MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znnsub Structured version   Unicode version

Theorem znnsub 10795
Description: The positive difference of unequal integers is a positive integer. (Generalization of nnsub 10464.) (Contributed by NM, 11-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
znnsub  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  <->  ( N  -  M )  e.  NN ) )

Proof of Theorem znnsub
StepHypRef Expression
1 zre 10754 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
2 zre 10754 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
3 posdif 9936 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  <  N  <->  0  <  ( N  -  M ) ) )
41, 2, 3syl2an 477 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  <->  0  <  ( N  -  M ) ) )
5 zsubcl 10791 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  -  M
)  e.  ZZ )
65ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  -  M
)  e.  ZZ )
76biantrurd 508 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  <  ( N  -  M )  <->  ( ( N  -  M
)  e.  ZZ  /\  0  <  ( N  -  M ) ) ) )
84, 7bitrd 253 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  <->  ( ( N  -  M
)  e.  ZZ  /\  0  <  ( N  -  M ) ) ) )
9 elnnz 10760 . 2  |-  ( ( N  -  M )  e.  NN  <->  ( ( N  -  M )  e.  ZZ  /\  0  < 
( N  -  M
) ) )
108, 9syl6bbr 263 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  <->  ( N  -  M )  e.  NN ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1758   class class class wbr 4393  (class class class)co 6193   RRcr 9385   0cc0 9386    < clt 9522    - cmin 9699   NNcn 10426   ZZcz 10750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-n0 10684  df-z 10751
This theorem is referenced by:  zltp1le  10798  uz2m1nn  11033  fzonnsub  11684  elfzodifsumelfzo  11714  ubmelm1fzo  11733  ltexp2a  12025  bcp1nk  12203  pc2dvds  14056  mndodconglem  16157  oddpwdc  26874  ltrabdioph  29287
  Copyright terms: Public domain W3C validator