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Theorem znrrg 18371
Description: The regular elements of ℤ/nℤ are exactly the units. (This theorem fails for  N  =  0, where all nonzero integers are regular, but only  pm 1 are units.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
znchr.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
znunit.u  |-  U  =  (Unit `  Y )
znrrg.e  |-  E  =  (RLReg `  Y )
Assertion
Ref Expression
znrrg  |-  ( N  e.  NN  ->  E  =  U )

Proof of Theorem znrrg
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 10798 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
2 znchr.y . . . . . . . 8  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
3 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
4 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ZRHom `  Y )  =  ( ZRHom `  Y )
52, 3, 4znzrhfo 18353 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ -onto->
( Base `  Y )
)
61, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ -onto-> ( Base `  Y
) )
7 znrrg.e . . . . . . . 8  |-  E  =  (RLReg `  Y )
87, 3rrgss 17712 . . . . . . 7  |-  E  C_  ( Base `  Y )
98sseli 3500 . . . . . 6  |-  ( x  e.  E  ->  x  e.  ( Base `  Y
) )
10 foelrn 6038 . . . . . 6  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
) : ZZ -onto-> ( Base `  Y )  /\  x  e.  ( Base `  Y ) )  ->  E. n  e.  ZZ  x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  n ) )
116, 9, 10syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  E )  ->  E. n  e.  ZZ  x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  n ) )
1211ex 434 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  E  ->  E. n  e.  ZZ  x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  n ) ) )
13 nncn 10540 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
1413ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  N  e.  CC )
15 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  n  e.  ZZ )
16 nnz 10882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  N  e.  ZZ )
18 nnne0 10564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  N  =/=  0
)
20 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  =  0  /\  N  =  0 )  ->  N  =  0 )
2120necon3ai 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  =/=  0  ->  -.  ( n  =  0  /\  N  =  0
) )
2219, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  -.  ( n  =  0  /\  N  =  0 ) )
23 gcdn0cl 14007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  ( n  =  0  /\  N  =  0 ) )  ->  ( n  gcd  N )  e.  NN )
2415, 17, 22, 23syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( n  gcd  N )  e.  NN )
2524nncnd 10548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( n  gcd  N )  e.  CC )
2624nnne0d 10576 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( n  gcd  N )  =/=  0 )
2714, 25, 26divcan2d 10318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( n  gcd  N )  x.  ( N  /  (
n  gcd  N )
) )  =  N )
28 gcddvds 14008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( n  gcd  N )  ||  n  /\  ( n  gcd  N ) 
||  N ) )
2915, 17, 28syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( n  gcd  N )  ||  n  /\  ( n  gcd  N )  ||  N ) )
3029simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( n  gcd  N )  ||  n )
31 nnz 10882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  gcd  N )  e.  NN  ->  (
n  gcd  N )  e.  ZZ )
3224, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( n  gcd  N )  e.  ZZ )
3329simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( n  gcd  N )  ||  N )
34 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  N  e.  NN )
35 nndivdvds 13849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  gcd  N )  e.  NN )  -> 
( ( n  gcd  N )  ||  N  <->  ( N  /  ( n  gcd  N ) )  e.  NN ) )
3634, 24, 35syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( n  gcd  N )  ||  N 
<->  ( N  /  (
n  gcd  N )
)  e.  NN ) )
3733, 36mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( N  / 
( n  gcd  N
) )  e.  NN )
38 nnz 10882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  /  ( n  gcd  N ) )  e.  NN  ->  ( N  /  ( n  gcd  N ) )  e.  ZZ )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( N  / 
( n  gcd  N
) )  e.  ZZ )
40 dvdsmulc 13868 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  ( N  /  ( n  gcd  N ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( n  gcd  N )  ||  n  ->  ( ( n  gcd  N )  x.  ( N  /  (
n  gcd  N )
) )  ||  (
n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) ) )
4132, 15, 39, 40syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( n  gcd  N )  ||  n  ->  ( ( n  gcd  N )  x.  ( N  /  (
n  gcd  N )
) )  ||  (
n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) ) )
