MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znnen Structured version   Unicode version

Theorem znnen 13612
Description: The set of integers and the set of positive integers are equinumerous. Exercise 1 of [Gleason] p. 140. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
znnen  |-  ZZ  ~~  NN

Proof of Theorem znnen
StepHypRef Expression
1 omelon 7962 . . . . . 6  |-  om  e.  On
2 nnenom 11918 . . . . . . 7  |-  NN  ~~  om
32ensymi 7468 . . . . . 6  |-  om  ~~  NN
4 isnumi 8226 . . . . . 6  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  NN )  ->  NN  e.  dom  card )
51, 3, 4mp2an 672 . . . . 5  |-  NN  e.  dom  card
6 xpnum 8231 . . . . 5  |-  ( ( NN  e.  dom  card  /\  NN  e.  dom  card )  ->  ( NN  X.  NN )  e.  dom  card )
75, 5, 6mp2an 672 . . . 4  |-  ( NN 
X.  NN )  e. 
dom  card
8 subf 9722 . . . . . . 7  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
9 ffun 5668 . . . . . . 7  |-  (  -  : ( CC  X.  CC ) --> CC  ->  Fun  -  )
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6  |-  Fun  -
11 nnsscn 10437 . . . . . . . 8  |-  NN  C_  CC
12 xpss12 5052 . . . . . . . 8  |-  ( ( NN  C_  CC  /\  NN  C_  CC )  ->  ( NN  X.  NN )  C_  ( CC  X.  CC ) )
1311, 11, 12mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( NN 
X.  NN )  C_  ( CC  X.  CC )
148fdmi 5671 . . . . . . 7  |-  dom  -  =  ( CC  X.  CC )
1513, 14sseqtr4i 3496 . . . . . 6  |-  ( NN 
X.  NN )  C_  dom  -
16 fores 5736 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  -  /\  ( NN  X.  NN )  C_  dom  -  )  ->  (  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN )
-onto-> (  -  " ( NN  X.  NN ) ) )
1710, 15, 16mp2an 672 . . . . 5  |-  (  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN )
-onto-> (  -  " ( NN  X.  NN ) )
18 dfz2 10774 . . . . . 6  |-  ZZ  =  (  -  " ( NN  X.  NN ) )
19 foeq3 5725 . . . . . 6  |-  ( ZZ  =  (  -  "
( NN  X.  NN ) )  ->  (
(  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN ) -onto-> ZZ  <->  (  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN ) -onto-> (  -  "
( NN  X.  NN ) ) ) )
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( (  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN ) -onto-> ZZ  <->  (  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN ) -onto-> (  -  "
( NN  X.  NN ) ) )
2117, 20mpbir 209 . . . 4  |-  (  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN )
-onto-> ZZ
22 fodomnum 8337 . . . 4  |-  ( ( NN  X.  NN )  e.  dom  card  ->  ( (  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN ) -onto-> ZZ  ->  ZZ  ~<_  ( NN 
X.  NN ) ) )
237, 21, 22mp2 9 . . 3  |-  ZZ  ~<_  ( NN 
X.  NN )
24 xpnnen 13608 . . 3  |-  ( NN 
X.  NN )  ~~  NN
25 domentr 7477 . . 3  |-  ( ( ZZ  ~<_  ( NN  X.  NN )  /\  ( NN  X.  NN )  ~~  NN )  ->  ZZ  ~<_  NN )
2623, 24, 25mp2an 672 . 2  |-  ZZ  ~<_  NN
27 zex 10765 . . 3  |-  ZZ  e.  _V
28 nnssz 10776 . . 3  |-  NN  C_  ZZ
29 ssdomg 7464 . . 3  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  ( NN  C_  ZZ  ->  NN  ~<_  ZZ ) )
3027, 28, 29mp2 9 . 2  |-  NN  ~<_  ZZ
31 sbth 7540 . 2  |-  ( ( ZZ  ~<_  NN  /\  NN  ~<_  ZZ )  ->  ZZ  ~~  NN )
3226, 30, 31mp2an 672 1  |-  ZZ  ~~  NN
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3076    C_ wss 3435   class class class wbr 4399   Oncon0 4826    X. cxp 4945   dom cdm 4947    |` cres 4949   "cima 4950   Fun wfun 5519   -->wf 5521   -onto->wfo 5523   omcom 6585    ~~ cen 7416    ~<_ cdom 7417   cardccrd 8215   CCcc 9390    - cmin 9705   NNcn 10432   ZZcz 10756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-omul 7034  df-er 7210  df-map 7325  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-oi 7834  df-card 8219  df-acn 8222  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972
This theorem is referenced by:  qnnen  13613  odinf  16184  odhash  16193  cygctb  16488  iscmet3  20935  dyadmbl  21212  mbfsup  21274  dya2iocct  26838
  Copyright terms: Public domain W3C validator