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Theorem znnenlem 14242
Description: Lemma for znnen 14243. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
znnenlem  |-  ( ( ( 0  <_  x  /\  -.  0  <_  y
)  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( x  =  y  <-> 
( 2  x.  x
)  =  ( (
-u 2  x.  y
)  +  1 ) ) )

Proof of Theorem znnenlem
StepHypRef Expression
1 zre 10941 . . . . 5  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  RR )
2 zre 10941 . . . . 5  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  RR )
3 0re 9642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
4 ltnle 9712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( y  <  0  <->  -.  0  <_  y )
)
53, 4mpan2 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  <  0  <->  -.  0  <_  y ) )
65adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  <  0  <->  -.  0  <_  y )
)
76anbi1d 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( y  <  0  /\  0  <_  x )  <->  ( -.  0  <_  y  /\  0  <_  x ) ) )
8 ltletr 9724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( y  <  0  /\  0  <_  x )  ->  y  <  x
) )
93, 8mp3an2 1348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( y  <  0  /\  0  <_  x )  ->  y  <  x ) )
107, 9sylbird 238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( -.  0  <_  y  /\  0  <_  x )  ->  y  <  x ) )
1110ancomsd 455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_  x  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  y  <  x ) )
12113impia 1202 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
0  <_  x  /\  -.  0  <_  y ) )  ->  y  <  x )
13 ltneOLD 9730 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  <  x )  ->  x  =/=  y )
1412, 13syld3an3 1309 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
0  <_  x  /\  -.  0  <_  y ) )  ->  x  =/=  y )
15143com12 1209 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  (
0  <_  x  /\  -.  0  <_  y ) )  ->  x  =/=  y )
16153expia 1207 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_  x  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  x  =/=  y ) )
171, 2, 16syl2an 479 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  x  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  x  =/=  y ) )
1817impcom 431 . . 3  |-  ( ( ( 0  <_  x  /\  -.  0  <_  y
)  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  x  =/=  y )
19 znegcl 10972 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ZZ  ->  -u y  e.  ZZ )
20 zneo 11018 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  -u y  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  x )  =/=  (
( 2  x.  -u y
)  +  1 ) )
2119, 20sylan2 476 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  x
)  =/=  ( ( 2  x.  -u y
)  +  1 ) )
22 2cn 10680 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
23 zcn 10942 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
24 mulneg12 10056 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( -u 2  x.  y )  =  ( 2  x.  -u y
) )
2522, 23, 24sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( -u 2  x.  y )  =  ( 2  x.  -u y ) )
2625adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( -u 2  x.  y )  =  ( 2  x.  -u y
) )
2726oveq1d 6320 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( -u 2  x.  y )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  -u y
)  +  1 ) )
2821, 27neeqtrrd 2731 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  x
)  =/=  ( (
-u 2  x.  y
)  +  1 ) )
2928adantl 467 . . 3  |-  ( ( ( 0  <_  x  /\  -.  0  <_  y
)  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( 2  x.  x
)  =/=  ( (
-u 2  x.  y
)  +  1 ) )
3018, 292thd 243 . 2  |-  ( ( ( 0  <_  x  /\  -.  0  <_  y
)  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( x  =/=  y  <->  ( 2  x.  x )  =/=  ( ( -u
2  x.  y )  +  1 ) ) )
3130necon4bid 2690 1  |-  ( ( ( 0  <_  x  /\  -.  0  <_  y
)  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( x  =  y  <-> 
( 2  x.  x
)  =  ( (
-u 2  x.  y
)  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   class class class wbr 4426  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543    < clt 9674    <_ cle 9675   -ucneg 9860   2c2 10659   ZZcz 10937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938
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