MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zntoslem Structured version   Unicode version

Theorem zntoslem 18359
Description: Lemma for zntos 18360. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znle2.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
znle2.f  |-  F  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W )
znle2.w  |-  W  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )
znle2.l  |-  .<_  =  ( le `  Y )
znleval.x  |-  X  =  ( Base `  Y
)
Assertion
Ref Expression
zntoslem  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. Toset
)

Proof of Theorem zntoslem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znle2.y . . . . 5  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
2 fvex 5874 . . . . 5  |-  (ℤ/n `  N
)  e.  _V
31, 2eqeltri 2551 . . . 4  |-  Y  e. 
_V
43a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
_V )
5 znleval.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  Y
)
65a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  X  =  ( Base `  Y
) )
7 znle2.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  Y )
87a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  .<_  =  ( le `  Y ) )
9 znle2.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W )
10 znle2.w . . . . . . . . . 10  |-  W  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )
111, 5, 9, 10znf1o 18354 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  F : W
-1-1-onto-> X )
12 f1ocnv 5826 . . . . . . . . 9  |-  ( F : W -1-1-onto-> X  ->  `' F : X -1-1-onto-> W )
1311, 12syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  `' F : X -1-1-onto-> W )
14 f1of 5814 . . . . . . . 8  |-  ( `' F : X -1-1-onto-> W  ->  `' F : X --> W )
1513, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  `' F : X --> W )
16 sseq1 3525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ  =  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  ->  ( ZZ  C_  ZZ  <->  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  C_  ZZ ) )
17 sseq1 3525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0..^ N )  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )  ->  ( (
0..^ N )  C_  ZZ 
<->  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )  C_  ZZ )
)
18 ssid 3523 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  C_  ZZ
19 elfzoelz 11793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0..^ N )  ->  x  e.  ZZ )
2019ssriv 3508 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0..^ N )  C_  ZZ
2116, 17, 18, 20keephyp 4004 . . . . . . . . 9  |-  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  C_  ZZ
2210, 21eqsstri 3534 . . . . . . . 8  |-  W  C_  ZZ
23 zssre 10867 . . . . . . . 8  |-  ZZ  C_  RR
2422, 23sstri 3513 . . . . . . 7  |-  W  C_  RR
25 fss 5737 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F : X --> W  /\  W  C_  RR )  ->  `' F : X --> RR )
2615, 24, 25sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  `' F : X --> RR )
2726ffvelrnda 6019 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X )  ->  ( `' F `  x )  e.  RR )
2827leidd 10115 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X )  ->  ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  x ) )
291, 9, 10, 7, 5znleval2 18358 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( x  .<_  x  <->  ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  x ) ) )
30293anidm23 1287 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X )  ->  ( x  .<_  x  <->  ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  x ) ) )
3128, 30mpbird 232 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X )  ->  x  .<_  x )
321, 9, 10, 7, 5znleval2 18358 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x  .<_  y  <->  ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  y ) ) )
331, 9, 10, 7, 5znleval2 18358 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( y  .<_  x  <->  ( `' F `  y )  <_  ( `' F `  x ) ) )
34333com23 1202 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( y  .<_  x  <->  ( `' F `  y )  <_  ( `' F `  x ) ) )
3532, 34anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  <-> 
( ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  y )  /\  ( `' F `  y )  <_  ( `' F `  x ) ) ) )
36273adant3 1016 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( `' F `  x )  e.  RR )
3726ffvelrnda 6019 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  y  e.  X )  ->  ( `' F `  y )  e.  RR )
38373adant2 1015 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( `' F `  y )  e.  RR )
3936, 38letri3d 9722 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( `' F `  x )  =  ( `' F `  y )  <-> 
( ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  y )  /\  ( `' F `  y )  <_  ( `' F `  x ) ) ) )
