MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zntoslem Structured version   Unicode version

Theorem zntoslem 18771
Description: Lemma for zntos 18772. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znle2.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
znle2.f  |-  F  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W )
znle2.w  |-  W  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )
znle2.l  |-  .<_  =  ( le `  Y )
znleval.x  |-  X  =  ( Base `  Y
)
Assertion
Ref Expression
zntoslem  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. Toset
)

Proof of Theorem zntoslem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znle2.y . . . . 5  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
2 fvex 5858 . . . . 5  |-  (ℤ/n `  N
)  e.  _V
31, 2eqeltri 2538 . . . 4  |-  Y  e. 
_V
43a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
_V )
5 znleval.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  Y
)
65a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  X  =  ( Base `  Y
) )
7 znle2.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  Y )
87a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  .<_  =  ( le `  Y ) )
9 znle2.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W )
10 znle2.w . . . . . . . . . 10  |-  W  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )
111, 5, 9, 10znf1o 18766 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  F : W
-1-1-onto-> X )
12 f1ocnv 5810 . . . . . . . . 9  |-  ( F : W -1-1-onto-> X  ->  `' F : X -1-1-onto-> W )
1311, 12syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  `' F : X -1-1-onto-> W )
14 f1of 5798 . . . . . . . 8  |-  ( `' F : X -1-1-onto-> W  ->  `' F : X --> W )
1513, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  `' F : X --> W )
16 sseq1 3510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ  =  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  ->  ( ZZ  C_  ZZ  <->  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  C_  ZZ ) )
17 sseq1 3510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0..^ N )  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )  ->  ( (
0..^ N )  C_  ZZ 
<->  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )  C_  ZZ )
)
18 ssid 3508 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  C_  ZZ
19 elfzoelz 11804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0..^ N )  ->  x  e.  ZZ )
2019ssriv 3493 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0..^ N )  C_  ZZ
2116, 17, 18, 20keephyp 3993 . . . . . . . . 9  |-  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  C_  ZZ
2210, 21eqsstri 3519 . . . . . . . 8  |-  W  C_  ZZ
23 zssre 10867 . . . . . . . 8  |-  ZZ  C_  RR
2422, 23sstri 3498 . . . . . . 7  |-  W  C_  RR
25 fss 5721 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F : X --> W  /\  W  C_  RR )  ->  `' F : X --> RR )
2615, 24, 25sylancl 660 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  `' F : X --> RR )
2726ffvelrnda 6007 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X )  ->  ( `' F `  x )  e.  RR )
2827leidd 10115 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X )  ->  ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  x ) )
291, 9, 10, 7, 5znleval2 18770 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( x  .<_  x  <->  ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  x ) ) )
30293anidm23 1285 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X )  ->  ( x  .<_  x  <->  ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  x ) ) )
3128, 30mpbird 232 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X )  ->  x  .<_  x )
321, 9, 10, 7, 5znleval2 18770 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x  .<_  y  <->  ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  y ) ) )
331, 9, 10, 7, 5znleval2 18770 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( y  .<_  x  <->  ( `' F `  y )  <_  ( `' F `  x ) ) )
34333com23 1200 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( y  .<_  x  <->  ( `' F `  y )  <_  ( `' F `  x ) ) )
3532, 34anbi12d 708 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  <-> 
( ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  y )  /\  ( `' F `  y )  <_  ( `' F `  x ) ) ) )
36273adant3 1014 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( `' F `  x )  e.  RR )
3726ffvelrnda 6007 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  y  e.  X )  ->  ( `' F `  y )  e.  RR )
38373adant2 1013 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( `' F `  y )  e.  RR )
3936, 38letri3d 9716 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( `' F `  x )  =  ( `' F `  y )  <-> 
( ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  y )  /\  ( `' F `  y )  <_  ( `' F `  x ) ) ) )