4230, 41mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( n  gcd  N )  x.  ( N  /  (
n  gcd  N )
) )  ||  (
n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )
4327, 42eqbrtrrd 4469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  N  ||  (
n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )
44 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )
451ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  N  e.  NN0 )
4645, 5syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ -onto->
( Base `  Y )
)
47 fof 5793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ZRHom `  Y ) : ZZ -onto-> ( Base `  Y
)  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ --> ( Base `  Y )
)
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ --> ( Base `  Y )
)
4948, 39ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
50 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( .r
`  Y )  =  ( .r `  Y
)
51 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
527, 3, 50, 51rrgeq0i 17708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )  ->  (
( ( ( ZRHom `  Y ) `  n
) ( .r `  Y ) ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  (
n  gcd  N )
) ) )  =  ( 0g `  Y
)  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  (
n  gcd  N )
) )  =  ( 0g `  Y ) ) )
5344, 49, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  Y
) `  n )
( .r `  Y
) ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )  =  ( 0g `  Y )  ->  (
( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) )  =  ( 0g `  Y
) ) )
542zncrng 18350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
CRing )
551, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  Y  e.  CRing )
56 crngrng 16996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN  ->  Y  e.  Ring )
5857ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  Y  e.  Ring )
594zrhrhm 18316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( ZRHom `  Y )  e.  (ring RingHom  Y
) )
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ZRHom `  Y )  e.  (ring RingHom  Y
) )
61 zringbas 18262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
62 zringmulr 18265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  x.  =  ( .r ` ring )
6361, 62, 50rhmmul 17160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
)  e.  (ring RingHom  Y )  /\  n  e.  ZZ  /\  ( N  /  ( n  gcd  N ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  (
n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )  =  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  n ) ( .r
`  Y ) ( ( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) ) )
6460, 15, 39, 63syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  (
n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )  =  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  n ) ( .r
`  Y ) ( ( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) ) )
6564eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )  =  ( 0g `  Y )  <->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  n )
( .r `  Y
) ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )  =  ( 0g `  Y ) ) )
6615, 39zmulcld 10968 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( n  x.  ( N  /  (
n  gcd  N )
) )  e.  ZZ )
672, 4, 51zndvds0 18356 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( ZRHom `  Y ) `  (
n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )  =  ( 0g `  Y )  <->  N  ||  (
n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) ) )
6845, 66, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )  =  ( 0g `  Y )  <->  N  ||  (
n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) ) )
6965, 68bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  Y
) `  n )
( .r `  Y
) ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )  =  ( 0g `  Y )  <->  N  ||  (
n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) ) )
702, 4, 51zndvds0 18356 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( N  /  (
n  gcd  N )
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  (
n  gcd  N )
) )  =  ( 0g `  Y )  <-> 
N  ||  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )
7145, 39, 70syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  (
n  gcd  N )
) )  =  ( 0g `  Y )  <-> 
N  ||  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) ) )
7253, 69, 713imtr3d 267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( N  ||  ( n  x.  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) )  ->  N  ||  ( N  / 
( n  gcd  N
) ) ) )
7343, 72mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  N  ||  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) )
7414, 25, 26divcan1d 10317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( N  /  ( n  gcd  N ) )  x.  (
n  gcd  N )
)  =  N )
