MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znnen Structured version   Unicode version

Theorem znnen 13823
Description: The set of integers and the set of positive integers are equinumerous. Exercise 1 of [Gleason] p. 140. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
znnen  |-  ZZ  ~~  NN

Proof of Theorem znnen
StepHypRef Expression
1 omelon 8066 . . . . . 6  |-  om  e.  On
2 nnenom 12069 . . . . . . 7  |-  NN  ~~  om
32ensymi 7567 . . . . . 6  |-  om  ~~  NN
4 isnumi 8330 . . . . . 6  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  NN )  ->  NN  e.  dom  card )
51, 3, 4mp2an 672 . . . . 5  |-  NN  e.  dom  card
6 xpnum 8335 . . . . 5  |-  ( ( NN  e.  dom  card  /\  NN  e.  dom  card )  ->  ( NN  X.  NN )  e.  dom  card )
75, 5, 6mp2an 672 . . . 4  |-  ( NN 
X.  NN )  e. 
dom  card
8 subf 9827 . . . . . . 7  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
9 ffun 5723 . . . . . . 7  |-  (  -  : ( CC  X.  CC ) --> CC  ->  Fun  -  )
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6  |-  Fun  -
11 nnsscn 10547 . . . . . . . 8  |-  NN  C_  CC
12 xpss12 5098 . . . . . . . 8  |-  ( ( NN  C_  CC  /\  NN  C_  CC )  ->  ( NN  X.  NN )  C_  ( CC  X.  CC ) )
1311, 11, 12mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( NN 
X.  NN )  C_  ( CC  X.  CC )
148fdmi 5726 . . . . . . 7  |-  dom  -  =  ( CC  X.  CC )
1513, 14sseqtr4i 3522 . . . . . 6  |-  ( NN 
X.  NN )  C_  dom  -
16 fores 5794 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  -  /\  ( NN  X.  NN )  C_  dom  -  )  ->  (  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN )
-onto-> (  -  " ( NN  X.  NN ) ) )
1710, 15, 16mp2an 672 . . . . 5  |-  (  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN )
-onto-> (  -  " ( NN  X.  NN ) )
18 dfz2 10888 . . . . . 6  |-  ZZ  =  (  -  " ( NN  X.  NN ) )
19 foeq3 5783 . . . . . 6  |-  ( ZZ  =  (  -  "
( NN  X.  NN ) )  ->  (
(  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN ) -onto-> ZZ  <->  (  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN ) -onto-> (  -  "
( NN  X.  NN ) ) ) )
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( (  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN ) -onto-> ZZ  <->  (  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN ) -onto-> (  -  "
( NN  X.  NN ) ) )
2117, 20mpbir 209 . . . 4  |-  (  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN )
-onto-> ZZ
22 fodomnum 8441 . . . 4  |-  ( ( NN  X.  NN )  e.  dom  card  ->  ( (  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN ) -onto-> ZZ  ->  ZZ  ~<_  ( NN 
X.  NN ) ) )
237, 21, 22mp2 9 . . 3  |-  ZZ  ~<_  ( NN 
X.  NN )
24 xpnnen 13819 . . 3  |-  ( NN 
X.  NN )  ~~  NN
25 domentr 7576 . . 3  |-  ( ( ZZ  ~<_  ( NN  X.  NN )  /\  ( NN  X.  NN )  ~~  NN )  ->  ZZ  ~<_  NN )
2623, 24, 25mp2an 672 . 2  |-  ZZ  ~<_  NN
27 zex 10879 . . 3  |-  ZZ  e.  _V
28 nnssz 10890 . . 3  |-  NN  C_  ZZ
29 ssdomg 7563 . . 3  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  ( NN  C_  ZZ  ->  NN  ~<_  ZZ ) )
3027, 28, 29mp2 9 . 2  |-  NN  ~<_  ZZ
31 sbth 7639 . 2  |-  ( ( ZZ  ~<_  NN  /\  NN  ~<_  ZZ )  ->  ZZ  ~~  NN )
3226, 30, 31mp2an 672 1  |-  ZZ  ~~  NN
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095    C_ wss 3461   class class class wbr 4437   Oncon0 4868    X. cxp 4987   dom cdm 4989    |` cres 4991   "cima 4992   Fun wfun 5572   -->wf 5574   -onto->wfo 5576   omcom 6685    ~~ cen 7515    ~<_ cdom 7516   cardccrd 8319   CCcc 9493    - cmin 9810   NNcn 10542   ZZcz 10870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-oi 7938  df-card 8323  df-acn 8326  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091
This theorem is referenced by:  qnnen  13824  odinf  16459  odhash  16468  cygctb  16768  iscmet3  21605  dyadmbl  21882  mbfsup  21944  dya2iocct  28124
  Copyright terms: Public domain W3C validator