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Theorem znnenlem 13806
Description: Lemma for znnen 13807. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
znnenlem  |-  ( ( ( 0  <_  x  /\  -.  0  <_  y
)  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( x  =  y  <-> 
( 2  x.  x
)  =  ( (
-u 2  x.  y
)  +  1 ) ) )

Proof of Theorem znnenlem
StepHypRef Expression
1 zre 10868 . . . . 5  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  RR )
2 zre 10868 . . . . 5  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  RR )
3 0re 9596 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
4 ltnle 9664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( y  <  0  <->  -.  0  <_  y )
)
53, 4mpan2 671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  <  0  <->  -.  0  <_  y ) )
65adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  <  0  <->  -.  0  <_  y )
)
76anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( y  <  0  /\  0  <_  x )  <->  ( -.  0  <_  y  /\  0  <_  x ) ) )
8 ltletr 9676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( y  <  0  /\  0  <_  x )  ->  y  <  x
) )
93, 8mp3an2 1312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( y  <  0  /\  0  <_  x )  ->  y  <  x ) )
107, 9sylbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( -.  0  <_  y  /\  0  <_  x )  ->  y  <  x ) )
1110ancomsd 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_  x  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  y  <  x ) )
12113impia 1193 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
0  <_  x  /\  -.  0  <_  y ) )  ->  y  <  x )
13 ltneOLD 9682 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  <  x )  ->  x  =/=  y )
1412, 13syld3an3 1273 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
0  <_  x  /\  -.  0  <_  y ) )  ->  x  =/=  y )
15143com12 1200 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  (
0  <_  x  /\  -.  0  <_  y ) )  ->  x  =/=  y )
16153expia 1198 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_  x  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  x  =/=  y ) )
171, 2, 16syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  x  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  x  =/=  y ) )
1817impcom 430 . . 3  |-  ( ( ( 0  <_  x  /\  -.  0  <_  y
)  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  x  =/=  y )
19 znegcl 10898 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ZZ  ->  -u y  e.  ZZ )
20 zneo 10943 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  -u y  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  x )  =/=  (
( 2  x.  -u y
)  +  1 ) )
2119, 20sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  x
)  =/=  ( ( 2  x.  -u y
)  +  1 ) )
22 2cn 10606 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
23 zcn 10869 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
24 mulneg12 9995 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( -u 2  x.  y )  =  ( 2  x.  -u y
) )
2522, 23, 24sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( -u 2  x.  y )  =  ( 2  x.  -u y ) )
2625adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( -u 2  x.  y )  =  ( 2  x.  -u y
) )
2726oveq1d 6299 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( -u 2  x.  y )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  -u y
)  +  1 ) )
2821, 27neeqtrrd 2767 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  x
)  =/=  ( (
-u 2  x.  y
)  +  1 ) )
2928adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( 0  <_  x  /\  -.  0  <_  y
)  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( 2  x.  x
)  =/=  ( (
-u 2  x.  y
)  +  1 ) )
3018, 292thd 240 . 2  |-  ( ( ( 0  <_  x  /\  -.  0  <_  y
)  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( x  =/=  y  <->  ( 2  x.  x )  =/=  ( ( -u
2  x.  y )  +  1 ) ) )
3130necon4bid 2726 1  |-  ( ( ( 0  <_  x  /\  -.  0  <_  y
)  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( x  =  y  <-> 
( 2  x.  x
)  =  ( (
-u 2  x.  y
)  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497    < clt 9628    <_ cle 9629   -ucneg 9806   2c2 10585   ZZcz 10864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865
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