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Theorem znrrg 18900
Description: The regular elements of ℤ/nℤ are exactly the units. (This theorem fails for  N  =  0, where all nonzero integers are regular, but only  pm 1 are units.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
znchr.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
znunit.u  |-  U  =  (Unit `  Y )
znrrg.e  |-  E  =  (RLReg `  Y )
Assertion
Ref Expression
znrrg  |-  ( N  e.  NN  ->  E  =  U )

Proof of Theorem znrrg
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 10842 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
2 znchr.y . . . . . . . 8  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
3 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
4 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( ZRHom `  Y )  =  ( ZRHom `  Y )
52, 3, 4znzrhfo 18882 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ -onto->
( Base `  Y )
)
61, 5syl 17 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ -onto-> ( Base `  Y
) )
7 znrrg.e . . . . . . . 8  |-  E  =  (RLReg `  Y )
87, 3rrgss 18259 . . . . . . 7  |-  E  C_  ( Base `  Y )
98sseli 3437 . . . . . 6  |-  ( x  e.  E  ->  x  e.  ( Base `  Y
) )
10 foelrn 6027 . . . . . 6  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
) : ZZ -onto-> ( Base `  Y )  /\  x  e.  ( Base `  Y ) )  ->  E. n  e.  ZZ  x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  n ) )
116, 9, 10syl2an 475 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  E )  ->  E. n  e.  ZZ  x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  n ) )
1211ex 432 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  E  ->  E. n  e.  ZZ  x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  n ) ) )
13 nncn 10583 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
1413ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  N  e.  CC )
15 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  n  e.  ZZ )
16 nnz 10926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
1716ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  N  e.  ZZ )
18 nnne0 10608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
1918ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  N  =/=  0
)
20 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  =  0  /\  N  =  0 )  ->  N  =  0 )
2120necon3ai 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  =/=  0  ->  -.  ( n  =  0  /\  N  =  0
) )
2219, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  -.  ( n  =  0  /\  N  =  0 ) )
23 gcdn0cl 14359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  ( n  =  0  /\  N  =  0 ) )  ->  ( n  gcd  N )  e.  NN )
2415, 17, 22, 23syl21anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( n  gcd  N )  e.  NN )
2524nncnd 10591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( n  gcd  N )  e.  CC )
2624nnne0d 10620 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( n  gcd  N )  =/=  0 )
2714, 25, 26divcan2d 10362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( n  gcd  N )  x.  ( N  /  (
n  gcd  N )
) )  =  N )
28 gcddvds 14360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( n  gcd  N )  ||  n  /\  ( n  gcd  N ) 
||  N ) )
2915, 17, 28syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( n  gcd  N )  ||  n  /\  ( n  gcd  N )  ||  N ) )
3029simpld 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( n  gcd  N )  ||  n )
3124nnzd 11006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( n  gcd  N )  e.  ZZ )
3229simprd 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( n  gcd  N )  ||  N )
33 simpll 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  N  e.  NN )
34 nndivdvds 14199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  gcd  N )  e.  NN )  -> 
( ( n  gcd  N )  ||  N  <->  ( N  /  ( n  gcd  N ) )  e.  NN ) )
3533, 24, 34syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( n  gcd  N )  ||  N 
<->  ( N  /  (
n  gcd  N )
)  e.  NN ) )
3632, 35mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( N  / 
( n  gcd  N
) )  e.  NN )
3736nnzd 11006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( N  / 
( n  gcd  N
) )  e.  ZZ )
38 dvdsmulc 14218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  ( N  /  ( n  gcd  N ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( n  gcd  N )  ||  n  ->  ( ( n  gcd  N )  x.  ( N  /  (
n  gcd  N )
) )  ||  (
n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) ) )
3931, 15, 37, 38syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( n  gcd  N )  ||  n  ->  ( ( n  gcd  N )  x.  ( N  /  (
n  gcd  N )
) )  ||  (
n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) ) )
4030, 39mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( n  gcd  N )  x.  ( N  /  (
n  gcd  N )
) )  ||  (
n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )
4127, 40eqbrtrrd 4416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  N  ||  (