40 f1of1 5797 . . . . . . . 8  |-  ( `' F : X -1-1-onto-> W  ->  `' F : X -1-1-> W
)
4113, 40syl 16 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  `' F : X -1-1-> W )
42 f1fveq 6145 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F : X -1-1-> W  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  x )  =  ( `' F `  y )  <-> 
x  =  y ) )
4341, 42sylan 469 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  x )  =  ( `' F `  y )  <-> 
x  =  y ) )
44433impb 1190 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( `' F `  x )  =  ( `' F `  y )  <-> 
x  =  y ) )
4535, 39, 443bitr2d 281 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  <-> 
x  =  y ) )
4645biimpd 207 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) )
47273ad2antr1 1159 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  ( `' F `  x )  e.  RR )
48373ad2antr2 1160 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  ( `' F `  y )  e.  RR )
4926ffvelrnda 6007 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  X )  ->  ( `' F `  z )  e.  RR )
50493ad2antr3 1161 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  RR )
51 letr 9667 . . . . 5  |-  ( ( ( `' F `  x )  e.  RR  /\  ( `' F `  y )  e.  RR  /\  ( `' F `  z )  e.  RR )  ->  ( ( ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  y )  /\  ( `' F `  y )  <_  ( `' F `  z ) )  -> 
( `' F `  x )  <_  ( `' F `  z ) ) )
5247, 48, 50, 51syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  y )  /\  ( `' F `  y )  <_  ( `' F `  z ) )  ->  ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  z ) ) )
53323adant3r3 1205 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
x  .<_  y  <->  ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  y ) ) )
541, 9, 10, 7, 5znleval2 18770 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( y  .<_  z  <->  ( `' F `  y )  <_  ( `' F `  z ) ) )
55543adant3r1 1203 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
y  .<_  z  <->  ( `' F `  y )  <_  ( `' F `  z ) ) )
5653, 55anbi12d 708 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  <->  ( ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  y )  /\  ( `' F `  y )  <_  ( `' F `  z ) ) ) )
571, 9, 10, 7, 5znleval2 18770 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( x  .<_  z  <->  ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  z ) ) )
58573adant3r2 1204 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
x  .<_  z  <->  ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  z ) ) )
5952, 56, 583imtr4d 268 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )
604, 6, 8, 31, 46, 59isposd 15787 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
Poset )
6136, 38letrid 9724 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  y )  \/  ( `' F `  y )  <_  ( `' F `  x ) ) )
6232, 34orbi12d 707 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )  <-> 
( ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  y )  \/  ( `' F `  y )  <_  ( `' F `  x ) ) ) )
6361, 62mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
)
64633expb 1195 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) )
6564ralrimivva 2875 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) )
665, 7istos 15867 . 2  |-  ( Y  e. Toset 
<->  ( Y  e.  Poset  /\ 
A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) )
6760, 65, 66sylanbrc 662 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. Toset
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106    C_ wss 3461   ifcif 3929   class class class wbr 4439   `'ccnv 4987    |` cres 4990   -->wf 5566   -1-1->wf1 5567   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   0cc0 9481    <_ cle 9618   NN0cn0 10791   ZZcz 10860  ..^cfzo 11799   Basecbs 14719   lecple 14794   Posetcpo 15771  Tosetctos 15865   ZRHomczrh 18715  ℤ/nczn 18718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-ec 7305  df-qs 7309  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12093  df-dvds 14074  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-0g 14934  df-imas 15000  df-qus 15001  df-poset 15777  df-toset 15866  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-mhm 16168  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-sbg 16261  df-mulg 16262  df-subg 16400  df-nsg 16401  df-eqg 16402  df-ghm 16467  df-cmn 17002  df-abl 17003  df-mgp 17340  df-ur 17352  df-ring 17398  df-cring 17399  df-oppr 17470  df-dvdsr 17488  df-rnghom 17562  df-subrg 17625  df-lmod 17712  df-lss 17777  df-lsp 17816  df-sra 18016  df-rgmod 18017  df-lidl 18018  df-rsp 18019  df-2idl 18078  df-cnfld 18619  df-zring 18687  df-zrh 18719  df-zn 18722
This theorem is referenced by:  zntos  18772
  Copyright terms: Public domain W3C validator