5 znleval.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  Y
)
65a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  X  =  ( Base `  Y
) )
7 znle2.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  Y )
87a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  .<_  =  ( le `  Y ) )
9 znle2.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W )
10 znle2.w . . . . . . . . . 10  |-  W  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )
111, 5, 9, 10znf1o 18110 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  F : W
-1-1-onto-> X )
12 f1ocnv 5762 . . . . . . . . 9  |-  ( F : W -1-1-onto-> X  ->  `' F : X -1-1-onto-> W )
1311, 12syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  `' F : X -1-1-onto-> W )
14 f1of 5750 . . . . . . . 8  |-  ( `' F : X -1-1-onto-> W  ->  `' F : X --> W )
1513, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  `' F : X --> W )
16 sseq1 3486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ  =  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  ->  ( ZZ  C_  ZZ  <->  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  C_  ZZ ) )
17 sseq1 3486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0..^ N )  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )  ->  ( (
0..^ N )  C_  ZZ 
<->  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )  C_  ZZ )
)
18 ssid 3484 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  C_  ZZ
19 elfzoelz 11671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0..^ N )  ->  x  e.  ZZ )
2019ssriv 3469 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0..^ N )  C_  ZZ
2116, 17, 18, 20keephyp 3963 . . . . . . . . 9  |-  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  C_  ZZ
2210, 21eqsstri 3495 . . . . . . . 8  |-  W  C_  ZZ
23 zssre 10765 . . . . . . . 8  |-  ZZ  C_  RR
2422, 23sstri 3474 . . . . . . 7  |-  W  C_  RR
25 fss 5676 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F : X --> W  /\  W  C_  RR )  ->  `' F : X --> RR )
2615, 24, 25sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  `' F : X --> RR )
2726ffvelrnda 5953 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X )  ->  ( `' F `  x )  e.  RR )
2827leidd 10018 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X )  ->  ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  x ) )
291, 9, 10, 7, 5znleval2 18114 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( x  .<_  x  <->  ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  x ) ) )
30293anidm23 1278 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X )  ->  ( x  .<_  x  <->  ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  x ) ) )
3128, 30mpbird 232 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X )  ->  x  .<_  x )
321, 9, 10, 7, 5znleval2 18114 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x  .<_  y  <->  ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  y ) ) )
331, 9, 10, 7, 5znleval2 18114 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( y  .<_  x  <->  ( `' F `  y )  <_  ( `' F `  x ) ) )
34333com23 1194 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( y  .<_  x  <->  ( `' F `  y )  <_  ( `' F `  x ) ) )
3532, 34anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  <-> 
( ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  y )  /\  ( `' F `  y )  <_  ( `' F `  x ) ) ) )
36273adant3 1008 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( `' F `  x )  e.  RR )
3726ffvelrnda 5953 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  y  e.  X )  ->  ( `' F `  y )  e.  RR )
38373adant2 1007 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( `' F `  y )  e.  RR )
3936, 38letri3d 9628 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( `' F `  x )  =  ( `' F `  y )  <-> 
( ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  y )  /\  ( `' F `  y )  <_  ( `' F `  x ) ) ) )
40 f1of1 5749 . . . . . . . 8  |-  ( `' F : X -1-1-onto-> W  ->  `' F : X -1-1-> W
)
4113, 40syl 16 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  `' F : X -1-1-> W )
42 f1fveq 6085 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F : X -1-1-> W  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  x )  =  ( `' F `  y )  <-> 
x  =  y ) )
4341, 42sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  x )  =  ( `' F `  y )  <-> 
x  =  y ) )
44433impb 1184 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( `' F `  x )  =  ( `' F `  y )  <-> 
x  =  y ) )
4535, 39, 443bitr2d 281 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  <-> 
x  =  y ) )
4645biimpd 207 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) )
47273ad2antr1 1153 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  ( `' F `  x )  e.  RR )
48373ad2antr2 1154 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  ( `' F `  y )  e.  RR )
4926ffvelrnda 5953 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  X )  ->  ( `' F `  z )  e.  RR )
50493ad2antr3 1155 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  RR )
51 letr 9580 . . . . 5  |-  ( ( ( `' F `  x )  e.  RR  /\  ( `' F `  y )  e.  RR  /\  ( `' F `  z )  e.  RR )  ->  ( ( ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  y )  /\  ( `' F `  y )  <_  ( `' F `  z ) )  -> 
( `' F `  x )  <_  ( `' F `  z ) ) )
5247, 48, 50, 51syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  y )  /\  ( `' F `  y )  <_  ( `' F `  z ) )  ->  ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  z ) ) )
53323adant3r3 1199 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
x  .<_  y  <->  ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  y ) ) )
541, 9, 10, 7, 5znleval2 18114 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( y  .<_  z  <->  ( `' F `  y )  <_  ( `' F `  z ) ) )
55543adant3r1 1197 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
y  .<_  z  <->  ( `' F `  y )  <_  ( `' F `  z ) ) )
5653, 55anbi12d 710 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  <->  ( ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  y )  /\  ( `' F `  y )  <_  ( `' F `  z ) ) ) )
571, 9, 10, 7, 5znleval2 18114 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( x  .<_  z  <->  ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  z ) ) )
58573adant3r2 1198 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
x  .<_  z  <->  ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  z ) ) )
5952, 56, 583imtr4d 268 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )
604, 6, 8, 31, 46, 59isposd 15245 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
Poset )
6136, 38letrid 9636 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  y )  \/  ( `' F `  y )  <_  ( `' F `  x ) ) )
6232, 34orbi12d 709 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )  <-> 
( ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  y )  \/  ( `' F `  y )  <_  ( `' F `  x ) ) ) )
6361, 62mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
)
64633expb 1189 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) )
6564ralrimivva 2914 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) )
665, 7istos 15325 . 2  |-  ( Y  e. Toset 
<->  ( Y  e.  Poset  /\ 
A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) )
6760, 65, 66sylanbrc 664 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. Toset
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   _Vcvv 3078    C_ wss 3437   ifcif 3900   class class class wbr 4401   `'ccnv 4948    |` cres 4951   -->wf 5523   -1-1->wf1 5524   -1-1-onto->wf1o 5526   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   RRcr 9393   0cc0 9394    <_ cle 9531   NN0cn0 10691   ZZcz 10758  ..^cfzo 11666   Basecbs 14293   lecple 14365   Posetcpo 15230  Tosetctos 15323   ZRHomczrh 18057  ℤ/nczn 18060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472  ax-addf 9473  ax-mulf 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-tpos 6856  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-ec 7214  df-qs 7218  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-sup 7803  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-rp 11104  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-fl 11760  df-mod 11827  df-seq 11925  df-dvds 13655  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-0g 14500  df-imas 14566  df-divs 14567  df-poset 15236  df-toset 15324  df-mnd 15535  df-mhm 15584  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-sbg 15667  df-mulg 15668  df-subg 15798  df-nsg 15799  df-eqg 15800  df-ghm 15865  df-cmn 16401  df-abl 16402  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-cring 16772  df-oppr 16839  df-dvdsr 16857  df-rnghom 16930  df-subrg 16987  df-lmod 17074  df-lss 17138  df-lsp 17177  df-sra 17377  df-rgmod 17378  df-lidl 17379  df-rsp 17380  df-2idl 17438  df-cnfld 17945  df-zring 18010  df-zrh 18061  df-zn 18064
This theorem is referenced by:  zntos  18116
  Copyright terms: Public domain W3C validator