n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )
42 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )
431ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  N  e.  NN0 )
4443, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ -onto->
( Base `  Y )
)
45 fof 5777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ZRHom `  Y ) : ZZ -onto-> ( Base `  Y
)  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ --> ( Base `  Y )
)
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ --> ( Base `  Y )
)
4746, 37ffvelrnd 6009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
48 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( .r
`  Y )  =  ( .r `  Y
)
49 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
507, 3, 48, 49rrgeq0i 18255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )  ->  (
( ( ( ZRHom `  Y ) `  n
) ( .r `  Y ) ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  (
n  gcd  N )
) ) )  =  ( 0g `  Y
)  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  (
n  gcd  N )
) )  =  ( 0g `  Y ) ) )
5142, 47, 50syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  Y
) `  n )
( .r `  Y
) ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )  =  ( 0g `  Y )  ->  (
( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) )  =  ( 0g `  Y
) ) )
522zncrng 18879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
CRing )
531, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  Y  e.  CRing )
54 crngring 17527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN  ->  Y  e.  Ring )
5655ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  Y  e.  Ring )
574zrhrhm 18847 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( ZRHom `  Y )  e.  (ring RingHom  Y
) )
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ZRHom `  Y )  e.  (ring RingHom  Y
) )
59 zringbas 18812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
60 zringmulr 18815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  x.  =  ( .r ` ring )
6159, 60, 48rhmmul 17694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
)  e.  (ring RingHom  Y )  /\  n  e.  ZZ  /\  ( N  /  ( n  gcd  N ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  (
n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )  =  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  n ) ( .r
`  Y ) ( ( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) ) )
6258, 15, 37, 61syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  (
n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )  =  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  n ) ( .r
`  Y ) ( ( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) ) )
6362eqeq1d 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )  =  ( 0g `  Y )  <->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  n )
( .r `  Y
) ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )  =  ( 0g `  Y ) ) )
6415, 37zmulcld 11013 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( n  x.  ( N  /  (
n  gcd  N )
) )  e.  ZZ )
652, 4, 49zndvds0 18885 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( ZRHom `  Y ) `  (
n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )  =  ( 0g `  Y )  <->  N  ||  (
n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) ) )
6643, 64, 65syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )  =  ( 0g `  Y )  <->  N  ||  (
n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) ) )
6763, 66bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  Y
) `  n )
( .r `  Y
) ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )  =  ( 0g `  Y )  <->  N  ||  (
n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) ) )
682, 4, 49zndvds0 18885 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( N  /  (
n  gcd  N )
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  (
n  gcd  N )
) )  =  ( 0g `  Y )  <-> 
N  ||  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )
6943, 37, 68syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  (
n  gcd  N )
) )  =  ( 0g `  Y )  <-> 
N  ||  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )
7051, 67, 693imtr3d 267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( N  ||  ( n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) )  ->  N  ||  ( N  / 
( n  gcd  N
) ) ) )
7141, 70mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  N  ||  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) )
7214, 25, 26divcan1d 10361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( N  /  ( n  gcd  N ) )  x.  (
n  gcd  N )
)  =  N )
7336nncnd 10591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( N  / 
( n  gcd  N
) )  e.  CC )
7473mulid1d 9642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( N  /  ( n  gcd  N ) )  x.  1 )  =  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) )