7537nncnd 10548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( N  / 
( n  gcd  N
) )  e.  CC )
7675mulid1d 9609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( N  /  ( n  gcd  N ) )  x.  1 )  =  ( N  /  ( n  gcd  N ) ) )
7773, 74, 763brtr4d 4477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( N  /  ( n  gcd  N ) )  x.  (
n  gcd  N )
)  ||  ( ( N  /  ( n  gcd  N ) )  x.  1 ) )
78 1zzd 10891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  1  e.  ZZ )
7937nnne0d 10576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( N  / 
( n  gcd  N
) )  =/=  0
)
80 dvdscmulr 13869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  (
( N  /  (
n  gcd  N )
)  e.  ZZ  /\  ( N  /  (
n  gcd  N )
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
( N  /  (
n  gcd  N )
)  x.  ( n  gcd  N ) ) 
||  ( ( N  /  ( n  gcd  N ) )  x.  1 )  <->  ( n  gcd  N )  ||  1 ) )
8132, 78, 39, 79, 80syl112anc 1232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( ( N  /  ( n  gcd  N ) )  x.  ( n  gcd  N ) )  ||  (
( N  /  (
n  gcd  N )
)  x.  1 )  <-> 
( n  gcd  N
)  ||  1 ) )
8277, 81mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( n  gcd  N )  ||  1 )
8315, 17gcdcld 14011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( n  gcd  N )  e.  NN0 )
84 dvds1 13889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  gcd  N )  e.  NN0  ->  ( ( n  gcd  N ) 
||  1  <->  ( n  gcd  N )  =  1 ) )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( n  gcd  N )  ||  1 
<->  ( n  gcd  N
)  =  1 ) )
8682, 85mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( n  gcd  N )  =  1 )
87 znunit.u . . . . . . . . . . 11  |-  U  =  (Unit `  Y )
882, 87, 4znunit 18369 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  U  <->  ( n  gcd  N )  =  1 ) )
8945, 15, 88syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  n )  e.  U  <->  ( n  gcd  N )  =  1 ) )
9086, 89mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  U )
9190ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E  -> 
( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  U ) )
92 eleq1 2539 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  ->  ( x  e.  E  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E ) )
93 eleq1 2539 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  ->  ( x  e.  U  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  U ) )
9492, 93imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  ->  ( (
x  e.  E  ->  x  e.  U )  <->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  E  -> 
( ( ZRHom `  Y ) `  n
)  e.  U ) ) )
9591, 94syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( x  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  n )  ->  ( x  e.  E  ->  x  e.  U ) ) )
9695rexlimdva 2955 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( E. n  e.  ZZ  x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  n )  ->  (
x  e.  E  ->  x  e.  U )
) )
9796com23 78 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  E  -> 
( E. n  e.  ZZ  x  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  n )  ->  x  e.  U ) ) )
9812, 97mpdd 40 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  E  ->  x  e.  U )
)
9998ssrdv 3510 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  E  C_  U )
1007, 87unitrrg 17713 . . 3  |-  ( Y  e.  Ring  ->  U  C_  E )
10157, 100syl 16 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  U  C_  E )
10299, 101eqssd 3521 1  |-  ( N  e.  NN  ->  E  =  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   -->wf 5582   -onto->wfo 5584   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   0cc0 9488   1c1 9489    x. cmul 9493    / cdiv 10202   NNcn 10532   NN0cn0 10791   ZZcz 10860    || cdivides 13843    gcd cgcd 13999   Basecbs 14486   .rcmulr 14552   0gc0g 14691   Ringcrg 16986   CRingccrg 16987  Unitcui 17072   RingHom crh 17145  RLRegcrlreg 17698  ℤringzring 18256   ZRHomczrh 18304  ℤ/nczn 18307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-ec 7310  df-qs 7314  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-dvds 13844  df-gcd 14000  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-0g 14693  df-imas 14759  df-divs 14760  df-mnd 15728  df-mhm 15777  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-sbg 15860  df-mulg 15861  df-subg 15993  df-nsg 15994  df-eqg 15995  df-ghm 16060  df-cmn 16596  df-abl 16597  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-cring 16989  df-oppr 17056  df-dvdsr 17074  df-unit 17075  df-invr 17105  df-rnghom 17148  df-subrg 17210  df-lmod 17297  df-lss 17362  df-lsp 17401  df-sra 17601  df-rgmod 17602  df-lidl 17603  df-rsp 17604  df-2idl 17662  df-rlreg 17702  df-cnfld 18192  df-zring 18257  df-zrh 18308  df-zn 18311
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