40 f1of1 5813 . . . . . . . 8  |-  ( `' F : X -1-1-onto-> W  ->  `' F : X -1-1-> W
)
4113, 40syl 16 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  `' F : X -1-1-> W )
42 f1fveq 6156 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F : X -1-1-> W  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  x )  =  ( `' F `  y )  <-> 
x  =  y ) )
4341, 42sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  x )  =  ( `' F `  y )  <-> 
x  =  y ) )
44433impb 1192 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( `' F `  x )  =  ( `' F `  y )  <-> 
x  =  y ) )
4535, 39, 443bitr2d 281 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  <-> 
x  =  y ) )
4645biimpd 207 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) )
47273ad2antr1 1161 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  ( `' F `  x )  e.  RR )
48373ad2antr2 1162 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  ( `' F `  y )  e.  RR )
4926ffvelrnda 6019 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  X )  ->  ( `' F `  z )  e.  RR )
50493ad2antr3 1163 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  RR )
51 letr 9674 . . . . 5  |-  ( ( ( `' F `  x )  e.  RR  /\  ( `' F `  y )  e.  RR  /\  ( `' F `  z )  e.  RR )  ->  ( ( ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  y )  /\  ( `' F `  y )  <_  ( `' F `  z ) )  -> 
( `' F `  x )  <_  ( `' F `  z ) ) )
5247, 48, 50, 51syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  y )  /\  ( `' F `  y )  <_  ( `' F `  z ) )  ->  ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  z ) ) )
53323adant3r3 1207 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
x  .<_  y  <->  ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  y ) ) )
541, 9, 10, 7, 5znleval2 18358 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( y  .<_  z  <->  ( `' F `  y )  <_  ( `' F `  z ) ) )
55543adant3r1 1205 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
y  .<_  z  <->  ( `' F `  y )  <_  ( `' F `  z ) ) )
5653, 55anbi12d 710 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  <->  ( ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  y )  /\  ( `' F `  y )  <_  ( `' F `  z ) ) ) )
571, 9, 10, 7, 5znleval2 18358 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( x  .<_  z  <->  ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  z ) ) )
58573adant3r2 1206 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
x  .<_  z  <->  ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  z ) ) )
5952, 56, 583imtr4d 268 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )
604, 6, 8, 31, 46, 59isposd 15435 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
Poset )
6136, 38letrid 9730 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  y )  \/  ( `' F `  y )  <_  ( `' F `  x ) ) )
6232, 34orbi12d 709 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )  <-> 
( ( `' F `  x )  <_  ( `' F `  y )  \/  ( `' F `  y )  <_  ( `' F `  x ) ) ) )
6361, 62mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
)
64633expb 1197 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) )
6564ralrimivva 2885 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) )
665, 7istos 15515 . 2  |-  ( Y  e. Toset 
<->  ( Y  e.  Poset  /\ 
A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) )
6760, 65, 66sylanbrc 664 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. Toset
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   ifcif 3939   class class class wbr 4447   `'ccnv 4998    |` cres 5001   -->wf 5582   -1-1->wf1 5583   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487   0cc0 9488    <_ cle 9625   NN0cn0 10791   ZZcz 10860  ..^cfzo 11788   Basecbs 14483   lecple 14555   Posetcpo 15420  Tosetctos 15513   ZRHomczrh 18301  ℤ/nczn 18304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-ec 7310  df-qs 7314  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11960  df-seq 12071  df-dvds 13841  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-starv 14563  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-ip 14566  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-unif 14571  df-0g 14690  df-imas 14756  df-divs 14757  df-poset 15426  df-toset 15514  df-mnd 15725  df-mhm 15774  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-sbg 15857  df-mulg 15858  df-subg 15990  df-nsg 15991  df-eqg 15992  df-ghm 16057  df-cmn 16593  df-abl 16594  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-rng 16985  df-cring 16986  df-oppr 17053  df-dvdsr 17071  df-rnghom 17145  df-subrg 17207  df-lmod 17294  df-lss 17359  df-lsp 17398  df-sra 17598  df-rgmod 17599  df-lidl 17600  df-rsp 17601  df-2idl 17659  df-cnfld 18189  df-zring 18254  df-zrh 18305  df-zn 18308
This theorem is referenced by:  zntos  18360
  Copyright terms: Public domain W3C validator