7571, 72, 743brtr4d 4424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( N  /  ( n  gcd  N ) )  x.  (
n  gcd  N )
)  ||  ( ( N  /  ( n  gcd  N ) )  x.  1 ) )
76 1zzd 10935 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  1  e.  ZZ )
7736nnne0d 10620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( N  / 
( n  gcd  N
) )  =/=  0
)
78 dvdscmulr 14219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  (
( N  /  (
n  gcd  N )
)  e.  ZZ  /\  ( N  /  (
n  gcd  N )
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
( N  /  (
n  gcd  N )
)  x.  ( n  gcd  N ) ) 
||  ( ( N  /  ( n  gcd  N ) )  x.  1 )  <->  ( n  gcd  N )  ||  1 ) )
7931, 76, 37, 77, 78syl112anc 1234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( ( N  /  ( n  gcd  N ) )  x.  ( n  gcd  N ) )  ||  (
( N  /  (
n  gcd  N )
)  x.  1 )  <-> 
( n  gcd  N
)  ||  1 ) )
8075, 79mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( n  gcd  N )  ||  1 )
8115, 17gcdcld 14363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( n  gcd  N )  e.  NN0 )
82 dvds1 14241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  gcd  N )  e.  NN0  ->  ( ( n  gcd  N ) 
||  1  <->  ( n  gcd  N )  =  1 ) )
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( n  gcd  N )  ||  1 
<->  ( n  gcd  N
)  =  1 ) )
8480, 83mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( n  gcd  N )  =  1 )
85 znunit.u . . . . . . . . . . 11  |-  U  =  (Unit `  Y )
862, 85, 4znunit 18898 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  U  <->  ( n  gcd  N )  =  1 ) )
8743, 15, 86syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  n )  e.  U  <->  ( n  gcd  N )  =  1 ) )
8884, 87mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  U )
8988ex 432 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E  -> 
( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  U ) )
90 eleq1 2474 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  ->  ( x  e.  E  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E ) )
91 eleq1 2474 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  ->  ( x  e.  U  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  U ) )
9290, 91imbi12d 318 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  ->  ( (
x  e.  E  ->  x  e.  U )  <->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E  -> 
( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  U ) ) )
9389, 92syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( x  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  n )  ->  ( x  e.  E  ->  x  e.  U ) ) )
9493rexlimdva 2895 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( E. n  e.  ZZ  x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  n )  ->  (
x  e.  E  ->  x  e.  U )
) )
9594com23 78 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  E  -> 
( E. n  e.  ZZ  x  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  n )  ->  x  e.  U ) ) )
9612, 95mpdd 38 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  E  ->  x  e.  U )
)
9796ssrdv 3447 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  E  C_  U )
987, 85unitrrg 18260 . . 3  |-  ( Y  e.  Ring  ->  U  C_  E )
9955, 98syl 17 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  U  C_  E )
10097, 99eqssd 3458 1  |-  ( N  e.  NN  ->  E  =  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   E.wrex 2754    C_ wss 3413   class class class wbr 4394   -->wf 5564   -onto->wfo 5566   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   CCcc 9519   0cc0 9521   1c1 9522    x. cmul 9526    / cdiv 10246   NNcn 10575   NN0cn0 10835   ZZcz 10904    || cdvds 14193    gcd cgcd 14351   Basecbs 14839   .rcmulr 14908   0gc0g 15052   Ringcrg 17516   CRingccrg 17517  Unitcui 17606   RingHom crh 17679  RLRegcrlreg 18245  ℤringzring 18806   ZRHomczrh 18835  ℤ/nczn 18838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600  ax-mulf 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-tpos 6957  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-ec 7349  df-qs 7353  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-rp 11265  df-fz 11725  df-fl 11964  df-mod 12033  df-seq 12150  df-exp 12209  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-dvds 14194  df-gcd 14352  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-0g 15054  df-imas 15120  df-qus 15121  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mhm 16288  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-mulg 16382  df-subg 16520  df-nsg 16521  df-eqg 16522  df-ghm 16587  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-cring 17519  df-oppr 17590  df-dvdsr 17608  df-unit 17609  df-invr 17639  df-rnghom 17682  df-subrg 17745  df-lmod 17832  df-lss 17897  df-lsp 17936  df-sra 18136  df-rgmod 18137  df-lidl 18138  df-rsp 18139  df-2idl 18198  df-rlreg 18249  df-cnfld 18739  df-zring 18807  df-zrh 18839  df-zn 18842
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