MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znn0sub Structured version   Unicode version

Theorem znn0sub 10713
Description: The nonnegative difference of integers is a nonnegative integer. (Generalization of nn0sub 10651.) (Contributed by NM, 14-Jul-2005.)
Assertion
Ref Expression
znn0sub  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  <->  ( N  -  M )  e.  NN0 ) )

Proof of Theorem znn0sub
StepHypRef Expression
1 zre 10671 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
2 zre 10671 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
3 subge0 9873 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( N  -  M )  <->  M  <_  N ) )
41, 2, 3syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  ( N  -  M )  <->  M  <_  N ) )
5 zsubcl 10708 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  -  M
)  e.  ZZ )
65biantrurd 508 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  ( N  -  M )  <->  ( ( N  -  M
)  e.  ZZ  /\  0  <_  ( N  -  M ) ) ) )
74, 6bitr3d 255 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  <->  ( ( N  -  M
)  e.  ZZ  /\  0  <_  ( N  -  M ) ) ) )
87ancoms 453 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  <->  ( ( N  -  M
)  e.  ZZ  /\  0  <_  ( N  -  M ) ) ) )
9 elnn0z 10680 . 2  |-  ( ( N  -  M )  e.  NN0  <->  ( ( N  -  M )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( N  -  M
) ) )
108, 9syl6bbr 263 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  <->  ( N  -  M )  e.  NN0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756   class class class wbr 4313  (class class class)co 6112   RRcr 9302   0cc0 9303    <_ cle 9440    - cmin 9616   NN0cn0 10600   ZZcz 10667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-n0 10601  df-z 10668
This theorem is referenced by:  peano5uzi  10751  uznn0sub  10913  elfzmlbm  11511  elfzmlbp  11512  quoremz  11715  sylow1lem1  16118  dyaddisjlem  21097  lerabdioph  29169
  Copyright terms: Public domain W3C validator